浙江宁波镇海区2021-2022学年中考数学全真模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（　　）

A．85° B．75° C．60° D．30°

2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（　　）

A．4 B．3＋ C．3 D．

3．若m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个不同实数根，则代数式m2﹣m+n的值是（　　）

A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．1

4．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（　　）

A． B． C． D．

5．下列运算结果为正数的是(   )

A．1+(–2) B．1–(–2) C．1×(–2) D．1÷(–2)

6．已知x+=3，则x2+=（　　）

A．7 B．9 C．11 D．8

7．如图所示的四张扑克牌背面完全相同，洗匀后背面朝上，则从中任意翻开一张，牌面数字是 3 的倍数的概率为（   ）

A． B． C． D．

8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（    ）．

A． B． C． D．

9．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(     )

A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5

10．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）

A．= B．=

C．= D．=

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是       ．

12．在平面直角坐标系中，点 A的坐标是(-1,2) .作点A关于x 轴的对称点，得到点A1 ，再将点A1 向下平移 4个单位，得到点A2 ，则点A2 的坐标是_________．

13．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC两边中线，则=_____．

14．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是_____．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=48°，则∠ACB′=_____．

16．已知函数y=|x2﹣x﹣2|，直线y=kx+4恰好与y=|x2﹣x﹣2|的图象只有三个交点，则k的值为_____．

17．若y=，则x+y=                ．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF．

求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．

19．（5分）某市旅游景区有A，B，C，D，E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年春节期间旅游情况统计图（如图），根据图中信息解答下列问题：

（1）2018年春节期间，该市A，B，C，D，E这五个景点共接待游客　   　万人，扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是　   　，并补全条形统计图．

（2）甲，乙两个旅行团在A，B，D三个景点中随机选择一个，这两个旅行团选中同一景点的概率是　   　．

20．（8分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．

21．（10分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．求每行驶1千米纯用电的费用；若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？

22．（10分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；                   

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；

（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．

23．（12分）已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD.

24．（14分）如图，AB是的直径，AF是切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，已知，．

求AD的长；

求证：FC是的切线．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．

详解：∵AB∥CD，

∴∠C=∠ABC=30°，

又∵CD=CE，

∴∠D=∠CED，

∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，

∴∠D=75°．

故选B．

点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．

2、B

【解析】

试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D点坐标为（3，3），

∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4=2，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=，

∴PD=PE=，

∴a=3+．

故选B．

考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．

3、B

【解析】
把m代入一元二次方程，可得，再利用两根之和，将式子变形后，整理代入，即可求值．

【详解】

解：∵若，是一元二次方程的两个不同实数根，

∴，

∴

∴

故选B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，及一元二次方程的解，熟记根与系数关系的公式．

4、C

【解析】

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，

所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率=，

故选C．

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5、B

【解析】
分别根据有理数的加、减、乘、除运算法则计算可得．

【详解】

解：A、1+(﹣2)＝﹣(2﹣1)＝﹣1，结果为负数；

B、1﹣(﹣2)＝1+2＝3，结果为正数；

C、1×(﹣2)＝﹣1×2＝﹣2，结果为负数；

D、1÷(﹣2)＝﹣1÷2＝﹣，结果为负数；

故选B．

【点睛】

本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．

6、A

【解析】
根据完全平方公式即可求出答案．

【详解】

∵（x+）2=x2+2+

∴9=2+x2+，

∴x2+=7，

故选A．

【点睛】

本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式.

7、C

【解析】
根据题意确定所有情况的数目，再确定符合条件的数目，根据概率的计算公式即可．

【详解】

解：由题意可知，共有4种情况，其中是 3 的倍数的有6和9，

∴是 3 的倍数的概率，

故答案为：C．

【点睛】

本题考查了概率的计算，解题的关键是熟知概率的计算公式．

8、C

【解析】
设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．

【详解】

如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，

，

∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），

∴∠DAE＝∠B′AE，

∵旋转角为30°，

∴∠DAB′＝60°，

∴∠DAE＝×60°＝30°，

∴DE＝1×＝，

∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．

故选C．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题的难点．

9、B

【解析】

试题解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．

10、A

【解析】

分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．

详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．

故选A．

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、5

【解析】

试题分析：中心角的度数=，

考点：正多边形中心角的概念．

12、（-1, -6）

【解析】
直接利用关于x轴对称点的性质得出点A1坐标，再利用平移的性质得出答案．

【详解】

∵点A的坐标是（-1，2），作点A关于x轴的对称点，得到点A1，
∴A1（-1，-2），
∵将点A1向下平移4个单位，得到点A2，
∴点A2的坐标是：（-1，-6）．
故答案为：（-1, -6）．

【点睛】

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

13、

【解析】
利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；

【详解】

∵AE=EC，BD=CD，

∴DE∥AB，DE=AB，

∴△EDC∽△ABC，

∴＝，

故答案是：．

【点睛】

考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．

14、

【解析】
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

列表如下：

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为，

故答案为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

15、6°

【解析】

∠B=48°，∠ACB=90°，所以∠A=42°，DC是中线，所以∠BCD=∠B=48°，

∠DCA=∠A=48°，因为∠BCD=∠DCB’=48°，所以∠ACB′=48°-46°=6°.

16、1﹣1或﹣1

【解析】
直线y=kx+4与抛物线y=-x1+x+1（-1≤x≤1）相切时，直线y=kx+4与y=|x1-x-1|的图象恰好有三个公共点，即-x1+x+1=kx+4有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时k的值，另外当y=kx+4过（1，0）时，也满足条件．

【详解】

解：当y=0时，x1-x-1=0，解得x1=-1，x1=1，
则抛物线y=x1-x-1与x轴的交点为（-1，0），（1，0），
把抛物线y=x1-x-1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y=-x1+x+1（-1≤x≤1），
当直线y=kx+4与抛物线y=-x1+x+1（-1≤x≤1）相切时，
直线y=kx+4与函数y=|x1-x-1|的图象恰好有三个公共点，
即-x1+x+1=kx+4有相等的实数解，整理得x1+（k-1）x+1=0，△=（k-1）1-8=0，
解得k=1±1 ，
所以k的值为1+1或1-1．
当k=1+1时，经检验，切点横坐标为x=-＜-1不符合题意，舍去．
当y=kx+4过（1，0）时，k=-1，也满足条件，

故答案为1-1或-1．

【点睛】

本题考查了二次函数与几何变换：翻折变化不改变图形的大小，故|a|不变，利用顶点式即可求得翻折后的二次函数解析式；也可利用绝对值的意义，直接写出自变量在-1≤x≤1上时的解析式。

17、1.

【解析】

试题解析：∵原二次根式有意义，

∴x-3≥0，3-x≥0，

∴x=3，y=4，

∴x+y=1．

考点：二次根式有意义的条件．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析

【解析】
（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；

（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF

【详解】

解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，

∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，

∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，

∴△AEO≌△BFO，

∴AE=BF；

（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO

由（1）知：∠OAC=∠OBF，

∴∠BDA=∠AOB=90°，

∴AE⊥BF．

19、（1）50，43.2°，补图见解析；（2）．

【解析】
（1）由A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．

【详解】

解：（1）该市景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
E景点所对应的圆心角的度数是：

B景点人数为：50×24%=12（万人），
补全条形统计图如下：
 

故答案是：50,43.2o.
（2）画树状图可得：

∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率=.

20、44cm

【解析】

解：如图，

设BM与AD相交于点H，CN与AD相交于点G，

由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，

∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，

∴．

∵EF∥CD，∴△BEM∽△BAH．

∴，即，解得：EM=1．

∴EF=EM＋NF＋BC=2EM＋BC=44（cm）．

答：横梁EF应为44cm．

根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度．

21、（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．（2）至少需用电行驶74千米．

【解析】
（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；

（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题．

【详解】

（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，根据题意得：

=

解得：x=0.26

经检验，x=0.26是原分式方程的解，

答：每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；

（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：

0.26y+（﹣y）×（0.26+0.50）≤39

解得：y≥74，即至少用电行驶74千米．

22、（1）（1，4）（2）（0，）或（0，-1）

【解析】

试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；

（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；

（3）分情况进行讨论即可得.

试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，

∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），

∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），

∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴ ，∴ ，

∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴顶点P（1，4）；

（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，

∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，

∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；

（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，

CM=,PM=4，BC=，

∴或 ，

∴CQ=或4，

∴Q1(0，),Q2（0，-1）.

23、证明见解析

【解析】

试题分析：先利用等角的余角相等得到根据有两组角对应相等，即可证明两三角形相似.

试题解析：∵四边形为矩形，

于点F，

点睛：两组角对应相等，两三角形相似.

24、（1）；（2）证明见解析.

【解析】
（1）首先连接OD，由垂径定理，可求得DE的长，又由勾股定理，可求得半径OD的长，然后由勾股定理求得AD的长；

（2）连接OF、OC，先证明四边形AFCD是菱形，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．

【详解】

证明：连接OD，

是的直径，，

，

设，

，

，

在中，，

，

解得：，

，，

，

在中，；

连接OF、OC，

是切线，

，

，

，

，

四边形FADC是平行四边形，

，

平行四边形FADC是菱形

，

，

，

，

，

即，

即，

点C在上，

是的切线．

【点睛】

此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．