2021泉州永春一中高一下学期期末考试数学试题含答案

永春一中高一年期末考数学科试卷

2021. 7

考试时间：120分钟    试卷总分：150分

第Ⅰ卷（选择题、填空题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知向量，，则（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3. 某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（    ）

A. 300 B. 250 C. 200 D. 100

4. 设，是两个不同平面，，是两条不同直线，下列命题中正确的是（    ）

A. 如果，，，那么

B. 如果，，，那么

C. 如果，，，那么

D. 如果，与所成的角和与所成的角相等，那么

5. 中，，，，则的面积等于（    ）

A.   B.

C. 或  D. 或

6. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为；②目标恰好被命中两次的概率为；③目标被命中的概率为；④目标被命中的概率为.以上说法正确的序号依次是（    ）

A. ②③ B. ①②③ C. ②④ D. ①③

7. 在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知为在平面内的一点，，，若点在线段上运动，则的最小值为（    ）

A.  B. -12 C.  D. -4

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分.

9. 下图是我国2011—2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（    ）

A. 与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到

B. 这10年中，载货汽车的同比增速有增有减

C. 这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆

D. 这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆

10. 设为复数，则下列命题中正确的是（    ）

A.   B.

C. 若，则的最小值为0 D. 若，则

11. 下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，下列命题正确的是（    ）

A. 当时，为矩形，其面积最大为4；

B. 当时，的面积为；

C. 当，时，设与棱的交点为，则；

D. 当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上.

13. 某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为___________，中位数是___________.

14. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为__________.

15. 某汽车站每天均有3辆开往某景点的分为上、中、下等级的客车，某天吴先生准备在该汽车站乘车前往该景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为__________.

16. 已知，向量满足，当向量，夹角最大时，__________.

第Ⅱ卷（解答题）

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.

17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）过点作于点，求证：直线平面.

18. 如图，在中，为边上的一点，，，，且与的夹角为.

（Ⅰ），求，的值；

（Ⅱ）的值.

19. 在中，角，，的对边分别是，，，的面积为.现有以下三个条件：①；②；③.请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.

已知向量，，函数.在中，，且____________，求的取值范围.

20. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”.

（Ⅰ）写出该试验的样本空间，并求事件发生的概率；

（Ⅱ）求事件发生的概率；

（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率.

21. 统计某公司1000名推销员的月销售额（单位：千元）得到如下频率分布直方图.

（1）同一组数据用该区间的中间值作代表，求这1000名推销员的月销售额的平均数与方差；

（2）请根据这组数据提出使的推销员能够完成销售指标的建议；

（3）现有两种奖励机制：

方案一：设，销售额落在左侧，每人每月奖励0.4千元；销售额落在内，每人每月奖励0.6千元；销售额落在右侧，每人每月奖励0.8千元.

方案二：每人每月奖励其月销售额的.

用统计的频率进行估算，选择哪一种方案公司需提供更多的奖励金？（参考数据：）

记：（其中为对应的频率）.

22. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；

（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，设，是否存在角使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由.

永春一中高一年期末考数学参考答案

2021.7

一、选择题：（1-8小题单选，9-12小题多选）

1-5：DBDCD 6-8：CAB

9. ABC     10. ACD     11. AD     12. BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上.

13. 7；6      14.      15.     16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.

17.（1）证明：连接，设，连接，

∵是平行四边形，∴点是的中点，

∵是的中点，∴是的中位线，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面，∴，

又，，

∴直线平面.

解法2：

∵平面，平面，∴平面平面，

又平面平面，，平面，

∴直线平面.

18.（1）如下图，过点作，分别交，点，，

因为，所以，

所以，，

又四边形为平行四边形，所以，

又因为，不共线，所以，.

（2）由（1）知

.

19. 解：.

又.

选择①：，由正弦定理可得：

，故可得，又，

故可得，又，故.

（选择②：，由正弦定理得：

，由余弦定理得，有，故.

选择③：，由面积公式以及余弦定理可得：

，解得，又，故可.

故不论选择哪个条件，都有.）

又.则.

故

，

又，故，

故，故.

20. 解：（Ⅰ）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，

，共有36个样本点，

它们是等可能的，故这是个古典概型.

，共5个样本点，

∴事件发生的概率为.

（Ⅱ），

共12个样本点.

∴事件发生的概率.

（Ⅲ）事件与事件至少有一个发生，即事件，

，共17个样本点，

∴事件与事件至少有一个发生的概率为.

解法二：因为、不可能同时发生，即、互斥，

所以.

21.（1）由频率分布直方图可得，这1000名推销员的月销售额的平均数为

（万元）.

方差为

.

（2）∵，

∴设月销售额为，则，

则，解得，

故根据这组数据可知：将销售指标定为21千元时，才能够使的推销员完成销售指标.

（3）方案一：由（1）可得，，∴，

则当时，，

当时，，

当时，，

1000名推销员的奖励金共计（千元），

方案二：1000名推销员的奖励金（千元），

因为，

所以选择方案一，公司需提供更多的奖励金.

22. 解：（1）证明：因为是圆的直径，点是圆周上一点，

所以，即，

又在圆柱中，母线底面，底面，所以，

又，平面，平面，

所以平面.

（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，

在中，过作交于点.

由（1）知平面，因为平面，所以，

又，

所以平面.

若与不重合，即为直线与平面所成的角.

若与重合，直线与平面所成的角为，

设，，

则在中，，

在中，，.

于是

.

当且仅当，即，时，等号成立.

故时，直线与平面所成的角的正弦值最大，最大值为1.