2022届四省八校高三下学期开学考试数学（文）试题含答案

四省八校2022届高三第二学期开学考试

文科数学

(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)

注意事项：

1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题(每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡)

1.若集合A＝{x∈R|>2}，B＝{x|log2(x＋1)<1}，则A∩B＝

A.(－∞，)     B.(－1，)     C.(0，)     D.(，1)

2.已知a∈R，复数Z＝(i为虚部单位)为纯虚数，则Z的共轭复数的虚部为

A.1     B.－1     C.i     D.－i

3.已知α，β∈R，则“cosα＝cosβ”是“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件

C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件

4.设函数f(x)＝|x|ln，则函数的图象可能为

5.函数f(x)＝4sin(3x＋)＋cos(3x－)的最大值为

A.2     B.3     C.4     D.5

6.已知，则下列关系中成立的是

A.x<y<z     B.y<z<x     C.z<x<y     D.z<y<x

7.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)对于∀x∈R都有f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)恒成立，在区间(－，)上f(x)无最值。将f(x)横坐标变为原来的6倍，图像左移个单位，上移3个单位得到g(x)，则下列选项正确的是

A.g(x)在[，]上单调递增

B.当x＝－时g(x)取得最小值为－1

C.g(x)的对称中心为(－＋2kπ，0)(k∈Z)

D.g(x)右移m个单位得到h(x)，当m＝时，h(x)为偶函数

8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为底面ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是

①若MN＝，则点N的轨迹长度为π

②若N到平面BB1C1C与直线AA1的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分

③若N在线段AC上运动，则D1N⊥DB1

④若N在线段AC上运动，则MN//DB1

A.1     B.2     C.3     D.4

9.若曲线f(x)＝axx－x＋lnx存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是

A.(0，)     B.[0，＋∞)     C.(－∞，]     D.[，＋∞)

10.设函数f'(x)是偶函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x<0时，xf'(x)－f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是

A.(－∞，－1)∪(0，1)     B.(－1，0)∪(1，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(－1，0)     D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

11.已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点则2|AF|＋|BF|最小值为

A.2     B.2＋3     C.4     D.3＋2

12.在x轴上方作圆与x轴相切，切点为D(，0)，分别从点A(－2，0)、B(2，0)，作该圆的切线AM和BM，并相交于点M，则点M的横坐标的取值范围

A.(－∞，－)∪(，＋∞)     B.(－∞，－]∪[，＋∞)

C.(－∞，－)∪(，＋∞)     D.(－∞，－]∪[，＋∞)

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

13.已知实数x，y满足，则z＝x＋2y的最小值为              。

14.若一几何体三视图如图所示，则几何体的表面积为               。

15.在△ABC中，已知2cos2B－cosA＝1，则的取值范围为              。

16.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线(a>0，b>0)的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是

①     ②     ③     ④     ⑤

以上结论正确的是              。

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

(一)必考题：共60分。

17.(本题满分12分)

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＋2an－2n＋1＝3an＋1(n∈N*)。

(1)设bn＝，求证{bn}是等差数列；

(2)求{an}的通项。

18.(本题满分12分)

云南某小区抽取年龄在2－22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失。

(1)估算抽取人群的平均年龄。

(2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值。试估计此样本数据的第50百分位数。

(3)用分层抽样的方式从第一组(年龄在2－6岁)和第五组(年龄在18－22岁)中一共抽取5人再从5人中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率。

19.(本题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB上的一点，且PE＝λPB，F为线段BC上的动点。

(1)当λ为何值时，平面AEF⊥平面PBC，并说明理由；

(2)若PA＝2，BC＝3，平面AEF⊥平面PBC，VE－ABF：VP－ABCD＝1：6，求出点B到平面AEF的距离。

20.(本题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－ax。

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当x≥1时，函数k(x)＝(x＋1)[f(x)＋a]－lnx≤0恒成立求实数a取值范围。

21.(本题满分12分)

如图，已知椭圆C1：，曲线C2：y＝x2－1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1交于点D，E。

(1)证明：以DE为直径的圆经过点M；

(2)记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2，若S1＝λS2，求λ的取值范围。

(二)选考题：本题满分共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4－4极坐标与参数方程](10分)

在平面直角坐标系中，曲线C1经过伸缩变换得到曲线C2，曲线C2的方程为(α为参数)，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线C3是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形AOB，其中∠AOB＝。

(1)请写出曲线C1的普通方程和曲线C3的极坐标方程。

(2)已知点P在曲线C2上，且|OP|＝延长AO，BO分别与曲线C2交于M点N点，求△PMN的面积。

23.[选修4－5不等式选讲](10分)

己知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|。

(1)求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)的最大值为m，且logab＝－m，求a＋4b的最小值。