四川省成都市武侯区棕北中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

四川省成都市武侯区棕北中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列实数中，最小的是

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．年我国水稻种植面积亿亩，其中左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为

A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩

3. 下列四个几何体中，左视图为圆的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标是

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，中，点是边上一点，点是边的中点，过点作与的延长线相交于点下列结论不一定成立的是

A.
B.
C.
D.

7. 解分式方程，正确的结果是

A.  B.  C.  D. 无解

8. 对于二次函数，下列说法中正确的是   

A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为
C. 图象的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小

二．填空题（本题共10小题，共30分）

9. 计算：______．
10. 点在函数的图象上，则代数式的值等于______ ．
11. 等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______．
12. 不等式组的最小整数解是______．
13. 如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点若，，则矩形的对角线的长为______．
    
     
14. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是______ ．
15. 将长度为厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法如：，，和，，，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是______．
16. 阅读理解：给定一个矩形，如果存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当矩形的长和宽分别为和时，其“加倍矩形”的外接圆半径为______．
17. 如图，已知正方形的边长是，点是边上一动点，连接，过点作于点，点是边上另一动点，则的最小值为______．
    
     

18. 年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点，我们从点出发构造无穷点列，构造规则为：若点在直线上，那么下一个点就在双曲线上，且；若点在双曲线上，那么下一个点就在直线上，且，根据规则，点的坐标为______；无限进行下去，无限接近的点的坐标为______．

19. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：篮球，足球，乒乓球，羽毛球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
    这次被调查的学生共有______人；
    请你将条形统计图补充完整；
    在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率用树状图或列表法解答．

21. 如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为多少米？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，为的直径，为延长线上的一点，为上一点，于点，交于点，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

23. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，点的横坐标为．
    求的值；
    点是反比例函数在第一象限上的一个动点，作关于原点的对称点，以为边作等边，使点在第四象限．设点，求关于的函数关系式；
    在的条件下，设点是线段上的动点，点是轴上的动点，若以点，，，为顶点的四边形能构成平行四边形．求点的纵坐标的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价元时每天能清洗辆，定价元时每天能清洗辆，假设清洗汽车辆数辆与定价元取整数是一次函数关系清洗每辆汽车成本忽略不计．
    求与之间的函数表达式；
    若清洗一辆汽车定价不低于元且不超过元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点．
    求抛物线解析式；
    如图，作出如下定义：对于矩形，其边长，为常数，且，其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点，使得的面积最小，则称点是该“悬浮矩形”的核心点．
    请说明“核心点”不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”的坐标用表示；
    若，所在直线与抛物线交于点和在的右侧，是否存在这样的“悬浮矩形”，使得是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线所在直线的表达式；若不存在，说明理由．

如图，在中，，，，过点作直线平行，将绕点顺时针旋转得到点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点、．

如图，求的长；
如图，当点为中点时，求；
如图，当点，分别在线段，上时，试探究四边形的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，
，
最小的数是，
故选：．
先根据相反数和绝对值求出，，再根据实数的大小比较法则比较大小即可．
本题考查了相反数，绝对值和实数的大小比较法则等知识点，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿亩亩，
亩．
故选：．
首先用年我国水稻种植面积乘，求出杂交水稻的种植面积；然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，把杂交水稻种植面积用科学记数法表示出来即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：因为圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，圆柱的左视图是矩形，
所以左视图是圆的几何体是球．
故选：．
左视图是从左边看所得到的图形，依此即可求解．
此题主要考查了左视图，关键是掌握左视图所看的位置．
 

4.【答案】
 

【解析】解：点的坐标是，
点关于原点的对称点的坐标是，
故选：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式逐一计算可得．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方的运算法则与完全平方公式．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，，
点为的中点，
，
在和中
，
≌，
，，，
故选：．
根据平行线性质得出，，求出，根据证≌，根据全等三角形的性质推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有，，，．
 

7.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】

解：二次函数，，
该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是，故选项B错误，
图象的对称轴是直线，故选项C错误，
当时随的增大而减小，故选项D正确．
故选D．

9.【答案】
 

【解析】解：由绝对值性质可知：，
故答案为：．
根据绝对值的性质，即“正数和零的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数”可知答案．
本题考查了绝对值，关键是根据绝对值的性质求得答案．
 

10.【答案】
 

【解析】解：点在函数的图象上，
，
．
故答案为．
把代入一次函数解析式得到，然后把代入后进行整式的加减运算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

11.【答案】
 

【解析】解：为腰，为底，此时周长为；
为底，为腰，，两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故它的周长是．
故答案为：．
题目给出等腰三角形有两边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的最小整数解是．
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的最小整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由作图可知：垂直平分线段，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为．
首先证明，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
 

【解析】解：一次函数的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时，，解得，
经过一三四象限时，解得
故．
故答案为．
根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

15.【答案】
 

【解析】解：将长度为厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数，共有、、，、、，、、，、、，、、，、、，、、七种情况，
能构成三角形的有、、，、、；、、三种情况，
则截成的三段木棍能构成三角形的概率是，
故答案为：，
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可得出答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
，
，
，
，
“加倍矩形”的外接圆半径．
故答案为：．
设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据“加倍矩形”的定义，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合长不短于宽即可确定的值，再利用勾股定理可求出“加倍矩形”对角线的长，除以后即可得出“加倍矩形”的外接圆半径．
本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及三角形的外接圆，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
作关于的对称点，以中的为圆心作半圆，连分别交及半圆于、将转化为找到最小值．
【解答】
解：如图：

取点关于直线的对称点以中点为圆心，为半径画半圆．
连接交于点，交半圆于点，连连并延长交于点．
由以上作图可知，于．

由两点之间线段最短可知，此时最小．
，


的最小值为
故答案为：．  

18.【答案】 
 

【解析】解：，
，
，
，
由得或，
无限接近的点的坐标为，
故答案为：；．
首先根据的横坐标求得的坐标，然后根据的纵坐标即可求得的坐标，无限进行下去，无限接近的点的坐标为直线与反比例函数在第一象限的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，明确无限接近的点的坐标为直线与反比例函数在第一象限的交点坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；




．
 

【解析】根据特殊角的三角函数、二次根式的化简、零指数幂和有理数的乘方可以解答本题；
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：这次被调查的学生共有：人，
故答案为：；
类的人数有：人，
补全条形统计图如下：

画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的结果有种，
恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出被调查的总人数；
由被调查的总人数减去喜欢，及的人数求出喜欢的人数，补全统计图即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

21.【答案】解：过点作于点，过点作于点，

则四边形是矩形，
由题意得：米，米，，．
在中，，
，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
是等腰直角三角形，
米，
米，
答：教学楼的高度为米．
 

【解析】过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由矩形的性质米，然后证是等腰直角三角形，得米，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
在中，，
，
设，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
或舍去，
的半径为．
 

【解析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质，可得，从而可得，进而可得，即可解答；
根据已知可设，，从而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得是的中位线，即可求出，然后证明字模型相似三角形∽，利用相似三角形的性质可得，最后再证明∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及切线的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：将点的横坐标代入直线，
得，
，
将点坐标代入反比例函数解析式，
得；
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

则有，
，
是等边三角形，
，，
，
，
∽，
：，
：：，
在反比例函数上，
，
，
，
点在第四象限，
．
联立，
解得或，
，
当为平行四边形的边时，与点重合时，
根据平移的性质，可得，
；
当为平行四边形的对角线时，
与重合时，可得，
与重合时，可得，
点不能与点重合，
，
综上，所以满足条件的点的纵坐标的取值范围：或．
 

【解析】先求出点坐标，待定系数法求的值；
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，易证∽，根据相似三角形的性质以及反比例函数的几何意义即可求解；
以点，，，为顶点的四边形能构成平行四边形，分为边和为对角线，分别求出的边界，即可确定取值范围．
本题考查了反比例函数的综合，涉及等边三角形的性质，相似三角形的性质，三角函数，平移的性质，平行四边形的性质等，本题综合性较强，难度较大．
 

24.【答案】解：设与的一次函数式为，由题意可知：
，解得：，
与之间的函数表达式为；
设汽车美容店每天获利润为元，由题意得：


，
，且为整数，
当或时，．
定价为元或元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是元．
 

【解析】设与的一次函数式为，用待定系数法求解即可；
设汽车美容店每天获利润为元，根据利润等于定价乘以清洗汽车辆数，再减去工资元，可得关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点．
把，，代入得：
，
解得．
抛物线的解析式为：．
过抛物线上点作直线的平行线，的面积乘以点到直线的距离，当点到直线距离最短时，的面积最小，由图象可知，当过点的直线与抛物线只有一个交点时，点到直线距离最短，这样的点只有一个，
“核心点”不随“悬浮矩形”的“游走”而变化；

，，
所在直线的解析式可设为：，
过点与直线平行的直线解析式为：，
令，得，
过点的直线与抛物线只有一个交点，
，可得，
，解得，
，
；
当时，，
设直线的解析式为：，
令，得，
解得或，
所在的直线与抛物线交于点，，
，即，
点在点的右侧，
，，
，
，
，
当时，，
解得或，
直线的解析式为：或；
当时，，
解得或，
直线的解析式为：或；
当时，，
无解；
综上，直线的解析式为：或或．
 

【解析】把点坐标代入解析式，用待定系数法即可求得二次函数解析式；
过抛物线上点作直线的平行线，的面积乘以点到直线的距离，当点到直线距离最短时，的面积最小，由图象可知，当过点的直线与抛物线只有一个交点时，点到直线距离最短，联立一次函数与二次函数求出交点坐标即可；
将直线解析式设为，联立一次函数与二次函数，得到点和点的坐标，分别求出，，长，分类讨论解出即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数解析式求法以及二次函数与三角形面积，直角三角形综合．解本题的关键是掌握待定系数法求解析式，将三角形面积最值转换为平行线间距离问题，利用只有一个交点求点坐标，分类讨论直角三角形．此题计算量比较大，计算时一定要细心．
 

26.【答案】解：如图中，过点作于点．

在中，，，
，
，
，
；

如图中，过点作直线于点，设，

，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
；

如图中，过点作于点．

的面积为定值，
的面积最小时，四边形的面积最大，
，是定值，
当的值最小时，的面积最小，此时，
，
，，
在上取一点，使得，
，
，
，
设，则，
，
，
，
四边形的面积的最大值．
 

【解析】如图中，过点作于点求出再利用勾股定理求解；
如图中，过点作直线于点，设，证明∽，推出，可得，再利用勾股定理．构建方程求出，即可解决问题；
如图中，过点作于点由题意的面积为定值，推出的面积最小时，四边形的面积最大．
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．