2022届江苏省高淳高级中学等六校高三上学期10月联考数学试题含解析

2022届江苏省高淳高级中学等六校高三上学期10月联考

数学试题

一、单选题

1．已知集合 ，则 （       ）

A．{1} B．{1，2} C．  D．{－1，0，1，2，3}

【答案】C

【分析】由题知，进而根据集合并集运算即可得答案.

【详解】解：解不等式得，

所以，

因为

所以

故选：C

2．下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为

的共轭复数为的虚部为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.

3．的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【详解】分析：写出，然后可得结果

详解：由题可得

令,则

所以

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．

4．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【详解】4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

5．设，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的单调性将分别与进行比较即可解决.

【详解】，则

，则

故有

故选：C

6．已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据同角公式求出，，再根据以及两角差的余(正)弦公式计算出，根据的范围可得答案.

【详解】，且，

，，

，，

.

又

.

，

.

故选：B

7．已知函数f(x)＝，方程 有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（       ）

A．(0，) B．(0，1) C．[，1) D．(－∞，0)

【答案】A

【分析】利用导数判断当 时，单调情况，结合当时， ，作出函数的大致图象，数形结合，采用换元法，根据图象的交点情况，确定方程的根的情况，可得答案.

【详解】当 时，，

当 ， 单调递增，当 时， 单调递减，

且，

当时， ，

由此作出函数 的大致图象，如图：

令，则方程即为 ，

即 ，

当，即 时，有两根 ，

故要使方程 有5个不相等的实数根，

需 ，即 有三个根，

由图象可知当 时，有三个根，

故，

故选：A

8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题得直线的方程为，直线的方程为，联立，解得点坐标再根据为等腰三角形，，可得利用两点之间的距离公式即可得出C的离心率．

【详解】解：由题知，所以直线的方程为，

因为，所以直线的倾斜角为，

所以直线的方程为．

联立，解得，．

因为为等腰三角形，，

所以，即，整理得：．

所以椭圆C的离心率为．

故选：C

二、多选题

9．下列结论中正确的是（       ）

A．若－<<0，则sin>tan

B．若是第二象限角，则sin>cos

C．若角的终边过点P(3k，4k)(k≠0），则sin＝

D．若扇形的周长为6，半径为2，则扇形的面积为2

【答案】AD

【分析】根据三角函数在－<<0的性质可判断A;根据是第二象限角，可求出，由此分类讨论，可判断B;根据三角函数的定义可判断C;根据扇形的面积公式求得扇形面积，可判断D.

【详解】对于A, 若－<<0，则 ，故，故A正确；

对于B, 若是第二象限角，即，

则 ，当k取 偶数时，,

此时sin>cos，当k取奇数时，,

此时 ，故B错误；

对于C，若角的终边过点P(3k，4k)(k≠0），则 ，故 ，故C错误；

对于D, 若扇形的周长为6，半径为2,则扇形的弧长为2，故扇形的面积为 ，故D正确，

故选：AD

10．设正实数满足，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】结合基本不等式得，进而，，A错误，B正确；由题知，进而，C正确；结合基本不等式“1”的用法判断D选项.

【详解】解：对于A选项，因为，所以，当且仅当等号成立，

故，所以，当且仅当时等号成立，故A选项错误；

对于B选项，因为，当且仅当等号成立，

所以，故B选项正确；

对于C选项，由得，所以，所以，故C选项正确；

对于D选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，故D选项错误.

故选：BC

11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时， ，则下列结论正确的是（       ）

A．函数y＝f(x)是周期为4的周期函数

B．f(2021)＋f(2022)＝1

C．当x∈[－1，0]时，

D．不等式 的解集为

【答案】ABD

【分析】先根据题意得到函数为奇函数，且是周期为4的周期函数，可判断A;根据奇偶性可求出a的值，利用周期性可判断B; 利用函数的奇偶性求得当 时，f(x)的解析式，判断C；利用函数的周期性结合指数不等式解法，可判断D.

【详解】对于选项，由函数为偶函数得函数的对称轴为，

故得，又，所以，从而得，

所以函数是周期为4的周期函数，故选项正确；

对于选项，又是奇函数,当，时，，

故得，解得，所以当，时，，

所以（1），故选项正确；

对于选项，当，时，，

所以，故选项不正确；

对于选项，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期，上解的情况即可．

当，时，由，解得，故得；

当，时，根据A的分析知： ，

故，所以，解得，故得，

综上可得不等式在一个周期，上的解集为，

所以不等式在定义域上的解集为，故选项正确．

综上正确，

故选：．

12．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是（       ）

A．直线直线

B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为

C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为

D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是

【答案】BCD

【分析】对于：只需证明平面即可得到直线与直线不垂直；

对于B：取，的中点，，根据题意得出平面截正方体所得的截面为，从而只需求三角形的周长即可；

对于C：过构造平面与平行，过作，即为到直线的距离的最小值；

对于D：构造两次线面垂直，得到点的轨迹为，由此能求出与平面成角正切的取值范围.

【详解】对于：，，，，平面，

平面，

假设，又因为，，，平面，

所以平面，

此与平面矛盾，所以直线与直线不垂直，故选项错误；

对于B：如图，取，的中点，，连接，，，．

因为≌，所以，

因为，所以，所以

因为在正方体中，，所以

因为，

所以三垂线定理得，，，所以平面，

所以截正方体所得的截面为，故周长为，故B正确；

对于C：如图取则平面与平行，过作，

因为面，面，所以，

又因为，所以面，

所以即为到直线的距离的最小值，，故正确；

对于D ：如图，取的中点，由证明选项B可知，面，

又面，面，所以，，

又因为在正方体中，分别为棱的中点，

所以，，所以，，

又因为，所以平面，故点轨迹为．

在正方形中，当与重合时，最大；当时，最小．

所以，

因为平面，所以为与平面所成的角，，

则与平面成角正切的取值范围是，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，2)( >0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为________.

【答案】300

【分析】由已知求出，进一步求出

的值，则答案可求．

【详解】，

，

，

此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，

故答案为;300

14．在中，，，为的三等分点，则______ .

【答案】

【详解】试题分析：即,

如图建立平面直角坐标系，为边的三等分点，

【解析】向量的数量积

15．函数的值域是________.

【答案】

【分析】由题知函数为偶函数，且当时，函数为周期函数，最小正周期为，进而将问题转化为求时函数的值域，再结合二倍角公式和二次函数性质求解即可.

【详解】解：因为，

所以函数为偶函数，

所以当时，，

，

所以当时，为周期函数，周期为，

所以当时，，

因为，

所以当时，取得最大值；当时，取得最小值，

所以当时，，

所以根据偶函数性质，函数的值域为.

故答案为：

四、双空题

16．《张丘建算经》记载“今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”，其所描述的就是中学等差数列求和的相关知识.现如今已知某化工厂污染物排放量随产量增加而同数递增，为保护环境，该厂决定斥资修复被污染的水土，经相关机构测算，修复被污染水土的单位费用随排放量的增加而成倍递增.设该厂第1年污染物排放量为1个单位，修复费用为每单位2万元，第2年该厂污染物排放量为2个单位，修复费用为每单位4万元，…不计科技提升带来的影响，以此类推，则4年后，该厂修复被污染水土的总费用为_______万元，n年后，该厂修复被污染水土的总费用为________万元.

【答案】         

【分析】根据题意，设该厂第年的排放量为个单位，修复费用为万元，第年时，该厂修复被污染水土的总费用为，则数列为等差数列，公差为，首项为，数列为等比数列，公比为，首项为，，进而根据错位相减法求和即可.

【详解】解：由题知，修复被污染水土的单位费用随排放量的增加而成倍递增，

故设该厂第年的排放量为个单位，则数列为等差数列，公差为，首项为，

设该厂第年的修复费用为万元，则数列为等比数列，公比为，首项为，

所以.

设第年时，该厂修复被污染水土的总费用为，则，

所以4年后，该厂修复被污染水土的总费用为万元，

n年后，该厂修复被污染水土的总费用为的前项和，令为，

则；

，

所以，

所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．Sn为数列{an}的前n项和.已知

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求出首项，再得到和， 两式相减可证明数列{an}为等差数列，继而求得答案；

（2）求出bn=的表达式，利用裂项相消法求得答案.

【详解】(1)由 ，

得：，

当时， ，

当时，，和相减，

得：，即，

因为，故，

所以，故数列{an}为等差数列，

故,即 ；

(2)由（1）可知，

故数列{bn}的前n项和为：

.

18．在中，角的对边分别为，已知acos－bsinA=0.

(1)求角B；

(2)设为边上一点，且，若AB=2，BC=1，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化为角可得，再利用倍角公式可求得答案；

（2）利用余弦定理求得边b，继而求得的值，求出的长，再利用三角形面积公式求得答案.

【详解】(1)由acos－bsinA=0.可得： ,

即，而 ，

故，,

故 ，所以 ；

(2)由（1）可得 ,

所以 ，

因为，故 ，

而 ,

故 .

19．为发展业务，某调研组准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个城市，对其使用，两个公司开发的扫码支付软件的情况进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.

（1）求的值；

（2）若一次抽取4个城市，

①假设抽取的小城市的个数为，求的分布列和期望；

②假设抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

【答案】（1）；（2）①分布列见解析，期望为；②.

【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式列方程，由此求得.

（2）①利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列并求得数学期望.

②利用古典概型的概率计算出所求的概率.

【详解】（1）共个城市，抽取2个城市的方法种数是，其中全是小城市的情况种数为，

故全是小城市的概率是，

即，得.

（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2，3，4.

；；；；.

故的分布列为

.

②若4个城市全是超大城市，共有种情况；

若4个城市全是小城市，共有种情况，

故全为超大城市的概率为.

20．在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形为等腰梯形，，，是的中点，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）取中点，连接，进而证明为的中点，再结合中位线定理和线面平行判定定理证明即可；

（2）由平面平面得平面，进而取中点，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解.

【详解】(1)证明：取中点，连接，

因为四边形为等腰梯形，，，

所以，

因为四边形与四边形都是菱形，且为的中点，

所以为的中点，，

因为平面，平面，

所以平面.

(2)解：因为，为中点，所以；

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

取中点，因为是等腰梯形，

所以，

所以，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，所以，

设平面的一个法向量为

则，即，所以，

所以，

所以二面角的余弦值为.

21．已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4.

(1)求双曲线的方程；

(2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案；

（2）由题设直线的方程为，，，，

进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公式，面积公式得，再还原求解即可得答案.

【详解】(1)解：因为双曲线的一条渐近线方程是，

所以，即

因为焦距为4，所以，即

因为，

所以，

所以双曲线的方程为

(2)解：由题知双曲线的右焦点为，

故设直线的方程为，

则联立方程得，

设，，

所以，

因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，

所以，即且，

所以，解得：且

因为直线与轴交于点，所以，

因为，所以

所以，

点到直线的方程为距离为，

所以面积为，

令，则，

所以，

因为在是单调递减函数，

所以，

所以.

所以面积的取值范围为

22．函数 .

(1)若a＝1，求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若 恒成立，求a的值；

(3)若 有两个不相等的实数解 ，证明

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数的导数，进而求得切线斜率，求得答案;

（2）由可知，要使 恒成立，需使得需使得 为函数的最小值点，由此求得答案.

（3）由题意可得，变形为，从而将证明的问题变为证明的问题，采用换元法，构造函数，判断函数的单调性，进而证明结论.

【详解】(1)a＝1时，,

所以，

故y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 ，

即；

(2)函数，则 ，

要使 恒成立，需使得 为函数的最小值点，

由 ，则，

当 时，，函数 单调递减，

当 时，，函数 单调递增，

即 为函数的最小值点，即恒成立，

故 ；

(3)若f(x)＝2(a>0)有两个不相等的实数解 ，

则 ，

两式相减得：，即 ，

故要证 ，只需证：，

即证： ，即证：，

不妨设 ，令 ，

则需证： ，

设 ，则，

设，则 时取等号，

即单调递减，故，

即是单调递减函数，故，

即成立，

故原不等式成立.

【点睛】本题综合考查了导数的几何意义，和恒成立问题，以及用导数证明不等式的问题，综合性较强，要求对于导数的相关知识十分熟悉并能灵活应用，解答的关键在于对于要解答的函数式或不等式能进行恰当的变形，进而构造合适的函数，利用导数判断其单调性以及其它性质，从而解决问题.