江苏省南京市栖霞区重点名校2022年中考数学四模试卷含解析

这是一份江苏省南京市栖霞区重点名校2022年中考数学四模试卷含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列命题中假命题是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．这个数是( )
A．整数B．分数C．有理数D．无理数
2．为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位．已知1飞米等于0.000000000000001米，把0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣15B．0.1×10﹣14C．0.01×10﹣13D．0.01×10﹣12
3．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x≠0D．x≠1
4．下列命题中假命题是（ ）
A．正六边形的外角和等于B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小D．方程无实数根
5．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是( )
A．内切B．外切C．相交D．外离
7．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
10．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定 成立的是（ ）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A．①和④B．②和③C．③和④D．②和④
11．花园甜瓜是乐陵的特色时令水果．甜瓜一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批甜瓜，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上甜瓜数量陡增，而自己的甜瓜卖相已不大好，于是果断地将剩余甜瓜以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进甜瓜的质量为（ ）kg．
A．180B．200C．240D．300
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于( )
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B－C－D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是( )
A．B．C．D．
14．已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC·AB，则AC的长___________cm．
15．反比例函数y=的图象是双曲线，在每一个象限内，y随x的增大而减小，若点A（–3，y1），B（–1，y2），C（2，y3）都在该双曲线上，则y1、y2、y3的大小关系为__________．（用“<”连接）
16．不等式组的解集为______．
17．不等式1﹣2x＜6的负整数解是___________．
18．已知点A，B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，﹣2），将线段AB平移，得到线段A′B′，其中点A与点A′对应，点B与点B′对应，若点A′的坐标为（2，﹣3），则点B′的坐标为________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上．
求反比例函数的表达式；在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形.
21．（6分）如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面的夹角，由原来的45°改为36°，已知原传送带BC长为4米，求新传送带AC的长及新、原传送带触地点之间AB的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.1，tan36°≈0.73，取1.414
22．（8分） “六一”期间，小张购述100只两种型号的文具进行销售，其中A种型号的文具进价为10元/只，售价为12元，B种型号的文具进价为15元1只，售价为23元/只．
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
（2）如果购进A型文具的数量不少于B型文具数量的倍，且要使销售文具所获利润不低于500元，则小张共有几种不同的购买方案？哪一种购买方案使销售文具所获利润最大？
23．（8分）根据图中给出的信息，解答下列问题：
放入一个小球水面升高 ，，放入一个大球水面升高 ；如果要使水面上升到50，应放入大球、小球各多少个？
24．（10分）如图，在直角三角形ABC中，
（1）过点A作AB的垂线与∠B的平分线相交于点D
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A=30°，AB=2，则△ABD的面积为 ．
25．（10分）我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．
26．（12分）2019年我市在“展销会”期间，对周边道路进行限速行驶.道路AB段为监测区，C、D为监测点(如图).已知C、D、B在同一条直线上，且，CD=400米，，.求道路AB段的长；(精确到1米)如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由.(参考数据：，，)
27．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D且BD＝2AD，过点D作DE⊥AC交BA延长线于点E，垂足为点F．
（1）求tan∠ADF的值；
（2）证明：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径R＝5，求EF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解析】
由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．
【详解】
解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．
故选D．
【点睛】
本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．
2、A
【解析】
根据科学记数法的表示方法解答.
【详解】
解：把这个数用科学记数法表示为．
故选：．
【点睛】
此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键.
3、D
【解析】
试题解析：由题意可知：x-1≠0，
x≠1
故选D.
4、C
【解析】
试题解析：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B、位似图形必定相似，是真命题；
C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C．
考点：命题与定理．
5、A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
=，
故选A．
6、C
【解析】
两圆内含时，无公切线；两圆内切时，只有一条公切线；两圆外离时，有4条公切线；两圆外切时，有3条公切线；两圆相交时，有2条公切线．
【详解】
根据两圆相交时才有2条公切线．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系．熟悉两圆的不同位置关系中的外公切线和内公切线的条数．
7、A
【解析】
根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．
【详解】
解：原几何体的主视图是：
．
视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．
故取走的正方体是①．
故选A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.
8、D
【解析】
分析：
详解：如图,
∵AB⊥CD,CE⊥AD,
∴∠1=∠2,
又∵∠3=∠4,
∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,
即∠A=∠C.
∵BF⊥AD,
∴∠CED=∠BFD=90°,
∵AB=CD,
∴△ABF≌△CDE,
∴AF=CE=a,ED=BF=b,
又∵EF=c,
∴AD=a+b-c.
故选:D.
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.
9、C
【解析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可.
【详解】
解：连接OA、OM、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转中心的距离与OA的长度应相等
根据网格线和勾股定理可得：OA=，OM=，ON=，OP=，OQ=5
∵OA=OM=ON=OQ≠OP
∴则点A不经过点P
故选C.
【点睛】
此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.
10、D
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立；
AD∥BC，故③成立；
利用排除法可得②与④不一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立．
故选D.
11、B
【解析】
根据题意去设所进乌梅的数量为，根据前后一共获利元，列出方程，求出x值即可.
【详解】
解：设小李所进甜瓜的数量为，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：小李所进甜瓜的数量为200kg．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，解题关键在于对等量关系的理解，进而列出方程即可.
12、A
【解析】
根据锐角三角函数的定义得出sinB等于∠B的对边除以斜边，即可得出答案．
【详解】
根据在△ABC中，∠C=90°，
那么sinB= =，
故答案选A.
【点睛】
本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、C
【解析】
分出情况当P点在BC上运动，与P点在CD上运动，得到关系，选出图象即可
【详解】
由题意可知，P从B开始出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s=x
当2＜x≤3，s=1
所以刚开始的时候为正比例函数s=x图像，后面为水平直线，故选C
【点睛】
本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P的运动状态
14、
【解析】
设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB列方程求解即可.
【详解】
解：设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),
解得：x=或（舍去）.
故答案为.
【点睛】
本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.
15、y2＜y1＜y1．
【解析】
先根据反比例函数的增减性判断出2-m的符号，再根据反比例函数的性质判断出此函数图象所在的象限，由各点横坐标的值进行判断即可．
【详解】
∵反比例函数y=的图象是双曲线，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴2−m>0，∴此函数的图象在一、三象限，∵−1<−1<0，∴0>y1>y2，∵2>0，∴y1>0，
∴y2故答案为y2【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握列反比例函数图像上点的坐标特征.
16、1＜x≤1
【解析】
解不等式x﹣3（x﹣2）＜1，得：x＞1，
解不等式，得：x≤1，
所以不等式组解集为：1＜x≤1，
故答案为1＜x≤1．
17、﹣2，﹣1
【解析】试题分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的整数解即可．
解：1﹣2x＜6，
移项得：﹣2x＜6﹣1，
合并同类项得：﹣2x＜5，
不等式的两边都除以﹣2得：x＞﹣，
∴不等式的负整数解是﹣2，﹣1，
故答案为：﹣2，﹣1．
点评：本题主要考查对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
18、（5，﹣8）
【解析】
各对应点之间的关系是横坐标加4，纵坐标减6，那么让点B的横坐标加4，纵坐标减6即为点B′的坐标．
【详解】
由A（-2，3）的对应点A′的坐标为（2，-13），
坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加4，纵坐标减6，
∴点B′的横坐标为1+4=5；纵坐标为-2-6=-8；
即所求点B′的坐标为（5，-8）．
故答案为（5，-8）
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在．
【解析】
（1）将点A（，1）代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），计算求出S△AOB=××4=．则S△AOP=S△AOB=．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；
（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣，﹣1），即可求解．
【详解】
（1）∵点A（，1）在反比例函数的图象上，
∴k=×1=，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC=，AC=1，由射影定理得=AC•BC，
可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=，
∴S△AOP=S△AOB=．
设点P的坐标为（m，0），
∴×|m|×1=，
∴|m|=，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣，
∴点P的坐标为（，0）；
（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4，
∴sin∠ABO===，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1，
∴E（，﹣1），
∵×（﹣1）=，
∴点E在该反比例函数的图象上．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化-旋转．
20、（1）证明见解析；（2）从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．
【解析】
（1）根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；（2）分别考虑P在BC和DA上的情况求出t的值.
【详解】
解：（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD间的最短距离是4cm，
∵AB=3cm，AE=AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
设经过ts时，△BEP是等腰三角形，
当P在BC上时，
①BP=EB=2cm，
t=2时，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=BE=1cm
∵cs∠ABC=，
∴BP=cm，
t=时，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，则BP=2BN，
∴csB=，
∴，
BN=cm，
∴BP=，
∴t=时，△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，
过P作PQ⊥BA于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
设PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，
∴x= ，
AP=5x=cm，
∴t=5+5+3﹣=，
答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形.
21、新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．
【解析】
根据题意得出：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1，即可得出BD的长，再表示出AD的长，进而求出AB的长．
【详解】
解：如图，作CD⊥AB于点D，由题意可得：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1．
在Rt△BCD中，sin∠CBD=，∴CD=BCsin∠CBD=2．
∵∠CBD=15°，∴BD=CD=2．
在Rt△ACD中，sinA=，tanA=，∴AC=≈≈1.8，AD==，∴AB=AD﹣BD=﹣2=﹣2×1.111≈3.87﹣2.83=1.21≈1.2．
答：新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．
【点睛】
本题考查了坡度坡角问题，正确构建直角三角形再求出BD的长是解题的关键．
22、（1）A种文具进货40只，B种文具进货60只；（2）一共有三种购货方案，购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．
【解析】
（1）设可以购进A种型号的文具x只，则可以购进B种型号的文具只，根据总价＝单价×数量结合A、B两种文具的进价及总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据题意列不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】
（1）设A种文具进货x只，B种文具进货只，由题意得：
，
解得：x＝40，
，
答：A种文具进货40只，B种文具进货60只；
（2）设购进A型文具a只，则有，且；
解得：，
∵a为整数，
∴a＝48、49、50，一共有三种购货方案；
利润，
∵，w随a增大而减小，
当a＝48时W最大，即购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际问题，熟练掌握一次函数表达式的确定以及自变量取值范围的确定，最值的求解方法是解决本题的关键.
23、详见解析
【解析】
（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可．
（1）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】
解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得2x=21﹣16，解得x=1．
设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得1y=21﹣16，解得：y=2．
所以，放入一个小球水面升高1cm，放入一个大球水面升高2cm．
（1）设应放入大球m个，小球n个，由题意，得
，解得：．
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个．
24、（1）见解析（2）
【解析】
（1）分别作∠ABC的平分线和过点A作AB的垂线，它们的交点为D点；
（2）利用角平分线定义得到∠ABD=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=AB=，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）如图，点D为所作；
（2）∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．
∵BD为角平分线，∴∠ABD=30°．
∵DA⊥AB，∴∠DAB=90°．在Rt△ABD中，AD=AB=，∴△ABD的面积=×2×=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形面积公式．
25、（1）y1=﹣t（t﹣30）（0≤t≤30）；（2）∴y2=；（3）上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．
【解析】
(1)根据题意得出y1与t之间是二次函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式；
(2)利用待定系数法分别求出两个函数解析式，从而得出答案；
(3)分0≤t＜20、t=20和20≤t≤30三种情况根据y=y1+y2求出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最值，从而得出整体的最值．
【详解】
解：(1)由图表数据观察可知y1与t之间是二次函数关系，
设y1=a（t﹣0）（t﹣30）
再代入t=5，y1=25可得a=﹣
∴y1=﹣t（t﹣30）（0≤t≤30）
(2)由函数图象可知y2与t之间是分段的一次函数由图象可知：
0≤t＜20时，y2=2t，当20≤t≤30时，y2=﹣4t+120，
∴y2=，
(3)当0≤t＜20时，y=y1+y2=﹣t（t﹣30）+2t=80﹣（t﹣20）2 ，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，
当20≤t≤30时，y=y1+y2=﹣t（t﹣30）﹣4t+120=125﹣（t﹣5）2 ，
可知抛物线开口向下，t的取值范围在对称轴右侧，y随t的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，
故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．
26、 (1)AB≈1395 米；(2)没有超速．
【解析】
（1）先根据tan∠ADC＝2求出AC，再根据∠ABC＝35°结合正弦值求解即可（2）根据速度的计算公式求解即可.
【详解】
解：(1)∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∵tan∠ADC＝＝2，
∵CD＝400，
∴AC＝800，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，
∴AB＝＝≈1395 米；
(2)∵AB＝1395，
∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，
故没有超速．
【点睛】
此题重点考察学生对三角函数值的实际应用，熟练掌握三角函数值的实际应用是解题的关键.
27、（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
(1) AB是⊙O的直径，AB=AC，可得∠ADB=90°，∠ADF=∠B，可求得tan∠ADF的值；
（2）连接OD，由已知条件证明AC∥OD，又DE⊥AC，可得DE是⊙O的切线；
(3)由AF∥OD，可得△AFE∽△ODE，可得后求得EF的长．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF=∠B，
∴tan∠ADF=tan∠B==；
（2）连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）设AD=x，则BD=2x，
∴AB=x=10，
∴x=2，
∴AD=2，
同理得：AF=2，DF=4，
∵AF∥OD，
∴△AFE∽△ODE，
∴，
∴=，
∴EF=．
【点睛】
本题考查切线的证明及圆与三角形相似的综合，为中考常考题型，需引起重视．