高中数学讲义微专题37 向量的数量积——坐标化解决向量问题学案

www.ks5u.com微专题37 向量的数量积——坐标法

   在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。

一、基础知识

1、向量的坐标表示

（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量不共线，则对于平面上的任一向量，存在，使得，且这种表示唯一。其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对称为在基底下的坐标

（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底，在方向上它们分别与轴的正方向同向，在长度上，，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐标为，从图上可观察到恰好是将向量起点与坐标原点重合时，终点的坐标

（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则 （可记为“终”“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。另外三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标

2、向量的坐标运算：设，则有：

（1）加减运算：

（2）数乘运算：

（3）数量积运算：

（4）向量的模长：

3、向量位置关系的判定：

（1）平行：

（2）垂直：

（3）向量夹角余弦值：

4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决

（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形

（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形

（3）具备特殊角度的图形（等）

二、典型例题：

例1：在边长为1的正三角形中，设，则__________

思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系：

下面求坐标：令

由可得： 

答案：

例2：（2012江苏，9）如图，在矩形中，，点为中点，点在边上，若，则的值是____________

思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以为坐标原点如图建系：,设,由在上可得,再由解出:， ，

答案：

例3：如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，，且，则_________

思路：本题抓住这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由，可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解

解：以为轴，过的垂线作为轴

可得：

答案：

例4：已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为_____________

思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出坐标，可先设高为。

解：以为轴建立直角坐标系，设梯形高为

则，设动点，则

（等号成立：）

答案：

小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用

例5：给定平面上四点满足，则面积的最大值为               ．

思路：由可计算出的夹角，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由可知在以为圆心，半径的圆上。 ， 若要求 的最大值，只需找到到的最大值，数形结合可得距离的最大值为，进而可求出的最大值。

解：  即

答案：

例6：如图，在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_______

思路：直角三角形直角边已知，且为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设，从而可得，而所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解

解：以为轴建立直角坐标系

，设

数形结合可得：

答案：  

例7：平面向量满足，则的最小值是______

思路：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可

解：如图建系可得：

由可得：

而，由轮换对称式不妨设，则

答案：

例8：已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为              .

思路：本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值

解：以为轴建立直角坐标系

设直线

由可得：

解得：

解得：

若直线与相交，则

答案：

例9：如图，四边形是半径为的圆的外切正方形，是圆的内接正三角形，当绕着圆心旋转时，的取值范围是（        ）

A.             B.

C.         D.

思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以为坐标原点如图建系：，确定点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论如何转动，，如何从这个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），设，从而，用的三角函数将两点坐标表示出来，从而可求出的范围

解：，

答案：选

小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的），可依靠参数的几何意义将条件充分的利用起来。

例10：在平面上， ，，若，则的取值范围是（     ）

A.           B.           C.       D.

思路：以为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中和点坐标均未知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设，则 ，所求范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成关系，再寻找关于的不等关系即可

解：如图以为轴建立坐标系：设，

则

①

②与①联系可得：

，所以②转变为：

，即

另一方面：

同理，由可得：

综上所述：，则

答案：D

小炼有话说：（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从入手，选择为坐标原点，这样在以原点为圆心的单位圆上，且所求只需计算出的坐标即可。但这种选法继续做下去会发现，首先在圆上的位置不确定，坐标不易写出，其次无法定位，从而使得条件不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程中障碍重重，不利于求解。而利用现有的垂直建系，会使得的坐标易于表示，进而求出坐标，只剩一个不好表示的点，难度明显低于前一种建系方法。

（2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要将题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代数条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在“数形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的