辽宁省辽阳市二中学教育协作2022年中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为

A．2 B．3 C．4 D．8

2．如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为(      )

A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm

3．数据”1,2,1,3,1”的众数是(      )

A．1    B．1.5    C．1.6    D．3

4．下列四个几何体，正视图与其它三个不同的几何体是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（　　）

①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=CD；④△DCE与△BDF的周长相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．方程的解是（   ）

A． B． C． D．

7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

8．下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6 B．（x3）3=x6 C．x5+x5=x10 D．﹣a8÷a4=﹣a4

9．在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（    ）

A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知抛物线y=，那么抛物线在y轴右侧部分是_________（填“上升的”或“下降的”）．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．

13．直线y=x与双曲线y=在第一象限的交点为（a，1），则k=_____．

14．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：

①公交车的速度为400米/分钟；

②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；

③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；

④小刚上课迟到了1分钟．

其中正确的序号是_____．

15．计算的结果是____.

16．已知一组数据1，2，x，2，3，3，5，7的众数是2，则这组数据的中位数是　  ．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上．

求反比例函数的表达式；在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．

18．（8分）如图，在中，，为边上的中线，于点E.

求证：；若，，求线段的长.

19．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF

（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与双曲线的一个交点为B（－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标.

21．（8分）小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D处测得塔顶端A的仰角为45°，接着在建筑物顶端C处测得塔顶端A的仰角为37.5°．已知AB⊥BD，CD⊥BD，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．

23．（12分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？

24．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=1．

考点：根与系数的关系．

2、B

【解析】
首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，根据已知条件可得：OA=2OC，进而求出∠AOC的度数，则圆心角∠AOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长．

【详解】

解：如图，连接OC，AO，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=6，OC=3，
∴OA=2OC，
∴∠A=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴劣弧AB的长= =4π，
故选B．

【点睛】

本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．

3、A

【解析】
众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．

【详解】

在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1．

故选：A．

【点睛】

本题为统计题，考查众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

4、C

【解析】
根据几何体的三视图画法先画出物体的正视图再解答.

【详解】

解：A、B、D三个几何体的主视图是由左上一个正方形、下方两个正方形构成的，

而C选项的几何体是由上方2个正方形、下方2个正方形构成的，

故选：C．

【点睛】

此题重点考查学生对几何体三视图的理解，掌握几何体的主视图是解题的关键.

5、D

【解析】

等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，

∴∠A=∠B=45°，

由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，

∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，

∴∠CDE=∠DFB，故①正确；

由折叠可得，DE=AE=3，

∴CD=，

∴BD=BC﹣DC=4﹣＞1，

∴BD＞CE，故②正确；

∵BC=4，CD=4，

∴BC=CD，故③正确；

∵AC=BC=4，∠C=90°，

∴AB=4，

∵△DCE的周长=1+3+2=4+2，

由折叠可得，DF=AF，

∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣2）=4+2，

∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；

故选D．

点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

6、D

【解析】
按照解分式方程的步骤进行计算，注意结果要检验.

【详解】

解：

经检验x=4是原方程的解

故选：D

【点睛】

本题考查解分式方程，注意结果要检验.

7、B

【解析】
根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可．

【详解】

A、 =4，不符合题意；

B、是最简二次根式，符合题意；

C、=，不符合题意；

D、=，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

8、D

【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

A、原式=a5，不符合题意；

B、原式=x9，不符合题意；

C、原式=2x5，不符合题意；

D、原式=-a4，符合题意，

故选D．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9、D

【解析】
先利用勾股定理计算出OP=1，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．

【详解】

∵点P的坐标为（3，4），∴OP1．

∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞1．

故选D．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

10、C

【解析】
利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．

【详解】

∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①②正确；

∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，

∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；

∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正确，

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、上升的

【解析】
∵抛物线y=x2-1开口向上，对称轴为x=0 (y 轴)，
∴在y 轴右侧部分抛物线呈上升趋势．

故答案为：上升的．

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

12、或

【解析】

试题分析：如图4所示；点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC==4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=．∴DE=．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC﹣DC=4﹣3=4．∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA．∴，即．解得：DE=．点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．

考点：翻折变换（折叠问题）．

13、1

【解析】

分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值．

详解：将(a，1)代入正比例函数可得：a=1，  ∴交点坐标为(1，1)，

∴k=1×1=1．

点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型．根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键．

14、①②③

【解析】
由公交车在7至12分钟时间内行驶的路程可求解其行驶速度，再由求解的速度可知公交车行驶的时间，进而可知小刚上公交车的时间；由上公交车到他到达学校共用10分钟以及公交车行驶时间可知小刚跑步时间，进而判断其是否迟到，再由图可知其跑步距离，可求解小刚下公交车后跑向学校的速度.

【详解】

解：公交车7至12分钟时间内行驶的路程为3500-1200-300=2000m，则其速度为2000÷5=400米/分钟，故①正确；由图可知，7分钟时，公交车行驶的距离为1200-400=800m，则公交车行驶的时间为800÷400=2min，则小刚从家出发7-2=5分钟时乘上公交车，故②正确；公交车一共行驶了2800÷400=7分钟，则小刚从下公交车到学校一共花了10-7=3分钟＜4分钟，故④错误，再由图可知小明跑步时间为300÷3=100米/分钟，故③正确.

故正确的序号是：①②③.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用.

15、

【解析】

原式= ，

故答案为.

16、2.1

【解析】

试题分析：∵数据1，2，x，2，3，3，1，7的众数是2，

∴x=2，

∴这组数据的中位数是（2+3）÷2=2.1；

故答案为2.1．

考点：1、众数；2、中位数

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在．

【解析】
（1）将点A（，1）代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；

（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），计算求出S△AOB=××4=．则S△AOP=S△AOB=．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；

（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣，﹣1），即可求解．

【详解】

（1）∵点A（，1）在反比例函数的图象上，

∴k=×1=，

∴反比例函数的表达式为；

（2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C，

∴OC=，AC=1，由射影定理得=AC•BC，

可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=，

∴S△AOP=S△AOB=．

设点P的坐标为（m，0），

∴×|m|×1=，

∴|m|=，

∵P是x轴的负半轴上的点，

∴m=﹣，

∴点P的坐标为（，0）；

（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4，

∴sin∠ABO===，

∴∠ABO=30°，

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1，

∴E（，﹣1），

∵×（﹣1）=，

∴点E在该反比例函数的图象上．

考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化-旋转．

18、（1）见解析；（2）.

【解析】
对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD⊥BC，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED，至此问题不难证明；

对于（2），利用勾股定理求出AD，利用相似比，即可求出DE.

【详解】

解：（1)证明：∵，

∴.

又∵为边上的中线，

∴.

∵，

∴，

∴.

(2)∵，∴.

在中，根据勾股定理，得.

由（1）得，∴，

即，

∴.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

19、（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；

【解析】

分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．

详解：（1）证明：∵EF∥AB

∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E

∵AE=AF

∴∠EFA =∠E

∴∠FAB=∠CAB

∵AC=AF，AB=AB

∴△ABC≌△ABF

∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF是⊙A的切线.

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.

理由：∵EF∥AB

∴∠E=∠CAB=60°

∵AE=AF

∴△AEF是等边三角形

∴AE=EF，

∵AE=AD

∴EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

∵AE=EF

∴平行四边形ADFE为菱形.

点睛：本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．

20、（1）直线的表达式为，双曲线的表达方式为；（2）点P的坐标为或

【解析】

分析：（1）将点B（-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可；

（2）根据直线解析式求得点A坐标，由S△ACP＝AC•|yP|＝4求得点P的纵坐标，继而可得答案．

详解：（1）∵直线与双曲线 （）都经过点B（－1，4），

，

，

∴直线的表达式为，双曲线的表达方式为.  

（2）由题意，得点C的坐标为C（－1，0），直线与x轴交于点A（3，0），

，

∵，

，

点P在双曲线上，

∴点P的坐标为或.

点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．

21、43米

【解析】
作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．根据tan∠ACE=，列出方程即可解决问题．

【详解】

解：如图，作CE⊥AB于E．则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，

∴AB=BD=x，

在Rt△AEC中，

tan∠ACE==tan37.5°≈0.77，

∴=0.77，

解得x≈43，

答：“小雁塔”的高AB的长度约为43米．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．

22、（1）y=；y=x-2；（2）（0,0）或（4,0）

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）首先求得AB与x轴的交点，设交点是C，然后根据S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．

试题解析：（1）∵反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（1，1），

∴1=

∴m=1．

∴反比例函数的表达式为y=．

∵一次函数y=kx+b的图象过点A（1，1）和B（0，-2）．

∴，

解得：，

∴一次函数的表达式为y=x-2；

（2）令y=0，∴x-2=0，x=2，

∴一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．

∵S△ABP=1，

PC×1+PC×2=1．

∴PC=2，

∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据S△ABP=S△ACP+S△BCP列方程是关键．

23、1人

【解析】

解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：

，整理得0.8（x+88）=x，解之得x=1．

经检验x=1是原方程的解．

答：这个学校九年级学生有1人． 

设九年级学生有x人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：，根据题意可得方程，解方程即可．

24、这种测量方法可行，旗杆的高为21.1米．

【解析】

分析：根据已知得出过F作FG⊥AB于G，交CE于H，利用相似三角形的判定得出△AGF∽△EHF，再利用相似三角形的性质得出即可．

详解：这种测量方法可行．

理由如下：

设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．

所以△AGF∽△EHF．

因为FD=1.1，GF=27+3=30，HF=3，

所以EH=3.1﹣1.1=2，AG=x﹣1.1．

由△AGF∽△EHF，

得，

即，

所以x﹣1.1=20，

解得x=21.1（米）

答：旗杆的高为21.1米．

点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AGF∽△EHF是解题关键．