陕西省渭南市临渭区重点名校2021-2022学年中考押题数学预测卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）

A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90

2．的倒数是（  ）

A． B．-3 C．3 D．

3．共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车2590000人次，其中2590000用科学记数法表示为(   )

A．259×104 B．25.9×105 C．2.59×106 D．0.259×107

4．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4

5．函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

6．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝的图象经过点D，则k值为（　　）

A．﹣14 B．14 C．7 D．﹣7

8．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．3

9．﹣22×3的结果是（　　）

A．﹣5 B．﹣12 C．﹣6 D．12

10．下列图形中，主视图为①的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．

12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）

A．40°               B．50°              C．60°               D．20°

13．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m，坝高为6m，则坝底AB的长为_____m．

14．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为     ．

15．某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈， cos53°≈，tan53°≈）．

16．如图，若双曲线（）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.

（1）求证：BE＝CE

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

18．（8分）某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下）

（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为　   　，C级学生所在的扇形圆心角的度数为　   　；

（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级　   　内；

（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？

19．（8分） [阅读]我们定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“中边三角形”，把这条边和其边上的中线称为“对应边”．

[理解]如图1，Rt△ABC是“中边三角形”，∠C=90°，AC和BD是“对应边”，求tanA的值；

[探究]如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，试求的值．

20．（8分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．

（1）求证：DF＝PG；

（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．

21．（8分）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E

（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；

（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．

22．（10分）先化简，再求值：，其中，．

23．（12分）如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点，恰为的直径．

求证：与相切；当时，求的半径．

24．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

求证：DE是⊙O的切线；若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

试题分析：设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可． 设某种书包原价每个x元，

可得：0.8x﹣10=90

考点：由实际问题抽象出一元一次方程．

2、A

【解析】
先求出，再求倒数.

【详解】

因为

所以的倒数是

故选A

【点睛】

考核知识点：绝对值，相反数，倒数.

3、C

【解析】
绝对值大于1的正数可以科学计数法，a×10n，即可得出答案.

【详解】

n由左边第一个不为0的数字前面的0的个数决定，所以此处n=6.

【点睛】

本题考查了科学计数法的运用，熟悉掌握是解决本题的关键.

4、C

【解析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案．

【详解】

A、a3•a2=a5，故A选项错误；

B、a﹣2=，故B选项错误；

C、3﹣2=，故C选项正确；

D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故D选项错误，

故选C．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5、C

【解析】

解：∵A、B是反比函数上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；

当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；

∵P是的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；

连接OP，=4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④．故选C．

点睛：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．

6、C

【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

详解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：C．

点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、B

【解析】

过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,

∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,

∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,

∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为:（7,2）,∴k,故选B.

8、B

【解析】
解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．

【详解】

由关于y的不等式组，可整理得

∵该不等式组解集无解，

∴2a+4≥﹣2

即a≥﹣3

又∵得x＝

而关于x的分式方程有负数解

∴a﹣4＜1

∴a＜4

于是﹣3≤a＜4，且a 为整数

∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3

则符合条件的所有整数a的和为1．

故选B．

【点睛】

本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．

9、B

【解析】
先算乘方，再算乘法即可．

【详解】

解：﹣22×3＝﹣4×3＝﹣1．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．有理数的混合运算，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号内的．

10、B

【解析】

分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．

详解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；

B、主视图是长方形，故此选项正确；

C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；

D、主视图是三角形，故此选项错误；

故选B．

点睛：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2

【解析】
过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，

【详解】

解：连接OB，OA′，AA′，

∵AA′关于直线MN对称，

∴

∵∠AMN=40°，

∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，

∴∠A′OB=120°，

过O作OQ⊥A′B于Q，

在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=

即PA+PB的最小值.

【点睛】

本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.

12、B．

【解析】

试题分析：根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．

考点：圆的基本性质、切线的性质．

13、（7+6）

【解析】
过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt△AEF中利用DF的长，求得线段AF的长；在Rt△BCE中利用CE的长求得线段BE的长，然后与AF、EF相加即可求得AB的长．

【详解】

解：如图所示：过点C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为：E，F，

∵坝顶部宽为2m，坝高为6m，
∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，
∵α=30°，
∴BE= （m），
∵背水坡的坡比为1.2：1，
∴，
解得：AF=5（m），
则AB=AF+EF+BE=5+2+6=（7+6）m，
故答案为（7+6）m．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．

14、.

【解析】

试题分析：连结OC、OD，因为C、D是半圆O的三等分点，所以，∠BOD＝∠COD＝60°，所以，三角形OCD为等边三角形，所以，半圆O的半径为OC＝CD＝2，S扇形OBDC＝，S△OBC＝＝，S弓形CD＝S扇形ODC－S△ODC＝＝，所以阴影部分的面积为为S＝－－（）＝.

考点：扇形的面积计算.

15、1.1．

【解析】
过点D作DO⊥AH于点O，先证明△ABC∽△AOD得出=，再根据已知条件求出AO，则OH=AH-AO=DG.

【详解】

解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：

由题意得CB∥DO，

∴△ABC∽△AOD，

∴=，

∵∠CAB=53°，tan53°=,

∴tan∠CAB==,

∵AB=1.74m，

∴CB=1.31m，

∵四边形DGHO为长方形，

∴DO=GH=3.05m，OH=DG，

∴=，

则AO=1.1875m，

∵BH=AB=1.75m，

∴AH=3.5m，

则OH=AH-AO≈1.1m，

∴DG≈1.1m.

故答案为1.1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.

16、．

【解析】
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，

设OC=2x，则BD=x，

在Rt△OCE中，∠COE=60°，则OE=x，CE=，

则点C坐标为（x，），

在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，则BF=，DF=，

则点D的坐标为（，），

将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：，

将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：，

则，

解得：，（舍去），

故=．故答案为．

考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）详见解析；（1）①详见解析；②1；③.

【解析】
（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；

（1）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；

②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=m，EB=m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（1）①解：如图1中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBM=∠ECN=45°，

∵∠MEN=∠BEC=90°，

∴∠BEM=∠CEN，

∵EB=EC，

∴△BEM≌△CEN；

②∵△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，

∴S△BMN=•x（4-x）=-（x-1）1+1，

∵-＜0，

∴x=1时，△BMN的面积最大，最大值为1．

③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=m，EB=m．

∴EG=m+m=（1+）m，

∵S△BEG=•EG•BN=•BG•EH，

∴EH==m，

在Rt△EBH中，sin∠EBH=．

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，

18、（1）4%；（2）72°；（3）380人

【解析】
（1）根据A级人数及百分数计算九年级（1）班学生人数，用总人数减A、B、D级人数，得C级人数，再用C级人数÷总人数×360°，得C等级所在的扇形圆心角的度数；

（2）将人数按级排列，可得该班学生体育测试成绩的中位数；

（3）用（A级百分数+B级百分数）×1900，得这次考试中获得A级和B级的九年级学生共有的人数；

（4）根据各等级人数多少，设计合格的等级，使大多数人能合格．

【详解】

解：（1）九年级（1）班学生人数为13÷26%=50人，

C级人数为50-13-25-2=10人，

C等级所在的扇形圆心角的度数为10÷50×360°=72°，

故答案为72°；

（2）共50人，其中A级人数13人，B级人数25人，

故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内，

故答案为B；

（3）估计这次考试中获得A级和B级的九年级学生共有（26%+25÷50）×1900=1444人；

（4）建议：把到达A级和B级的学生定为合格，（答案不唯一）．

19、tanA=；综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，的值为或．

【解析】
(1)由AC和BD是“对应边”，可得AC=BD，设AC=2x，则CD=x，BD=2x，可得∴BC=x，可得tanA===

(2) 当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，可得AC是QP的垂直平分线.可求得△AEF∽△CEP，=，分两种情况：

当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，

==，

∴=；

当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，

（3）作QN⊥AP于N，可得tan∠APQ===，

tan∠APE===，

∴=，

【详解】

解：[理解]∵AC和BD是“对应边”，

∴AC=BD，

设AC=2x，则CD=x，BD=2x，

∵∠C=90°，

∴BC===x，

∴tanA===；

[探究]若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“中边三角形”，

如图2，当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，

∴AC是QP的垂直平分线，

∴AP=AQ，

∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴===，

∵PE=CE，

∴=，

分两种情况：

当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，

==，

∴=；

当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，

如图3，作QN⊥AP于N，

∴MN=AN=PM=QM，

∴QN=MN，

∴ntan∠APQ===，

∴ta∠APE===，

∴=，

综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，的值为或．

【点睛】本题是一道相 似形综合运用的试题, 考查了相 似三角形的判定及性质的运用, 勾股定理的运用, 等腰直角三角形的性质的运用, 等腰三角形的性质的运用, 锐角三角形函数值的运用, 解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键.

20、（1）证明见解析；（2）1.

【解析】
作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等

（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，

∵四边形ABPM为矩形，

∴AB＝PM，

∴AD＝PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG＝90°，

∴∠GDH+∠DGH＝90°，

∵∠MGP+∠MPG＝90°，

∴∠GDH＝∠MPG，

在△ADF和△MPG中，

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG；

（2）作PM⊥DG于M，如图，

∵PD＝PG，

∴MG＝MD，

∵四边形ABCD为矩形，

∴PCDM为矩形，

∴PC＝MD，

∴DG＝2PC＝2；

∵△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG，

而PD＝PG，

∴DF＝PD，

∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，

∴∠EPG＝90°，PE＝PG，

∴PE＝PD＝DF，

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF＝PE，

∴四边形PEFD为平行四边形，

在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，

∴PD＝＝，

∴DF＝PG＝PD＝，

∵四边形CDMP是矩形，

∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，

∵PD＝PG，PM⊥AD，

∴MG＝MD＝1，DG＝2，

∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，

∴△DHG∽△PMG，

∴，

∴GH＝＝，

∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，

∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝1．

【点睛】

本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值

21、（Ⅰ）68°（Ⅱ）56°

【解析】
（1）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角,利用圆内接四边形的性质证明∠CED=∠A即可,（2）连接AE,在Rt△AEC中,先根据同圆中,相等的弦所对弧相等,再根据同圆中,相等的弧所对圆周角相等, 求出∠EAC,最后根据直径所对圆周是直角,利用直角三角形两锐角互余即可解决问题.

【详解】

（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，

∴∠A+∠DEB=180°，

∵∠CED+∠DEB=180°，

∴∠CED=∠A，

∵∠A=68°，

∴∠CED=68°．

（Ⅱ）连接AE．

∵DE=BD，

∴,

∴∠DAE=∠EAB=∠CAB=34°，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠AEC=90°，

∴∠C=90°﹣∠DAE=90°﹣34°=56°

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、直径的性质、圆内接四边形的性质等知识,解决本题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

22、9

【解析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

当，时，

原式

【点睛】

本题考查整式的化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．

23、 (1)证明见解析；(2)．

【解析】
(1)连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；

(2)结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．

【详解】

(1)连接OM，则OM=OB，

∴∠1=∠2，

∵BM平分∠ABC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BC，

∴∠AMO=∠AEB，

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠AMO=90°，

∴OM⊥AE，

∵点M在圆O上，

∴AE与⊙O相切；

(2)在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，

∴BE=BC，∠ABC=∠C，

∵BC=4，cosC=

∴BE=2，cos∠ABC=，

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴AB==6，

设⊙O的半径为r，则AO=6-r，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴∴，

∴，

解得，

∴的半径为．

【点睛】

本题考查了切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形等知识，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.

24、解：（1）证明见解析；

（2）⊙O的半径是7.5cm．

【解析】
（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．

【详解】

（1）证明：连接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，

∴∠ODA=∠DAE．

∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°．

即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴．

连接CD．

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE．

∴．

∴．

则AC=15（cm）．

∴⊙O的半径是7.5cm．

考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．