新人教A版高考数学二轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用综合集训含解析

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用综合集训含解析，共29页。
空间向量及其在立体几何中的应用
基础篇
【基础集训】
考点一　用向量法证明平行、垂直
1.已知直线l与平面ABC,若直线l的方向向量为n=(-1,2,-1),向量AB=(1,0,-1),AC=(2,1,0),则有 (　　)
A.直线l∥平面ABC
B.直线l⊥平面ABC
C.直线l与平面ABC相交但不垂直
D.直线l∥平面ABC或直线l⊂平面ABC
答案　B
2.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),那么下列结论正确的有 (　　)
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.AP是平面ABCD的一个法向量
D.AP∥BD
答案　ABC
3.如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1=2,M是线段B1D1的中点.求证:
(1)BM∥平面D1AC;
(2)D1O⊥平面AB1C.

4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求证:平面PEC⊥平面PCD.

考点二　用向量法求空间角与距离
5.在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值;
(3)在(2)的条件下,求点D到平面BMC的距离.

6.如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.
(1)求证:AO⊥BE;
(2)求二面角F-AE-B的余弦值;
(3)若BE⊥平面AOC,求a的值;
(4)在(3)的条件下,求BE与AF所成角的余弦值.

[教师专用题组]
【基础集训】
考点一　用向量法证明平行、垂直
1.(2018北京石景山一模,17)如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,EB∥PA,AB=PA=4,EB=2,F为PD的中点.
(1)求证:AF⊥PC;
(2)求证:BD∥平面PEC;
(3)求二面角D-PC-E的大小.

解析　依题意,AD,AB,AP两两垂直.如图,以A为原点,分别以AD、AB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),F(2,0,2).
(1)证明:AF=(2,0,2),PC=(4,4,-4),
所以AF·PC=8+0+(-8)=0.
所以AF⊥PC.
(2)证明:取PC的中点M,连接EM.
因为M(2,2,2),EM=(2,-2,0),BD=(4,-4,0),
所以BD=2EM,
所以BD∥EM.
又因为EM⊂平面PEC,BD⊄平面PEC,
所以BD∥平面PEC.
(3)因为AF⊥PD,AF⊥PC,PD∩PC=P,
所以AF⊥平面PCD,故AF=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量.
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
因为PC=(4,4,-4),PE=(0,4,-2),
所以n·PC=0,n·PE=0,即4x+4y-4z=0,4y-2z=0,
令y=-1,得x=-1,z=-2,故n=(-1,-1,-2).
所以cos=-2-0-422×6=-32,
由图可知二面角D-PC-E的平面角为钝角,
所以二面角D-PC-E的大小为5π6.
2.(2018宁夏银川一中月考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PB=2,PB与平面PCD成45°角,PB与平面ABD成30°角.
(1)在PB上是否存在一点E,使得PC⊥平面ADE?若存在,确定E点位置,若不存在,请说明理由;
(2)当E为PB的中点时,求二面角P-AE-D的余弦值.

解析　(1)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

由题意易知PD=CD=1,BC=2,AD⊥PC,故要使PC⊥平面ADE,只需PC⊥DE,
则D(0,0,0),P(0,0,1),B(2,1,0),C(0,1,0),
则PB=(2,1,-1),设PE=λPB(0≤λ≤1),
∴PE=λPB=λ(2,1,-1).PC=(0,1,-1),
由PC·DE=PC·(DP+PE)=(0,1,-1)·(2λ,λ,1-λ)=0,解得λ=12,即PB上存在点E使得PC⊥平面ADE,且E为PB中点.
(2)由(1)知D(0,0,0),A(2,0,0),E22,12,12,P(0,0,1),DA=(2,0,0),DE=22,12,12,PA=(2,0,-1),PE=22,12,-12,
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PAE的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则n1·DA=0,n1·DE=0⇒2x1=0,22x1+12y1+12z1=0,
令y1=1,得n1=(0,1,-1).
同理求得n2=(1,0,2),所以cos=n2·n1|n2|·|n1|=-33.
易知所求二面角为锐二面角,
故二面角P-AE-D的余弦值为33.
3.(2020河南天一9月联考,18)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=AA1=2,M,N分别是A1B与CC1的中点,G为△ABN的重心.
(1)求证:MG⊥平面ABN;
(2)求二面角A1-AB-N的正弦值.

解析　(1)证明:由题意知AC,BC,CC1两两垂直,
以C为原点,分别以AC、BC、CC1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),
由中点坐标公式,得M(1,1,1),N(0,0,1),
由重心性质得G23,23,13,
则MG=-13,-13,-23,AB=(-2,2,0),AN=(-2,0,1),AA1=(0,0,2),
∴MG·AN=0,MG·AB=0,
∴MG⊥AN,MG⊥AB,
又AN∩AB=A,
∴MG⊥平面ABN.
(2)由(1)得平面ABN的一个法向量为MG=-13,-13,-23,
设平面A1AB的法向量n=(x,y,z),
则n·AA1=2z=0,n·AB=-2x+2y=0,
取x=1,得n=(1,1,0),∴cos=MG·n|MG|·|n|=-33,
设二面角A1-AB-N的大小为θ,则sinθ=1--332=63.
∴二面角A1-AB-N的正弦值为63.
4.(2018陕西榆林一模,19)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=3,EF=1,BC=13,且M是BD的中点.
(1)求证:EM∥平面ADF;
(2)求二面角A-FD-B的余弦值的大小.

解析　(1)证明:∵EB⊥平面ABD,AB⊥BD,
故以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.

∵AB=2,EB=3,EF=1,BC=13,
∴B(0,0,0),D(3,0,0),A(0,2,0),E(0,0,3),F(0,1,3),M32,0,0,∴EM=32,0,-3,AD=(3,-2,0),AF=(0,-1,3).
设平面ADF的法向量n=(x,y,z).
∴n·AD=3x-2y=0,n·AF=-y+3z=0,令y=3,得n=(2,3,3).
又∵EM·n=3-3=0,∴n⊥EM,又EM⊄平面ADF,故EM∥平面ADF.
(2)由(1)可知平面ADF的一个法向量n=(2,3,3).
易知BD=(3,0,0),BF=(0,1,3),
设平面BFD的法向量m=(x1,y1,z1),
∴m·BD=3x1=0,m·BF=y1+3z1=0,令z1=1,得m=(0,-3,1),
∴cos=m·n|m|·|n|=-232×4=-34,
又二面角A-FD-B为锐角,
故二面角A-FD-B的余弦值为34.
易错警示　(1)盲目建立坐标系,导致运算量太大.
(2)运算失误导致错解.
5.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足A1P=λA1B1.
(1)当λ=1时,求证:直线PN⊥平面AMN;
(2)若平面PMN与平面AA1C1C所成的锐二面角的大小为45°,试确定点P的位置.

解析　(1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系.

则N12,12,0,M0,1,12,A(0,0,0),AN=12,12,0,AM=0,1,12.
当λ=1时,点P与点B1重合,此时P点坐标为(1,0,1),PN=-12,12,-1.
又PN·AN=-14+14+0=0,PN·AM=0+12-12=0,
故PN⊥AN,PN⊥AM,又AM∩AN=A,
所以直线PN⊥平面AMN.
(2)设平面PMN的法向量为m=(x,y,z),由题意知P(λ,0,1),
则MP=λ,-1,12,NP=λ-12,-12,1,
则m·NP=0,m·MP=0,即λ-12x-12y+z=0,λx-y+12z=0,
取m=(3,2λ+1,2-2λ).
易知平面AA1C1C的一个法向量为n=AB=(1,0,0).
∵平面PMN与平面AA1C1C所成的锐二面角的大小为45°,
∴|cos|=|m·n||m||n|=39+(2λ+1)2+4(1-λ)2=22,
解得λ=-12或λ=1.
∴点P在B1A1的延长线上,且|A1P|=12或点P与点B1重合.
6.(2020浙江新高考研究卷五,19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥AD,CD⊥AD,AD∥BC,△PBC为正三角形,PA=AD=CD=12BC,PE=2ED,CF=2FB.
(1)证明:EF∥平面PAB;
(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

解析　(1)证明:过点E作EG∥AD交PA于G,连接BG.
因为PE=2ED,CF=2FB,所以EG=23AD=13BC=BF.
因为AD∥BC,所以EG∥BF, (3分)
所以四边形GBFE为平行四边形,所以EF∥BG.
因为EF⊄平面PAB,BG⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB. (6分)

(2)过点A作AH∥CD交BC于H,则H为BC的中点,连接PH,
因为AH∥CD,CD⊥AD,所以AD⊥AH,又PA⊥AD,PA∩AH=A,从而AD⊥平面PAH, (8分)
不妨设PA=AD=DC=1,则PB=PC=CB=2,所以PH=3.
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0),F1,-13,0,
在△PAH中,由余弦定理知cos∠PAH=PA2+AH2-PH22PA·AH=-12,所以∠PAH=120°,则P-12,0,32,所以E-16,23,36,
所以EF=76,-1,-36,BC=(0,2,0),BP=-32,1,32. (11分)
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n·BC=0,n·BP=0,即2y=0,-32x+y+32z=0,取x=1,得z=3,则n=(1,0,3), (12分)
设直线EF与平面PBC所成角为θ,则sinθ=|cos|=|n·EF||n|·|EF|=2222.故直线EF与平面PBC所成角的正弦值为2222. (15分)
7.(2020天津南开二模,17)如图所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形ABCD为平行四边形,∠DAB=45°,四边形CDEF为直角梯形,EF∥DC,ED⊥CD,AB=3EF=3,ED=a,AD=2.
(1)求证:AD⊥BF;
(2)若线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,求CMCF的值;
(3)若a=1,求二面角D-BC-F的余弦值.

解析　(1)证明:∵平面CDEF⊥平面ABCD,ED⊥CD,
∴ED⊥平面ABCD. (1分)
如图,以D为原点,DC所在直线为y轴,DE所在直线为z轴,过点D垂直于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系D-xyz,

∵∠DAB=45°,AB=3EF=3,ED=a,AD=2,
∴A(1,-1,0),B(1,2,0),C(0,3,0),E(0,0,a),F(0,1,a). (3分)
∴BF=(-1,-1,a),DA=(1,-1,0). (4分)
∵BF·DA=(-1,-1,a)·(1,-1,0)=0,∴AD⊥BF. (5分)
(2)设CM=λCF,λ∈[0,1],则CM=λ(0,-2,a)=(0,-2λ,λa),
则DM=DC+CM=(0,3,0)+(0,-2λ,λa)=(0,3-2λ,λa). (6分)
设平面BDM的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1·DB=(x1,y1,z1)·(1,2,0)=x1+2y1=0,n1·DM=(x1,y1,z1)·(0,3-2λ,λa)=(3-2λ)y1+λaz1=0,
取x1=2,得y1=-1,z1=3-2λλa,即n1=2,-1,3-2λλa. (8分)
由AE∥平面BDM,得AE·n1=(-1,1,a)·2,-1,3-2λλa=0,即-2-1+3-2λλ=0,解得λ=35.
∴线段CF上存在一点M,满足AE∥平面BDM,此时CMCF=35.(11分)
(3)设平面BCF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则n2·CB=(x2,y2,z2)·(1,-1,0)=x2-y2=0,n2·CF=(x2,y2,z2)·(0,-2,1)=-2y2+z2=0,
取x2=1,得y2=1,z2=2,即n2=(1,1,2). (13分)
易知平面BCD的一个法向量为n3=(0,0,1),
∴cos=n2·n3|n2|·|n3|=26=63, (14分)
由图可知,二面角D-BC-F为锐角,
∴二面角D-BC-F的余弦值为63. (15分)
8.(2019河南洛阳尖子生第四次联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,点M为棱PC的中点,点E,F分别为棱AB,BC上的动点(E,F与所在棱的端点不重合),且满足BE=BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面MBD;
(2)当三棱锥F-PEC的体积最大时,求二面角C-MF-E的余弦值.

解析　(1)证明:因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,所以AP,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

则P(0,0,2),M(1,1,1),B(2,0,0),D(0,2,0).设E(t,0,0)(0