新人教A版高考数学二轮复习专题八立体几何4直线平面垂直的判定与性质综合篇课件

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2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的⑤　锐角    叫做这 条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角 是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.(2)线面角θ的取值范围:0°≤θ≤90°.常用结论　(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
考点二　平面与平面垂直的判定与性质　　1.二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如果记棱为l,那么两个面分 别为α、β的二面角记作α-l-β.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线,则两射线所构成的角叫做二面角的平面角.
2.面面垂直的判定和性质
考法一　证明直线与平面垂直的方法
解题导引　(1)结合已知条件分析可知,欲证PH⊥平面ABCD,只需证PH⊥ AB,由AB⊥平面PAD得证(注意使用分析法,找出使线面垂直成立的充分 条件);(2)欲证EF⊥平面PAB,可转化为证与EF平行的直线垂直于平面 PAB,再结合已知条件PD=AD,取PA的中点M,证明MD⊥平面PAB即可.
证明　(1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中边AD上的高,所以PH⊥AD.因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(2)如图,取PA的中点M,连接MD,ME.
因为PD=AD,M是PA的中点,所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD,DM⊂平面PAD,所以MD⊥AB.因为PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.
方法总结　证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①线面垂直的判定定理;②直线垂直 于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥ β);④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直需借助线面垂直 的性质.
例    S是Rt△ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 
(2)由(1)得∠DAC为AC与平面ABD所成的角 由tan∠DAC= = 及AD=1得CD=  利用△ABD∽△DCB得直角梯形各边边长 利用VB-ADE=VA-BDE得点B到平面ADE的距离
解析　(1)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD ⊥DC,DC⊂平面BCD,所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB,又因为AD⊥AB,且DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.(2)由(1)知DC⊥平面ABD,所以AC在平面ABD内的正投影为AD,即∠DAC 为AC与其在平面ABD内的正投影所成角.依题意得tan∠DAC= = ,因为AD=1,所以CD= .设AB=x(x>0),则BD= ,
考法二　证明平面与平面垂直的方法
解析　(1)证明:分别取BC,B1C的中点O和F,连接OA,OF,EF,B1O.因为AB= AC,O为BC的中点,所以AO⊥BC,因为平面BB1C1C⊥平面ABC,且平面BB1C1C∩平面ABC=BC,所以AO⊥平面BB1C1C.因为F是B1C的中点,O是BC的中点,所以FO∥BB1,且FO= BB1,因为点E为棱A1A的中点,AA1?BB1,所以AE∥BB1,且AE= BB1,所以FO∥AE,且FO=AE,所以四边形AOFE是平行四边形,则EF∥AO.因为AO⊥平面BB1C1C,所以EF⊥平面BB1C1C,因为EF⊂平面B1CE,所以平面B1CE⊥平面BB1C1C.(2)由题意得B1O⊥BC,则B1O⊥平面ABC,故OA,OC,OB1两两垂直.以O为坐 标原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间
直角坐标系O-xyz,则A( ,0,0),C(0, ,0),B1(0,0, ),E ,故 =(0, ,- ), = , =(- , ,0),
令z1=1,得m=(0, ,1).设平面AB1C的法向量为n=(x2,y2,z2),则 令y2= ,得n=( , ,1),则cs= = = ,由图可知二面角A-B1C-E为锐二面角,则二面角A-B1C-E的余弦值为 .
方法总结    证明面面垂直的常用方法1.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面角 为90°);2.利用面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β;3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直 来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、 面面垂直的相互转化.
例    (2018河南洛阳一模,19)如图,在四棱锥E-ABCD中,△EAD为等边三角 形,底面ABCD为等腰梯形,满足AB∥CD,AD=DC= AB,且AE⊥BD.(1)证明:平面EBD⊥平面EAD;(2)若△EAD的面积为 ,求点C到平面EBD的距离.
∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形,∴BD= =2 ,∴S△EBD= ED·BD=2 . (10分)设点C到平面EBD的距离为h,由VC-EBD=VE-BCD,得 S△EBD·h= S△BCD·EO,又S△BCD= BC·CDsin 120°= ,∴h= .∴点C到平面EBD的距离为 . (12分)
解析　(1)证明:在题图1的Rt△BAE中,AB=3,AE= ,所以∠AEB=60°.在Rt△AED中,AD=2,AE= ,所以∠DAE=30°.所以∠AFE=90°,即BE⊥AD.所以在题图2中,PF⊥AD,BF⊥AD.又因为AD∥BC,所以PF⊥BC,BF⊥BC.又因为PF,BF⊂平面BFP,PF∩BF=F,所以BC⊥平面BFP,又因为BC⊂平面BCP,所以平面BFP⊥平面BCP.(2)解法一:因为平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF⊂ 平面ADP,PF⊥AD,所以PF⊥平面ABCD.取BF的中点O,连接BD,GO,则GO∥PF,
所以GO⊥平面ABCD,即GO为三棱锥G-BCH的高.又GO= PF= ·PA·sin 30°= ,所以三棱锥G-BCH的体积V= S△BCH·GO= × S△BCD× = × × = .解法二:因为平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF⊂平
解后反思　本题考查直线与平面垂直,平面与平面垂直的判断定理和几 何体的体积,考查空间想象能力以及计算能力.
例    (2019湖南长沙模拟,18)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC =6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE= ,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'O= .(1)证明:A'O⊥平面BCDE;(2)求O到平面A'DE的距离.