浙江省杭州北干重点达标名校2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ）

A． B． C． D．

2．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是

A．6.75×103吨 B．67.5×103吨 C．6.75×104吨 D．6.75×105吨

3．一元二次方程x2﹣8x﹣2=0，配方的结果是（　　）

A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14 C．（x﹣4）2=18 D．（x﹣4）2=14

4．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（　　）

A． B． C． D．

5．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ）

A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线

C．两点之间，线段最短 D．经过两点，有且仅有一条直线

6．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）

A．4 B．2 C． D．

7．如图，AB∥ED，CD=BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　）

A．AC=EF B．BC=DF C．AB=DE D．∠B=∠E

8．在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（　　）

A．1    B．m    C．m2    D．

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(   )

A． B． C． D．

10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．已知扇形的弧长为，圆心角为45°，则扇形半径为_____．

12．的系数是_____，次数是_____．

13．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．

14．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是_____________.

15．如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A=__________°.

16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　 　．

17．计算：（）﹣1﹣（5﹣π）0＝_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

此次共调查了　   　名学生；将条形统计图1补充完整；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

19．（5分）M中学为创建园林学校，购买了若干桂花树苗，计划把迎宾大道的一侧全部栽上桂花树（两端必须各栽一棵），并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺11棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，求购买了桂花树苗多少棵？

20．（8分）先化简，再求值：，其中，.

21．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．求证：△ADE∽△ABC；若AD=3，AB=5，求的值．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点，在边上，．求证：．

23．（12分）在某校举办的 2012 年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品．小王负责到某商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品 200 个以上可以按折扣价出售；购买 200 个以下（包括 200 个）只能按原价出售．小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要 1050 元；若多买 35 个，则按折扣价付款，恰好共需 1050 元．设小王按原计划购买纪念品 x 个．

（1）求 x 的范围；

（2）如果按原价购买 5 个纪念品与按打折价购买 6 个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2ax与x轴相交于O、A两点，OA=4，点D为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C，B点的横坐标是﹣1．

（1）求k，a，b的值；

（2）若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t，△PAB的面积是S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当PB∥CD时，点Q是直线AB上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q点坐标．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．

【详解】

由题意可知： ,

解得：,

故选：．

【点睛】

考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

2、C

【解析】

试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．67500一共5位，从而67 500=6.75×2．故选C．

3、C

【解析】

x2-8x=2，
x2-8x+16=1，
（x-4）2=1．
故选C．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

4、B

【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．

【详解】

如图，过点P作PE⊥OA于点E，

∵OP是∠AOB的平分线，

∴PE＝PM，

∵PN∥OB，

∴∠POM＝∠OPN，

∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，

∴＝．

故选：B．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．

5、C

【解析】
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，

∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，

∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，

故选C．

【点睛】

根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．

6、A

【解析】

试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A．

考点：正多边形和圆．

7、C

【解析】
根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析.

【详解】

由，得∠B=∠D,

因为，

若≌，则还需要补充的条件可以是：

AB=DE,或∠E=∠A, ∠EFD=∠ACB,

故选C

【点睛】

本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形判定定理.

8、D

【解析】
本题主要考察二次函数与反比例函数的图像和性质.

【详解】

令二次函数中y=m.即x2=m,解得x=或x=令反比例函数中y=m,即=m,解得x=,将x的三个值相加得到ω=+（）+=.所以本题选择D.

【点睛】

巧妙借助三点纵坐标相同的条件建立起两个函数之间的联系，从而解答.

9、C

【解析】
根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.

【详解】

根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，

根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，

根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，

因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，

解得∠AOC=120°，

因此∠ADC=60°．

故选C

【点睛】

该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．

10、C

【解析】
根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】
根据弧长公式l=代入求解即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．

12、    1   

【解析】
根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．

【详解】

根据单项式系数和次数的定义可知，﹣的系数是，次数是1．

【点睛】

本题考查了单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．

13、

【解析】

分析：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．

详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，

∴将解代入方程组

 可得m=﹣1，n=2

∴关于a、b的二元一次方程组整理为：

解得：

点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．

14、

【解析】

分析：

根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可.

详解：

设他推车步行的时间为x分钟，根据题意可得：

80x+250(15-x)=2900.

故答案为80x+250(15-x)=2900.

点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键.

15、22.5

【解析】
连接半径OC，先根据点C为的中点，得∠BOC=45°，再由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠A=∠ACO=×45°，可得结论．

【详解】

连接OC，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵点C为的中点，
∴∠BOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=×45°=22.5°，
故答案为：22.5°．

【点睛】

本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．

16、

【解析】

试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD．

∴△ABE∽△DCE．∴．

∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC．

∵在RtACD中，∠D=30°，∴．

∴．

17、1

【解析】
分别根据负整数指数幂，0指数幂的化简计算出各数，即可解题

【详解】

解：原式＝2﹣1

＝1，

故答案为1．

【点睛】

此题考查负整数指数幂，0指数幂的化简，难度不大

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、 (1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人．

【解析】
(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数

(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;

(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;

(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数

【详解】

(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，

∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，

故答案为200；

(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，

∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，

∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，

如图所示：

(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，

∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，

∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，

∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；

(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．

【点睛】

此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键

19、购买了桂花树苗1棵

【解析】

分析：首先设购买了桂花树苗x棵，然后根据题意列出一元一次方程，从而得出答案．

详解：设购买了桂花树苗x棵，根据题意，得：5(x+11-1)=6(x-1)，  解得x=1．

答：购买了桂花树苗1棵．

点睛：本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系以及路的长度与树的棵树之间的关系．

20、1

【解析】

分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式的除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

详解：原式

当x=-1、y=2时，
原式=-（-1）2+2×22
=-1+8
=1．

点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

21、（1）证明见解析；（2）．

【解析】
（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；

（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．

【详解】

（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE=∠AGC=90°，

∵∠EAF=∠GAC，

∴∠AED=∠ACB，

∵∠EAD=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，

∴

由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，

∴∠EAF=∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，

∴，

∴=

考点：相似三角形的判定

22、见解析

【解析】

试题分析：证明△ABE≌△ACD 即可.

试题解析：法1：

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵AD=CE,

∴∠ADE=∠AED,

∴△ABE≌△ACD,

∴BE=CD ,

∴BD=CE,

法2：如图，作AF⊥BC于F,

∵AB=AC,

∴BF=CF,

∵AD=AE,

∴DF=EF,

∴BF－DF=CF－EF,

即BD=CE.

23、（1）0＜x≤200，且 x是整数（2）175

【解析】
（1）根据商场的规定确定出x的范围即可；

（2）设小王原计划购买x个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程，求出解即可得到结果．

【详解】

（1）根据题意得：0＜x≤200，且x为整数；

（2）设小王原计划购买x个纪念品，

根据题意得：，

整理得：5x+175=6x，

解得：x=175，

经检验x=175是分式方程的解，且满足题意，

则小王原计划购买175个纪念品．

【点睛】

此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”是解本题的关键．

24、（1）k=1、a=2、b=4；（2）s=﹣t2﹣ t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；（3）Q（﹣，）

【解析】
（1）根据题意可得A（-4，0）代入抛物线解析式可得a，求出抛物线解析式，根据B的横坐标可求B点坐标，把A，B坐标代入直线解析式，可求k，b

（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，设出P点坐标，可求出N点坐标，即可以用t表示S．

（3）由PB∥CD，可求P点坐标，连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，根据P的坐标，可得∠POA=45°，由OA=OC可得∠CAO=45°则PO⊥AB，根据抛物线的对称性可知R在对称轴上．设Q点坐标，根据△BOR∽△PQS，可求Q点坐标．

【详解】

（1）∵OA=4

∴A（﹣4，0）

∴﹣16+8a=0

∴a=2，

∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，

∴B（﹣1，3），

将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得，

解得，

直线AB的解析式为y=x+4，

∴k=1、a=2、b=4；

（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，如图1，

由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，

∴当x=t时，yP=﹣t2﹣4t，yN=t+4

PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，

BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，

S△PAB=PN（AM+BH）=（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=（﹣t2﹣5t﹣4）×3，

化简，得s=﹣t2﹣ t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；

∴﹣4＜t＜﹣1

（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C（0，4），

∴CD∥OA

∵B（﹣1，3）．

当y=3时，x=﹣3，

∴P（﹣3，3），

连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，如图2，

可证R在DT上

∴PN=ON=3

∴∠PON=∠OPN=45°

∴∠BPR=∠PON=45°，

∵OA=OC，∠AOC=90°

∴∠PBR=∠BAO=45°，

∴PO⊥AC

∵∠BPQ+∠CBO=180，

∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC

过点Q作QS⊥PN，垂足是S，

∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR，

可求BR=，OR=2，

设Q点的横坐标是m，

当x=m时y=m+4，

∴SQ=m+3，PS=﹣m﹣1

∴，解得m=﹣．

当x=﹣时，y=，

Q（﹣，）．

【点睛】

本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题.