辽宁省沈阳市第八十七中学2021-2022学年中考数学考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．估计的值在（    ）

A．0到l之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间

2．如图，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ）

A．6π B．12π C．18π D．24π

3．下列各数中比﹣1小的数是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

4．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）个．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(     )

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

6．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

7．计算a•a2的结果是（　　）

A．a    B．a2    C．2a2    D．a3

8．已知x=1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+2mn+n2的值为（    ）

A．–1    B．2    C．1    D．–2

9．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（   ）

A．6 B．6 C．3 D．9

10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A． B．

C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则的值为_____．

12．如图，在中，CM平分交AB于点M，过点M作交AC于点N，且MN平分，若，则BC的长为______．

13．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为_____．

14．关于x的分式方程=2的解为正实数，则实数a的取值范围为_____．

15．若a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝_____．

16．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是     边形．

17．如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=_____________ .

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

此次共调查了　   　名学生；将条形统计图1补充完整；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切线．

(1)求证：∠PBA=∠C；

(2)若OP∥BC，且OP=9，⊙O的半径为3，求BC的长．

20．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　   　．如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）

21．（10分）如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：在图1中作出圆心O；在图2中过点B作BF∥AC．

22．（10分）如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)⊙O的半径为5，tanA=，求FD的长．

23．（12分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．

（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．

①求∠CAM的度数；

②当FH=，DM=4时，求DH的长．

24．（14分）定安县定安中学初中部三名学生竞选校学生会主席，他们的笔试成绩和演讲成绩（单位：分）分别用两种方式进行统计，如表和图．

（1）请将表和图中的空缺部分补充完整；图中B同学对应的扇形圆心角为　   　度；竞选的最后一个程序是由初中部的300名学生进行投票，三名候选人的得票情况如图（没有弃权票，每名学生只能推荐一人），则A同学得票数为　   　，B同学得票数为　   　，C同学得票数为　   　；若每票计1分，学校将笔试、演讲、得票三项得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三名候选人的最终成绩，并根据成绩判断　   　当选．（从A、B、C、选择一个填空）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

∵9<11<16,

∴,

∴

故选B.

2、A

【解析】
根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

∵，

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.

∴阴影部分面积=.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.

3、A

【解析】
根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．

【详解】

解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；

B、﹣1＝﹣1，故B错误；

C、0＞﹣1，故C错误；

D、1＞﹣1，故D错误；

故选：A．

【点睛】

本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．

4、B

【解析】

分析：根据已知画出图象，把x=−2代入得：4a−2b+c=0，把x=−1代入得：y=a−b+c>0，根据不等式的两边都乘以a(a<0)得：c>−2a，由4a−2b+c=0得而0<c<2,得到即可求出2a−b+1>0.

详解：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，画出图象为：如图

把x=−2代入得：4a−2b+c=0，∴①正确；

把x=−1代入得：y=a−b+c>0，如图A点，∴②错误；

∵(−2,0)、(x1,0),且1<x1，

∴取符合条件1<x1<2的任何一个x1,−2⋅x1<−2，

∴由一元二次方程根与系数的关系知

∴不等式的两边都乘以a(a<0)得：c>−2a，

∴2a+c>0，∴③正确；

④由4a−2b+c=0得

而0<c<2,∴

∴−1<2a−b<0

∴2a−b+1>0，

∴④正确.

所以①③④三项正确．

故选B.

点睛：属于二次函数综合题，考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与轴的交点，属于常考题型.

5、C

【解析】
在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．

【点睛】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

6、A

【解析】
根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．

【详解】

解：原几何体的主视图是：

．

视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．

故取走的正方体是①．

故选A．

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.

7、D

【解析】

a·a2= a3.

故选D.

8、C

【解析】
把x=1代入x2+mx+n=0，可得m+n=-1，然后根据完全平方公式把m2+2mn+n2变形后代入计算即可.

【详解】

把x=1代入x2+mx+n=0，

代入1+m+n=0，

∴m+n=-1，

∴m2+2mn+n2=(m+n)2=1.

故选C.

【点睛】

本题考查了方程的根和整体代入法求代数式的值，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根.

9、B

【解析】
连接DF，根据垂径定理得到 , 得到∠DCF=∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．

【详解】

解：连接DF，

∵直径CD过弦EF的中点G，

∴，

∴∠DCF=∠EOD=30°，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴CF=CD•cos∠DCF=12× = ，

故选B．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

10、C

【解析】
由一元二次方程有实数根可知△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2−2x+k+2=0有实数根，

∴△=(−2)2−4(k+2)⩾0，

解得：k⩽−1，

在数轴上表示为：

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1．

【解析】

试题分析：∵，是方程的两实数根，∴由韦达定理，知，，∴===1，即的值是1．故答案为1．

考点：根与系数的关系．

12、1

【解析】
根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．

【详解】

∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，

∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，

∴∠ACB=2∠B，NM=NC，

∴∠B=30°，

∵AN=1，

∴MN=2，

∴AC=AN+NC=3，

∴BC=1，

故答案为1．

【点睛】

本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

13、3:4

【解析】

由于相似三角形的相似比等于对应中线的比，

∴△ABC与△DEF对应中线的比为3：4

故答案为3：4.

14、a＜2且a≠1

【解析】
将a看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．

【详解】

分式方程去分母得：x+a-2a=2(x-1)，

解得：x=2-a，

∵分式方程的解为正实数，

∴2-a>0,且2-a≠1，

解得：a＜2且a≠1．

故答案为：a＜2且a≠1．

【点睛】

分式方程的解．

15、1

【解析】
根据a2+b2=（a+b）2-2ab，代入计算即可．

【详解】

∵a+b＝3，ab＝2，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式．

16、七

【解析】
根据多边形的内角和公式，列式求解即可.

【详解】

设这个多边形是边形，根据题意得，

，

解得.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

17、°

【解析】
通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APB．

【详解】

把△PAB绕B点顺时针旋转90°，得△P′BC，

则△PAB≌△P′BC，

设PA=x，PB=2x，PC=3x，连PP′，

得等腰直角△PBP′，PP′2=（2x）2+（2x）2=8x2，

∠PP′B=45°．

又PC2=PP′2+P′C2，

得∠PP′C=90°．

故∠APB=∠CP′B=45°+90°=135°．

故答案为135°．

【点睛】

本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把△PAB顺时针旋转90°使得A′与C点重合是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、 (1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人．

【解析】
(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数

(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;

(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;

(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数

【详解】

(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，

∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，

故答案为200；

(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，

∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，

∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，

如图所示：

(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，

∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，

∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，

∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；

(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．

【点睛】

此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键

19、 (1)证明见解析；(2)BC=1．

【解析】
（1）连接OB，根据切线的性质和圆周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°，即可求出答案；
（2）求出△ABC∽△PBO，得出比例式，代入求出即可．

【详解】

(1)连接OB，

∵PB是⊙O的切线，∴PB⊥OB，∴∠PBA+∠OBA=90°，

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°，

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠PBA=∠C；

(2)∵⊙O的半径是3 ，

∴OB=3，AC=6，∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC，

∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠BOP=∠C，∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO，∴=，∴=，∴BC=1．

【点睛】

本题考查平行线的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解题关键．

20、（1）；（2）；（3）第一题.

【解析】
（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；

（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．

【详解】

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率=；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为1，所以小明顺利通关的概率为；

（3）建议小明在第一题使用“求助”．理由如下：

小明将“求助”留在第一题，

画树状图为：

小明将“求助”留在第一题使用，小明顺利通关的概率=，

因为＞，

所以建议小明在第一题使用“求助”．

【点睛】

本题考查的是概率，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.

21、见解析.

【解析】
（1）画出⊙O的两条直径，交点即为圆心O．

（2）作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．

【详解】

解：作图如下：

（1）；

（2）.

【点睛】

本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22、（1）证明见解析（2）

【解析】
（1）由点G是AE的中点，根据垂径定理可知OD⊥AE，由等腰三角形的性质可得∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD，从而∠OBD+∠CBF=90°，从而可证结论；

（2）连接AD，解Rt△OAG可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG的长，再证明△DAG∽△FDG，由相似三角形的性质求出FG的长，再由勾股定理即可求出FD的长.

【详解】

（1）∵点G是AE的中点，

∴OD⊥AE，

∵FC=BC，

∴∠CBF=∠CFB，

∵∠CFB=∠DFG，

∴∠CBF=∠DFG

∵OB=OD，

∴∠D=∠OBD，

∵∠D+∠DFG=90°，

∴∠OBD+∠CBF=90°

即∠ABC=90°

∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵OA=5，tanA=，

∴OG=3，AG=4，

∴DG=OD﹣OG=2，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADF=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°

∴∠DAG=∠FDG，

∴△DAG∽△FDG，

∴，

∴DG2=AG•FG，

∴4=4FG，

∴FG=1

∴由勾股定理可知：FD=.

【点睛】

本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD是解（1）的关键，证明证明△DAG∽△FDG是解（2）的关键.

23、（1）证明见解析；（2）结论：成立．理由见解析；（3）①30°，②1+．

【解析】
（1）只要证明AB=ED，AB∥ED即可解决问题；（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH=x，则AH= x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出 ，可得，解方程即可；

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD=∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，

∴BD=DC，

∴△ABD≌△EDC，

∴AB=ED，∵AB∥ED，

∴四边形ABDE是平行四边形．

（2）结论：成立．理由如下：

如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．

∵CE∥AM，

∴四边形DMGE是平行四边形，

∴ED=GM，且ED∥GM，

由（1）可知AB=GM，AB∥GM，

∴AB∥DE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形．

（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，

∵BM=MC，

∴MI是△BHC的中位线，

∴MI∥BH，MI=BH，

∵BH⊥AC，且BH=AM．

∴MI=AM，MI⊥AC，

∴∠CAM=30°．

②设DH=x，则AH=x，AD=2x，

∴AM=4+2x，

∴BH=4+2x，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴DF∥AB，

∴，

∴，

解得x=1+或1﹣（舍弃），

∴DH=1+．

【点睛】

本题考查了四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键能正确添加辅助线，构造特殊四边形解决问题．

24、（1）90；（2）144度；（3）105，120，75；（4）B

【解析】
（1）由条形图可得A演讲得分，由表格可得C笔试得分，据此补全图形即可；

（2）用360°乘以B对应的百分比可得答案；

（3）用总人数乘以A、B、C三人对应的百分比可得答案；

（4）根据加权平均数的定义计算可得．

【详解】

解：（1）由条形图知，A演讲得分为90分，

补全图形如下：

故答案为90；

（2）扇图中B同学对应的扇形圆心角为360°×40%＝144°，

故答案为144；

（3）A同学得票数为300×35%＝105，B同学得票数为300×40%＝120，C同学得票数为300×25%＝75，

故答案为105、120、75；

（4）A的最终得分为＝92.5（分），

B的最终得分为＝98（分），

C的最终得分为＝84（分），

∴B最终当选，

故答案为B．

【点睛】

本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．