陕西省咸阳市武功县2022年中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是（　　）

A．8 B．10 C．21 D．22

2．下列命题是假命题的是（　　）

A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形

B．等边三角形有3条对称轴

C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

3．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ）

A． B．

C． D．

4．根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划（2017﹣2025）》，2018年将建立养殖业退出补偿机制，生态补水78000000m1．将78000000用科学记数法表示应为（　　）

A．780×105    B．78×106    C．7.8×107    D．0.78×108

5．方程x2﹣3x+2＝0的解是（　　）

A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2

C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2

6．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝30°，则∠BOC的大小是(　　)

A．30° B．60° C．90° D．45°

9．下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

10．如果关于x的方程x2﹣x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（　　）

A．k＞0 B．k≥0 C．k＞4 D．k≥4

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A． B． C．5 D．

12．2017年扬中地区生产总值约为546亿元，将546亿用科学记数法表示为（　　）

A．5.46×108 B．5.46×109 C．5.46×1010 D．5.46×1011

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积等于__________．

14．无锡大剧院演出歌剧时，信号经电波转送，收音机前的北京观众经过0.005秒以听到，这个数据用科学记数法可以表示为_____秒．

15．当a，b互为相反数，则代数式a2+ab﹣2的值为_____．

16．已知关于x的方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=﹣1，则另一根为_____．

17．如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．

18．化简： =____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝1．求⊙O的面积；若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，求CD的长．

20．（6分）计算：（π﹣1）0+|﹣1|﹣÷+（﹣1）﹣1．

21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为　   　，并在图上标出此时点P的位置．

22．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣﹣2sin30°+（﹣）﹣2

（2）化简：.

23．（8分）两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动，凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次．小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表（如图）

（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是　    　，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是　   　；

（2）请你补全统计图1；

（3）请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元？

（4）图2是甲超市的摇奖转盘，黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元，如果你购物消费了100元后，参加一次摇奖，那么你获得奖金10元的概率是多少？

24．（10分）某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题：

（1）这次知识竞赛共有多少名学生？

（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；

（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．

25．（10分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间；小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间．小丽与小杰整理各自样本数据，如下表所示．

（1）你认为哪位学生抽取的样本不合理?请说明理由．专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的学生应适当减少上网的时间，估计该校全体初二学生中有多少名学生应适当减少上网的时间.

26．（12分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：

（1）写出a，b，c的值；

（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；

（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．

27．（12分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．

（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．

①求证：△ABP∽△BCP；

②若 PA=3，PC=4，则 PB=     ．

（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）

①求∠CPD 的度数；

②求证：P 点为△ABC 的费马点．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、D

【解析】

分析：根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解．

详解：一共30个数据，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.

故选D.

点睛：考查中位数的定义，看懂条形统计图是解题的关键.

2、C

【解析】

解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；

B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；

C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；

D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；

故选C．

3、D

【解析】
此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．

【详解】

解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，

又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．

故选D．

点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．

4、C

【解析】
科学记数法记数时，主要是准确把握标准形式a×10n即可.

【详解】

解：78000000= 7.8×107.

故选C.

【点睛】

科学记数法的形式是a×10n，其中1≤｜a｜<10，n是整数，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.

5、A

【解析】
将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

【详解】

解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣1）＝0,

∴x1＝1，x1＝1．

故选：A．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

6、B

【解析】

∵2a=3b，∴ ，∴ ，∴A、C、D选项错误，B选项正确，

故选B.

7、B

【解析】
根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.

【详解】

因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，

所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，

故选B．

【点睛】

本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

8、B

【解析】

【分析】欲求∠BOC，又已知一圆周角∠BAC，可利用圆周角与圆心角的关系求解．

【详解】∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=2∠BAC =60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），

故选B．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

9、B

【解析】
最简二次根式必须满足以下两个条件:1.被开方数的因数是（整数）,因式是（ 整式 ）（分母中不含根号）2.被开方数中不含能开提尽方的（ 因数 ）或（ 因式 ）.

【详解】

A. =3, 不是最简二次根式；

 B. ，最简二次根式；  

C. =,不是最简二次根式；

D. =,不是最简二次根式.

故选：B

【点睛】

本题考核知识点：最简二次根式.解题关键点：理解最简二次根式条件.

10、D

【解析】
由被开方数非负结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．

【详解】

∵关于x的方程x2-x+1=0有实数根，

∴，

解得：k≥1．

故选D．

【点睛】

本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．

11、D

【解析】

解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴ AB•h=AB•AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= ==，即PA+PB的最小值为．故选D．

12、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】

解：将546亿用科学记数法表示为：5.46×1010  ,故本题选C.

【点睛】

本题考查的是科学计数法，熟练掌握它的定义是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】

解：它的侧面展开图的面积=•1π•4×6=14π（cm1）．故答案为14πcm1．

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14、5

【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

0.005=5×10-1，

故答案为：5×10-1．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

15、﹣1．

【解析】

分析：

由已知易得：a+b=0，再把代数式a1+ab-1化为为a(a+b)-1即可求得其值了.

详解：

∵a与b互为相反数，

∴a+b=0，

∴a1+ab-1=a(a+b)-1=0-1=-1.

故答案为：-1.

点睛：知道“互为相反数的两数的和为0”及“能够把a1+ab-1化为为a(a+b)-1”是正确解答本题的关键.

16、1

【解析】
设另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x2=-1，即可求出答案．

【详解】

设方程的另一个根为x2，

则-1×x2=-1，

解得：x2=1，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1x2=．

17、

【解析】
连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有： 解直角即可.

【详解】

连接OC,OD,OC与AD交于点E，

直尺的宽度：

故答案为

【点睛】

考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.

18、

【解析】
先利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．

【详解】

原式，
故答案为

【点睛】

本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）25π；（2）CD1＝，CD2＝7

【解析】

分析：（1）利用圆周角定理的推论得到∠C是直角，利用勾股定理求出直径AB，再利用圆的面积公式即可得到答案；

（2）分点D在上半圆中点与点D在下半圆中点这两种情况进行计算即可.

详解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴AC＝8，BC＝1，

∴AB＝10，

∴⊙O的面积＝π×52＝25π．

（2）有两种情况：

①如图所示，当点D位于上半圆中点D1时，可知△ABD1是等腰直角三角形，且OD1⊥AB,

作CE⊥AB垂足为E，CF⊥OD1垂足为F，可得矩形CEOF，

∵CE＝，

∴OF= CE=，

∴，

∵=,

∴，

∴，

∴；

②如图所示，当点D位于下半圆中点D2时，

同理可求.

∴CD1＝，CD2＝7

点睛：本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、矩形的性质等知识.利用分类讨论思想并合理构造辅助线是解题的关键.

20、2

【解析】
先根据0次幂的意义、绝对值的意义、二次根式的除法、负整数指数幂的意义化简，然后进一步计算即可.

【详解】

解：原式=2+2﹣+2

=2﹣2+2

=2．

【点睛】

本题考查了0次幂的意义、绝对值的意义、二次根式的除法、负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

21、（1）详见解析；（2）.

【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；

（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．

【详解】

（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．

∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=AB=AE=BE．

同理，BF=DF．

∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；

（2）连接BF．

∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．

∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．

则EM=BE•sin60°=4×=2．

即PF+PM的最小值是2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．

22、 (1)2;(2) x﹣y．

【解析】

分析：（1）本题涉及了二次根式的化简、绝对值、负指数幂及特殊三角函数值，在计算时，需要针对每个知识 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.

详解：（1）原式=3﹣4﹣2×+4=2；

（2）原式=•=x﹣y．

点睛：（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值及特殊三角函数值等考点的运算；（2）考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23、（1）10，5元；（2）补图见解析；（3）在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖分别为10元、8.2元；（4）.

【解析】
（1）根据中位数、众数的定义解答即可；（2）根据表格中的数据补全统计图即可；（3）根据计算平均数的公式求解即可；（4）根据扇形统计图，结合概率公式求解即可.

【详解】

（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是=10元，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数5元，

故答案为：10元、5元；

（2）补全图形如下：

（3）在甲超市平均获奖为=10（元），

在乙超市平均获奖为=8.2（元）；

（4）获得奖金10元的概率是=．

【点睛】

本题考查了中位数及众数的定义、平均数的计算公式及简单概率的求法，熟知这些知识点是解决本题的关键.

24、 (1)200；（2）72°,作图见解析；（3）.

【解析】
(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;

(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;

(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案.

【详解】

解：（1）这次知识竞赛共有学生=200（名）；

（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），

补图如下：

“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×=72°；

（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是： =．

【点睛】

本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键.

25、（1）小丽；（2）80

【解析】
解：（1）小丽；因为她没有从全校初二学生中随机进行抽查，不具有随机性与代表性．

（2）．

答：该校全体初二学生中有80名同学应适当减少上网的时间．

26、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）人.

【解析】
（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；

（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；

（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.

【详解】

解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）

a=12÷50=0.24，

70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）

b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）

c=2÷50=0.04

所以a=0.24，b=2，c=0.04；

（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：

1000×0.6=600（人）

∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；

（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B

从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：

抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，

∴抽取的2名同学来自同一组的概率P==

【点睛】

本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．

27、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；

【解析】

试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．

试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，

∴∠PAB=∠PBC，

又∵∠APB=∠BPC=120°，

∴△ABP∽△BCP，

②解：∵△ABP∽△BCP，

∴，

∴PB2=PA•PC=12，

∴PB=2；

（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠CPD=∠6=∠5=60°；

②证明：∵△ADF∽△CFP，

∴AF•PF=DF•CF，

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°，

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，

∴P点为△ABC的费马点．

考点：相似形综合题