2021长春二十中高一下学期第二次质量测试数学试卷含答案

长春市第二十中学2020-2021学年度下学期

高一数学第二次质量检测

考试时间：120分钟 

一、单选题：（每题5分，共60分）

1．已知，则复数（    ）

A． B． C． D．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（    ）

A．30°        B．60°       C．30°或150°       D．60°或120°

3．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）

A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝

4．在△ABC中，，则△ABC是（    ）

A．锐角三角形    B．直角三角形   C．钝角三角形   D．等边三角形

5．平面向量与的夹角为60°，＝(2，0)，||＝1，则等于

A． B．2 C．4 D．12

6．已知为的一个内角，向量.若，则角

A． B． C． D．

7．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ）

  A．4     B．6      C．8     D．

8．棱长为4的正方体的内切球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．下列命题正确的是（    ）

A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面

C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形

10．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则          B．若，，则

C．若，，则         D．若，，则

11．棱长为a的正四面体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：(每题5分，共20分)

13．棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为___________(注：球的体积，其中R为球的半径)

14．已知复数，则__________．

15．在中，，，是中点，则__________．

16．（1）正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍；

（2）球的半径扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的_____倍，体积扩大到原来的_______倍.

三、解答题:（第17题10分，其余各题为12分）

17．(10分)已知四棱锥的底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为，计算它的高和侧面三角形底边上的高．

18．如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）E∥平面BCHG.

19．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．

20．设正三角形的边长为，，，，求的值.

21．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角A.

（2）若，边上的高为3，求c.

22．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．

（1）证明：平面；

（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．

参考答案

1．B

2．A

3．D

4．C

5．B

6．C

7．C

8．C

9．B

10．D

11．D

12．B

13．

14．

15．2

16．               

17．四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为．

如下图所示:

作为四棱锥的高，

作于点，

则为的中点．

连接，则，．

底面正方形的面积为16，

，．

则．又，

在中，由勾股定理，可得

．

在中，由勾股定理，可得

，

即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为．

【点睛】

本题考查了正四棱锥的性质的运用以及计算能力．属于基础题．关键是根据已知判定为正棱锥，根据正棱锥的性质求出高和斜高.

18．（1）证明见详解；（2）证明见详解；

【分析】

（1）由中点知为中位线，即有，结合三棱柱的性质可证，即四点共面.

（2）由三棱柱的性质以及中点性质有平行且相等，即有，结合线面平行的判定即可证面.

【详解】

（1）∵G，H分别是，的中点，

∴，而，

∴，即B，C，H，G四点共面.

（2）∵E，G分别是AB，的中点，

∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，

∴面，

19．

【分析】

先通过正弦定理求出，再根据三角形的内角和为求出.

【详解】

解：由正弦定理得，

即，解得，

因为，则必为锐角，

，

.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，是基础题.

20．

【分析】

利用向量数量积的定义可求的值.

【详解】

∵，且与，与与的夹角均为，

∴.

【点睛】

本题考查向量的数量积，注意向量的夹角应满足“起点归一”，这是向量数量积的计算过程中的易错点，本题属于基础题.

21．（1）；（2）或.

【分析】

（1）根据，利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到求解；

（2）由，，，根据解得a，再利用余弦定理求解；

【详解】

（1）中，∵，

由正弦定理得，

∴，

即；

∵为内角，，

∴，

又∵为内角，

∴.

（2）因为

将，，代入，得.

由余弦定理得，

于是，

即，

解得或.

【点睛】

方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（ 1）设与的交点为，连接，通过直线与平面平行的判定定理证明平面；

（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.

【详解】

（1）连接交于点O，连结,

因为为矩形，所以O为的中点,

又E为的中点，所以,

平面，平面，所以平面.

（2）因为,

所以，所以底面为正方形，所以，

因为，所以，且，所以平面，

又平面，所以平面平面.

【点睛】

本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.