2022届湖北省龙泉中学、宜昌一中、荆州中学等四校高三下学期模拟联考（一）数学试题含答案

湖北省四校2021-2022学年高三下学期5月模拟联考（一）

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．在复平面内，复数z对应的点为，则（    ）

A．   B．   C．     D．

3．若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（    ）

A．    B．    C．     D．

4．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）

A．      B．的值域为

C．的解集为   D．若，则x的值是1或

5．过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（    ）

A．30°或150°   B．45°或135°  C．60°或120°  D．与P值有关

6．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ）

A．  B． C． D．

7．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（    ）

A．0.073    B．0.081    C．0.122    D．0.657

8．设，，，则下列关系正确的是（    ）

A．   B．    C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：

附表及公式：

，．

现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（    ）

A．注射疫苗发病的动物数为10

B．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为

C．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效

D．该疫苗的有效率约为80%

10．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（    ）

A．为定值      B．

C．      D．的最大值为30°

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（    ）

A．①②    B．①③    C．②③    D．②④

12．已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球的球心为O．点E满足，，过点E作平面平行于AC和BD，平面分别与该正四面体的棱BC，CD，AD相交于点M，G，H，则（    ）

A．四边形EMGH的周长为定值

B．当时，平面截球O所得截面的周长为

C．四棱锥的体积的最大值为

D．当时，将正四面体ABCD绕EF旋转90°后与原四面体的公共部分体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在展开式中，含的项的系数是_______．

14．已知，则_______．

15．在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．

16．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm，上口宽6 cm，若以的匀速往杯中注水，当水深为4 cm时，酒杯中水升高的瞬时变化率_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

17．（10分）

在中，，，点D在BC边上，，为锐角．

（1）求BD；

（2）若，求的值．

18．（12分）

已知公比不为1的等比数列，为数列的前n项和．，且，，构成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的最大正整数k．

19．（12分）

如图所示，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且CF上平面ABCD，．

（1）求证：平面BCF；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为．

20．（12分）

2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．

已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为P，其中．

（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元．

在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．

21．（12分）

已知椭圆的焦距为4，上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作x轴垂线，垂足为E，过点N作x轴垂线，垂足为Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得的面积等于若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22．（12分）

已知函数（，）

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．

2022届高三模拟联考（一）

数学试卷（参考答案）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

注：第9题选不选D都算对．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．30    14．    15．3；1023133     16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．

17．解析：（1）在中，由余弦定理得：

所以，解得或

当时，，此时，不符合题意，舍去；

当时，，此时，符合题意，故．

（2）在中，

所以．又由（1）易得，

所以

18．解析：（1）设等比数列的公比为q，且．

因为，，，构成等差数列，所以，解得

所以．

所以数列的通项公式为，

（2），∴

要使成立，即，即

当k为偶数时，，不等式不成立

所以k为奇数，设，，

即，即，即，即

∴整数，∴整数，∴m的最大值为2

此时，∴使成立的最大正整数．

19．解析：（1）证明：设，∵，，∴，

∴，∴，则．

∵平面ABCD，平面ABCD，∴，而，CF，平面BCF，

∴平面BCF．∵，∴平面BCF．

（2）以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，

∴，．设为平面MAB的法向量，

由得取，则

易知是平面FCB的一个法向量，

∴

∵，∴当时，即Ｍ与E重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为．

20．解析：（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：

第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：

因为，所以，

所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛．

（2）由已知万元，或万元

由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛．

此时，业余队获胜的概率为：

专业队获胜的概率为

所以，非平局的概率为

平局的概率为

X的分布列为：

X的期望为

由，所以数学期望的取值范围为（单位：万元）

21．解析：（1）由题意知，，

设又直线AF的方程，即，

因为点O到直线AF的距离为，所以，解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；

当直线斜率不为0时，设直线MN方程为，

联立，得，易知．

设，，则，，

因为轴，轴，所以，，

所以直线①，直线②，

联立①②解得，

因为，ME与直线平行，

所以，

因为，所以

，

由，得，解得或（舍），

故存在直线l的方程为，使得的面积等于．

22．解析：（1）因为，其定义域为

所以．

当，即时，，所以在上单调递增；

当，即时，由得，所以在上单调递增；

得，所以在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）因为，，

所以，所以在上恒成立．

令，则，

令，则，

所以在上单调递增．

又，，所以在上有唯一零点，使．

即，即，即

由函数在上单调递增，所以，即，即．

所以的最小值，

所以，即，所以实数m的取值范围是．