山东专用高考物理一轮复习专题十一磁场_基础集训含解析

专题十一　磁场
备考篇
【考情探究】

课标解读
考情分析
备考指导
考点
内容
磁场及安培力
1.能列举磁现象在生产、生活中的应用。关注磁现象相关的现代技术发展
2.通过实验认识磁场。了解磁感应强度,会用磁感线描述磁场。体会物理模型在探索自然现象规律中的作用
3.知道磁通量
4.通过实验认识安培力,能判断安培力的方向,会计算安培力的大小,了解安培力在生产、生活中的应用
本专题是考试的重要内容
1.磁感应强度、安培力、洛伦兹力、带电粒子在磁场中的运动等,试题多以选择题、综合性的计算题形式出现,为高考中综合性较强的题目,综合考查了动力学、能量,场的观念。
2.(2020课标Ⅰ,18题)选择题考查带电粒子在有界磁场中的运动规律;(2020课标Ⅲ,18题)选择题考查带电粒子在圆形磁场中的极值问题;(2020浙江7月选考,9题)磁感应强度的叠加;(2020山东等级考,17题)带电粒子在复合场中的运动
本专题包括磁场的基本性质、安培力的应用、洛伦兹力的应用和带电粒子在磁场中的运动、带电粒子在复合场中运动等内容,复习时应:
1.侧重磁场、磁感应强度、磁感线、安培力和洛伦兹力等基本概念的理解
2.熟练掌握通电导线在磁场中、带电粒子在磁场中受力和运动的分析,注意结合牛顿运动定律、圆周运动知识及功和能的知识进行分析
洛伦兹力、带电粒子在磁场中的运动
1.通过实验认识洛伦兹力。能够判断洛伦兹力的方向
2.会计算洛伦兹力的大小。能运用洛伦兹力分析带电粒子在磁场中的圆周运动
带电粒子在复合场中的运动
1.了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及应用
2.能分析带电粒子在复合场中的运动情况,解释相关的物理现象

【真题探秘】

命题立意
考查了带电粒子在圆环形边界磁场中运动的特点,要求学生能够确定带电粒子的运动情况,从而画出运动的极限情况。通过已知条件,画图,求解,涉及几何画图分析,磁场和圆周运动的知识,体现了分析和解决问题的能力,是学科核心素养中科学推理的具体体现。
解题指导
粒子沿半径飞入磁场,必然沿半径飞出磁场,从而确定磁场圆和轨迹圆之间的关系,再根据边界条件的限制,画出粒子运动的轨迹,根据带电粒子在磁场中运动的半径公式,确定半径最大的轨迹圆对应B最小。
拓展延伸
带电粒子在有界磁场中的运动,在复合场中的运动,运动的极值、多解问题都是考查的重点,也是难点。高考中既可以出现选择题,也可以出现压轴计算题,对学生的审题能力、推理能力和计算能力都有很高的要求。
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
真题
涉分
考点
题型
设题情境
学科素养
磁场的描述、安培力
洛伦兹力、带电粒子
在磁场中的运动
2020课标Ⅰ,18
6

洛伦兹力
单选
有界磁场
运动观念、科学推理
2020山东,17
14

复合场
计算
质谱仪
运动观念、科学推理
2020课标Ⅱ,24
12

洛伦兹力
计算
有界磁场
运动观念、科学推理
2019课标Ⅰ,17
6
安培力

单选
双导体棒
模型建构、科学推理
2019课标Ⅰ,24
12

洛伦兹力
计算
有界磁场
运动观念、科学推理、科学论证
2019课标Ⅱ,17
6

洛伦兹力
单选
有界磁场
运动观念、模型建构
2019课标Ⅲ,18
6

带电粒子在磁场中的运动
单选
双磁场
运动观念、科学推理
2018课标Ⅰ,25
20

复合场
计算
粒子在复合场中运动
运动观念、科学推理、科学论证
2018课标Ⅱ,20
6
磁场叠加

多选
电流磁场
模型建构、科学推理
2018课标Ⅱ,25
20

复合场
计算
粒子在复合场中运动
运动观念、科学推理、科学论证
2018课标Ⅲ,24
12

洛伦兹力
计算
有界磁场
运动观念、科学推理、科学论证
2017课标Ⅰ,19
6
安培力

多选
电流磁场
模型建构、科学推理
2017课标Ⅱ,18
6

洛伦兹力
单选
有界磁场
运动观念、科学推理
2017课标Ⅱ,21
6
安培力

多选
简易电动机
模型建构、科学推理
2016课标Ⅰ,15
6

洛伦兹力
单选
质谱仪
运动观念、科学推理
2016课标Ⅱ,18
6

带电粒子在磁场中的运动
单选
有界磁场
运动观念、科学推理
2016课标Ⅲ,18
6

带电粒子在磁场中的运动
单选
有界磁场
运动观念、科学推理
2.命题规律与趋势
本专题主要考查电流的磁效应、安培力、带电粒子在磁场中运动的问题,主要涉及各种电流产生的磁场、安培力的大小和方向、带电粒子在洛伦兹力作用下的运动。主要体现在以下几方面:
(1)电流磁效应问题往往涉及物理学史,主要关于奥斯特、法拉第、安培等人的贡献;
(2)安培力相关问题主要结合安培力的大小和方向、安培力做功等;
(3)匀强磁场中带电粒子做圆周运动,主要涉及群发粒子的收集比例问题;
(4)带电粒子在复合场的运动涉及叠加和不叠加两种形式,前一种以霍尔效应及磁流体发电机等代表,后一种则主要考查轨迹多解问题。3.备考方法与策略
2021年高考本着稳中有变的原则,考查重点不会有太大的变化。主要还是通过多解、分类讨论等方式结合霍尔效应等难点考查科学推理、模型建构等核心素养。
选择题一般考查磁场的基础知识和基本规律,难度不大;计算题主要是考查安培力、带电粒子在磁场中的运动与力学、电学、能量知识的综合应用,难度较大,多是高考的压轴题。
基础篇
【基础集训】
考点一　磁场及安培力
1.(2020山东省实验中学一模,6)某实验装置如图所示,用细绳竖直悬挂一个多匝矩形线圈,细绳与传感器相连,传感器可以读出细绳上的拉力大小。将线框的下边ab置于蹄形磁铁的N、S极之间,使ab边垂直于磁场方向且ab边全部处于N、S极之间的区域中。接通电路的开关,调节滑动变阻器的滑片,当电流表读数为I时,传感器的读数为F1;保持ab中的电流大小不变,方向相反,传感器的读数变为F2(F2
A.金属线框的质量m=F1+F22g
B.N、S极之间的磁感应强度B=F1-F2nIL
C.传感器的读数为F1时,ab中的电流方向为b→a
D.减小电流I重复实验,则F1、F2均减小
答案　A　
2.(2020福建福州第一中学模拟,4)如图,将三根长度、电阻都相同的导体棒首尾相接,构成一闭合的等边三角形线框,a、b、c为三个顶点,匀强磁场垂直于线框平面。用导线将a、c两点接入电流恒定的电路中,以下说法正确的是 (　　)

A.线框所受安培力为0
B.ac边与ab边所受安培力的大小相等
C.ac边所受安培力是ab边所受安培力的2倍
D.ac边所受安培力与ab、bc边所受安培力的合力大小相等
答案　C　
3.(2020江苏五校联考,3)通电的等腰梯形导线框abcd与无限长通电直导线MN在同一平面内,电流方向如图所示,ab边与MN平行。下列关于通电直导线MN的磁场对线框作用的说法正确的是 (　　)

A.线框所受安培力的合力为零
B.线框有两条边所受的安培力方向相同
C.线框有两条边所受的安培力大小相等
D.线框在安培力作用下一定有向右的运动趋势
答案　C　
考点二　洛伦兹力、带电粒子在磁场中的运动
1.(2020山东青岛西海岸新区模拟,7)如图所示,abcd为边长为L的正方形,在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场,磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场,结果粒子恰好能通过c点,不计粒子的重力,则粒子的速度大小为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.qBLm　　B.2qBLm
C.(2-1)qBLm　　D.(2+1)qBLm
答案　C　
2.(2020安徽定远民族学校高三学业考试,6)如图所示,半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域,P点与cd间的距离为R2,质子M、N入射的速度大小之比为1∶2。ab是垂直cd的直径,质子M恰好从b点射出磁场,不计质子的重力和质子间的作用力。则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为 (　　)

A.2∶1　　B.3∶1
C.3∶2　　D.3∶4
答案　A　
考点三　带电粒子在复合场中的运动
　(2020安徽六安一中模拟,5)绿水青山就是金山银山,环保部门督查暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计,测量管由绝缘材料制成,其长为L、直径为D,左右两端开口,在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极,匀强磁场方向竖直向下。污水(含有大量的正负离子)充满管口从左向右流经该测量管时,a、c两端的电压为U,显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)。则 (　　)

A.a侧电势比c侧电势低
B.污水中离子浓度越高,显示仪器的示数越大
C.污水流量Q与U成正比,与L、D无关
D.匀强磁场的磁感应强度B=πDU4Q
　答案　D　

综合篇
【综合集训】
拓展一　安培定则的应用和磁场的叠加
　(2020福建厦门双十中学模拟,4)如图所示,三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3垂直纸面放置,直导线与纸面的交点及坐标原点O分别位于边长为a的正方形的四个顶点。L1与L3中的电流均为2I、方向均垂直纸面向里,L2中的电流为I、方向垂直纸面向外。已知在电流为I的长直导线的磁场中,距导线r处的磁感应强度B=kI/r,其中k为常数。某时刻有一电子正好经过原点O且速度方向垂直纸面向外,速度大小为v,电子电荷量为e,则该电子所受磁场力 (　　)

A.方向与y轴正方向成45°角,大小为32kIve2a
B.方向与y轴负方向成45°角,大小为52kIve2a
C.方向与y轴正方向成45°角,大小为52kIve2a
D.方向与y轴负方向成45°角,大小为32kIve2a
　答案　D　
拓展二　通电导体在磁场中运动情况的判定
　如图所示,两根平行的光滑金属导轨固定在同一绝缘水平面内。两根导轨的间距为L,两导轨的左端连接一未充电的电容器和一个电源,电容器的电容为C,电源的电动势为E、内阻不计。一质量为m的金属棒ab,放在两导轨的最右端,且和两导轨垂直,金属棒ab的长度刚好和两导轨的间距相同,金属棒ab的两端分别用长度均为h的轻绳竖直悬挂在水平固定横梁上的O1、O2点,开始时,轻绳刚好拉直、且金属棒ab和两导轨接触良好。两导轨所在的平面处于磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。先将单刀双掷开关S合在位置1,当电容器充电稳定后,再将单刀双掷开关S合在位置2,金属棒ab突然水平向右开始摆动,当连接金属棒ab的轻绳呈水平状态时,金属棒ab的速度为0。重力加速度大小为g。试求:
(1)将单刀双掷开关S合在位置2的瞬间,通过金属棒ab横截面的电荷量;
(2)将单刀双掷开关S合在位置2的瞬间,金属棒ab离开两导轨,电容器稳定后,电容器两端的电压。

　答案　(1)m2ghBL　(2)E-m2ghBLC
拓展三　带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
　(2020黑龙江高三联考,8)如图,竖直平面内存在半径为R的圆形匀强磁场区域,以圆心O为坐标原点建立图示直角坐标系,现有 11H、12H、13H三种粒子,11H以速度v0从a点与x轴正方向成30°斜向下射入磁场,12H以速度12v0从b点沿y轴负方向射入磁场,13H以速度13v0从O点沿y轴正方向射入磁场,已知 11H运动半径刚好为R,经过一段时间后三个粒子分别射出磁场,若运动过程中粒子不会发生碰撞,不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,则三个粒子从圆形边界射出点构成的图形的面积为 (　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.24R2　　B.34R2　　
C.54R2　　D.64R2
　答案　B　
拓展四　带电粒子在复合场中运动的典型实例
1.(2020河北鸡泽第一中学模拟,6)(多选)如图甲所示,绝缘轻质细绳一端固定在方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场中的O点,另一端连接带正电的小球,小球电荷量q=6×10-7C,在图示坐标中,电场方向沿竖直方向,坐标原点O的电势为零。当小球以2m/s的速率绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动时,细绳上的拉力刚好为零。在小球从最低点运动到最高点的过程中,轨迹上每点的电势φ随纵坐标y的变化关系如图乙所示,重力加速度g=10m/s2。则下列判断正确的是 (　　)

A.匀强电场的场强大小为3.2×106V/m
B.小球重力势能增加最多的过程中,电势能减少了2.4J
C.小球做顺时针方向的匀速圆周运动
D.小球所受的洛伦兹力的大小为3N
答案　BD　
2.(2020山东潍坊临朐模拟,17)如图所示,在xOy平面直角坐标系中,直角三角形ACD内存在垂直平面向里磁感应强度为B的匀强磁场,线段CO=OD=L,CD边在x轴上,∠ADC=30°。电子束沿y轴方向以相同的速度v0从CD边上的各点射入磁场,已知这些电子在磁场中做圆周运动的半径均为L3,在第四象限正方形ODQP内存在沿x轴正方向、大小为E=Bv0的匀强电场,在y=-L处垂直于y轴放置一足够大的平面荧光屏,屏与y轴交点为P。忽略电子间的相互作用,不计电子的重力。求:

(1)电子的比荷;
(2)从O点右侧距O点最远的点射入电场中的电子打到荧光屏上的点与P点间的距离;
(3)射入电场中的电子打到荧光屏上的点距P的最远距离。
答案　(1)3v0BL　(2)2L3　(3)34L
[教师专用题组]
【综合集训】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)无限长通电直导线在周围某一点产生的磁场的磁感应强度B的大小与电流成正比,与导线到这一点的距离成反比,即B=kIr(式中k为常数)。如图所示,两根相距为L的无限长直导线分别通有电流I和3I。如图所示的连线上有a、b两点,a点为连线的中点,b点距通过电流为I的导线的距离为L。下列说法正确的是 (　　)

A.a点和b点的磁感应强度方向相同
B.a点和b点的磁感应强度方向相反
C.a点和b点的磁感应强度大小之比为8∶1
D.a点和b点的磁感应强度大小之比为16∶1
答案　AD　通有3I电流的直导线在a、b两点产生磁场的磁感应强度大小分别为Ba1=6kIL、Bb1=3kI2L,由安培定则可判定磁场方向都是垂直于虚线向下;通有I电流的直导线在这两点产生磁场的磁感应强度大小分别为Ba2=2kIL、Bb2=kIL,方向分别是垂直于虚线向下、向上;则由矢量叠加原理可得两点的磁感应强度分别为Ba=Ba1+Ba2=8kIL、Bb=Bb1-Bb2=kI2L,方向都是垂直虚线向下,Ba∶Bb=16∶1,故A、D正确。
2.

(2020北京西城二模,11)磁单极子是物理学家设想的一种仅带有单一磁极(N极或S极)的粒子,它们的磁感线分布类似于点电荷的电场线分布,目前科学家还没有证实磁单极子的存在。若自然界中存在磁单极子,以其为球心画出两个球面1和2,如图所示,a点位于球面1上,b点位于球面2上,则下列说法正确的是 (　　)
A.a点比b点的磁感应强度大
B.a点比b点的磁感应强度小
C.穿过球面1的磁通量比穿过球面2的磁通量大
D.穿过球面1的磁通量比穿过球面2的磁通量小
答案　A　本题选择磁单极子为研究背景,考查类比法。类比于点电荷的电场,越靠近磁单极子,磁感应强度越大。磁通量的意义是穿过某个面积的磁感线的条数,穿过球面1和球面2的磁感线的条数一样,所以选A。
3.(2020上海杨浦二模)如图所示,地面上的平行轨道MN和PQ上有一辆平板小车。车上有一个通电线框,G是电源,电流方向如图所示。图中虚线框1、2、3、4、5是磁感应强度大小相等的匀强磁场区域,内有垂直地面向上或向下的磁场,其他区域无磁场。要使小车在图示位置时受到向右的推力,此时1、2部分的磁场方向对应下图中的 (　　)


答案　A　根据左手定则,要使小车在图示位置时受到向右的推力,即安培力向右,则虚线框2中磁场方向垂直纸面向外,虚线框1中磁场方向垂直纸面向里,故选A。
易错警示　判定感应电流方向时利用的是右手定则,判定电流在磁场中受力时利用的是左手定则,“力左电右”。
4.(2020浙江丽水四校联考,11)老师在课堂上做了一个演示实验:装置如图所示,在容器的中心放一个圆柱形电极B,沿容器边缘内壁放一个圆环形电极A,把A和B分别与电源的两极相连,然后在容器内放入液体,将该容器放在磁场中,液体就会旋转起来。王同学回去后重复老师的实验步骤,但液体并没有旋转起来,造成这种现象的原因可能是该同学在实验过程中 (　　)

A.将磁铁的磁极倒置了
B.将直流电源的正负极接反了
C.使用的液体为能导电的饱和食盐溶液
D.使用的电源为50Hz的低压交流电源
答案　D　装置的A、B极与电源相连后,会形成辐射状的电流,电流在磁场中受安培力的作用,磁铁的磁极倒置或直流电源的正负极接反,只影响液体旋转的方向,选项A、B错误;只有使用能导电的液体才会形成电流,若电源是50Hz的低压交流电源,液体中的电流方向时刻变化,从总体来看安培力为零,故液体不会旋转,选项C错误,D正确。
关键点拨　电源两极接圆环形电极A、圆柱形电极B,则在液体内形成径向的电流,当加上垂直于圆面的磁场时,电流受到垂直于半径方向的安培力,液体才能转动起来。
5.(多选)垂直纸面的匀强磁场区域里,一不计其他外力的离子从原点O沿纸面向x轴正方向飞出,其运动轨迹可能是下图中的 (　　)

答案　BC　因速度方向总是沿轨迹的切线方向,故A、D错误。由于离子所带电性、匀强磁场的方向未知,因此需进行讨论:当磁场方向垂直纸面向外,若离子带正电,则由左手定则可以判断离子刚飞入时所受洛伦兹力方向沿y轴负方向,离子运动轨迹是B;同理可以判断当离子带负电时,运动轨迹是C;当磁场方向垂直纸面向里时可同理讨论。
6.(2014课标Ⅱ,20,6分)(多选)图为某磁谱仪部分构件的示意图。图中,永磁铁提供匀强磁场,硅微条径迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹。宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子。当这些粒子从上部垂直进入磁场时,下列说法正确的是　 (　　)
永
磁
铁硅微条径
迹探测器永
磁
铁
A.电子与正电子的偏转方向一定不同
B.电子与正电子在磁场中运动轨迹的半径一定相同
C.仅依据粒子运动轨迹无法判断该粒子是质子还是正电子
D.粒子的动能越大,它在磁场中运动轨迹的半径越小
答案　AC　在同一匀强磁场中,各粒子进入磁场时速度方向相同,但速度大小关系未知。由左手定则可知电子与正电子进入磁场时所受洛伦兹力方向相反,偏转方向必相反,故A正确。因r=mvqB,各粒子虽q相同,但v关系未知,故m相同、v不同时轨迹半径不同,而当r相同时只能表明mv相同,不能确定m的关系,故B错误、C正确。由Ek=12mv2、r=mvqB得r=2mEkqB,可见当Ek越大时粒子轨迹半径越大,故D错误。
7.(多选)空间存在一匀强磁场B,其方向垂直纸面向里,另有一个点电荷+Q形成的电场,如图所示,一带负电荷的粒子以初速度v0从某处垂直电场、磁场入射,初位置到点电荷的距离为r,则粒子在电、磁场中的运动轨迹可能为 (　　)

A.以点电荷+Q为圆心、r为半径的在纸面上的圆
B.开始阶段在纸面内向右偏的曲线
C.开始阶段在纸面内向左偏的曲线
D.沿初速度v0方向的直线
答案　ABC　由题意可知,当电场力与洛伦兹力之差正好等于粒子做圆周运动所需向心力时,则粒子做以点电荷+Q为圆心、r为半径的在纸平面内的圆周运动,故A正确。当电场力小于洛伦兹力时,粒子开始阶段做向右偏的曲线运动,故B正确。当电场力与洛伦兹力合力大于所需要向心力且电场力大于洛伦兹力时,则粒子做近心运动,即开始阶段做向左偏的曲线运动,故C正确。若电场力与洛伦兹力相等时,粒子开始沿初速度方向运动,之后二力大小发生变化且二力方向不再共线,因此不可能沿初速度方向做直线运动,故D错误。

8.(多选)如图所示,正方形abcd区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,O点是cd边的中点。一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入磁场,经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向(如图所示),以各种不同的速率射入正方形内,那么下列说法中正确的是 (　　)
A.该带电粒子可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab边射出磁场,它在磁场中经历的时间可能是23t0
C.若该带电粒子从bc边射出磁场,它在磁场中经历的时间可能是t0
D.若该带电粒子从cd边射出磁场,它在磁场中经历的时间可能是43t0
答案　BC　如图所示,随着粒子初速度逐渐增大,运动轨迹按图示①→④逐渐变化,粒子在四个边上出射时,出射范围分别为OG、FE、DC、BA之间,不可能从四个顶点出射,A错误。当粒子从O点沿纸面垂直于cd边入射,轨迹恰好为半个圆周,则T=2t0,可以确定粒子在磁场中经历的时间为23t0时,转过的圆心角为120°,此时粒子从H点射出磁场,B正确。粒子在磁场中运动时间为t0时在磁场中转过的圆心角为180°,即从图中I点出射,C正确。所有从cd边出射的粒子转过的圆心角均为300°,所用时间均为t=56T=53t0,D错误。

9.(多选)如图所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形EFG理想分开,三角形内部的磁场方向垂直纸面向里,三角形顶点E处有一质子源,能沿∠FEG的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计),所有质子均能通过G点,质子比荷qm=k,则质子的速度可能为　 (　　)

A.2BkL　　B.12BkL　　C.32BkL　　D.18BkL
答案　BD　因质子带正电,且经过G点,其可能轨迹如图所示,各段圆弧所对圆心角均为60°,所以质子轨道半径r=Ln(n=1,2,3,…),将该结果代入半径公式r=mvqB可得v=BkLn(n=1,2,3,…),B、D两项正确。

规律总结　带电粒子在有界磁场两侧运动时,从一点运动到另一点具有周期性,在运动时间、轨迹半径、运动速度、对应磁感应强度等方面可形成多解。
10.(2020江西重点中学联盟一联)如图,△OAC的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(L,0)、C(0,3L),在△OAC区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。在t=0时刻,同时从三角形的OA边各处以沿y轴正向的相同速度将质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子射入磁场,已知在t=t0时刻从OC边射出磁场的粒子的速度方向垂直于y轴。不计粒子重力和空气阻力及粒子间相互作用。

(1)求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若从OA边两个不同位置射入磁场的粒子,先后从OC边上的同一点P(P点图中未标出)射出磁场,求这两个粒子在磁场中运动的时间t1与t2之间应满足的关系;
(3)从OC边上的同一点P射出磁场的这两个粒子经过P点的时间间隔与P点位置有关,若该时间间隔最大值为4t03,求粒子进入磁场时的速度大小。
答案　(1)πm2qt0　(2)t1+t2=2t0　(3)3πL7t0
解析　(1)粒子在t0时间内,速度方向改变了90°,故周期
T=4t0 ①
由T=2πmqB得B=πm2qt0 ②
(2)从同一点射出磁场的两粒子轨迹如图,轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2,由几何关系有
θ1=180°-θ2 ③
故t1+t2=T2=2t0 ④

(3)由圆周运动知识可知,两粒子在磁场中运动的时间差Δt与Δθ=θ2-θ1成正比,由③得
Δθ=θ2-θ1=2θ2-180° ⑤
可知θ2越大,时间差Δt越大
由Δt=Δθ360°T ⑥
Δt最大值为43t0,则Δθ最大值为120°
由⑤得θ2的最大值为θ2=150° ⑦
θ1=180°-θ2=30° ⑧
如图,tan∠A=3LL=3　
得∠A=60° ⑨

β=90°-∠A=30° ⑩
设运动半径为R,运动时间最长的粒子运动轨迹与磁场边界相切,有
Rcosθ1+Rcosβ=L
解得R=23L7
根据qvB=mv2R
代入数据解得v=3πL7t0
11.(2020四川宜宾叙州一中适应性考试一)如图,在xOy平面的第一、四象限内存在着方向垂直纸面向外,磁感应强度为B的匀强磁场,第四象限内存在方向沿-y方向,电场强度为E的匀强电场。从y轴上坐标为(0,a)的一点向磁场区发射速度大小不等的带正电同种粒子,速度方向范围是与+y方向夹角30°~150°,且在xOy平面内。结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上,然后进入第四象限的匀强电场区。已知带电粒子电荷量为q,质量为m,粒子的重力及粒子间相互作用不计。
(1)求垂直y轴方向射入磁场粒子运动的速度大小v1;
(2)求粒子在第一象限的磁场中运动的最长时间与最短时间之差;
(3)从x轴上x=(2-1)a点射入第四象限的粒子穿过电磁场后经过y轴上y=-b的点,求该粒子经过y=-b点的速度大小。

答案　(1)qBam　(2)2πm3Bq　(3)2(qBa)2m2+2qEbm
解析　(1)设初速度大小为v的粒子与y轴正方向夹角为θ射入磁场,垂直达到x轴上满足:a=Rsinθ
由牛顿第二定律得:qvB=mv2R,
解得:v=qBRm=qBamsinθ,
当θ=90°时,有v1=qBam。
(2)运动时间最长对应粒子初速度与y轴正方向夹角30°,转过150°时,则有:t1=θ360°T=150°360°×2πmqB=5πm6qB,
运动时间最短对应粒子初速度与y轴负方向夹角30°,转过30°时,则有:t2=θ'360°T=30°360°×2πmqB=πm6qB,
则时间差为:Δt=t1-t2=2πm3qB。
(3)设最开始粒子从y轴射出时与y轴负方向夹角为φ,由数学知识得:
R-Rcosφ=(2-1)a,Rsinφ=a,
解得:φ=45°,R=2a,
初速度为:v0=qBRm=2qBam,
设到达y轴速度大小为v2,由动能定理得:qEb=12mv22-12mv02,
解得:v2=2(qBa)2m2+2qEbm。
关键点拨　带电粒子在磁场中的运动类题目关键在于找出圆心确定半径,所以在解题时几何关系是关键,应灵活应用几何关系,同时结合画图去找出合理的解题方法。
12.(2018浙江4月选考,22,10分)压力波测量仪可将待测压力波转换成电压信号,其原理如图1所示。压力波p(t)进入弹性盒后,通过与铰链O相连的“┨”形轻杆L,驱动杆端头A处的微型霍尔片在磁场中沿x轴方向做微小振动,其位移x与压力p成正比(x=αp,α>0)。霍尔片的放大图如图2所示,它由长×宽×厚=a×b×d、单位体积内自由电子数为n的N型半导体制成。磁场方向垂直于x轴向上,磁感应强度大小为B=B0(1-β|x|),β>0。无压力波输入时,霍尔片静止在x=0处,此时给霍尔片通以沿C1C2方向的电流I,则在侧面上D1、D2两点间产生霍尔电压U0。
(1)指出D1、D2两点哪点电势高;
(2)推导出U0与I、B0之间的关系式(提示:电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I=nevbd,其中e为电子电荷量);
(3)弹性盒中输入压力波p(t),霍尔片中通以相同电流,测得霍尔电压UH随时间t变化图像如图3。忽略霍尔片在磁场中运动产生的电动势和阻尼,求压力波的振幅和频率。(结果用U0、U1、t0、α及β表示)

图1　　　　　　　　　图2

图3
答案　(1)D1点电势高　(2)U0=IB0ned　(3)1αβ1-U1U0　12t0
解析　(1)N型半导体中可以自由移动的是电子,根据左手定则可以知道电子往D2端移动,因此D1点电势高。
(2)根据霍尔元件内部电子所受的洛伦兹力和电场力平衡得:
evB0=eU0b
将v=Inebd代入解得:U0=IB0ned
(3)由任意时刻霍尔元件内部电子所受的洛伦兹力和电场力平衡得:
evB=eUH(t)b
则UH(t)=IBned=IB0ned(1-β|x|)=IB0ned(1-β|αp|)=U0(1-αβ|p|)
由上式可得|p|=1αβ-UH(t)αβU0
结合UH-t图像可知,振幅A=1αβ1-U1U0,频率f=12t0。
知识点拨　霍尔效应的实质是形成电流的载流子在洛伦兹力作用下向垂直于电流的方向偏转从而形成侧向电压,当侧向电压形成的电场对载流子的电场力与洛伦兹力平衡时,可计算霍尔电压与电流、磁感应强度及元件几何尺寸间的关系。