2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、,　零角.,按终边位置不同分为象限角,　和轴线角.))(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式3.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　×　)(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是eq \f(π,6).(　×　)(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　×　)(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．(　×　)教材改编题1．若sin α<0，且tan α>0，则α是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案　C2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．答案　12π解析　∵α＝30°＝eq \f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq \f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×12＝12π.3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cos α＝________.答案　－eq \f(3\r(10),10)　eq \f(\r(10),10)题型一　角及其表示例1　(1)(多选)下列命题正确的是(　　)A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°答案　AD解析　B项，终边落在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq \f(17,8)≤k≤－eq \f(1,8)(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确．(2)已知α为第三象限角，则eq \f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．答案　二、四　第一、二象限或y轴的非负半轴上解析　∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq \f(π,2)<eq \f(α,2)0，L＝2r＋eq \f(8,r)单调递增，所以当r＝2时，扇形的周长取得最小值．此时l＝eq \f(8,r)＝4，故扇形的圆心角α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,2)＝2.思维升华　应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练2　(1)(2022·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为eq \f(π,4)米，整个肩宽约为eq \f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.73)(　　)A．1.612米 B．1.768米C．1.868米 D．2.045米答案　B解析　由题意得，“弓”所在的弧长为l＝eq \f(π,4)＋eq \f(π,4)＋eq \f(π,8)＝eq \f(5π,8)，R＝1.25＝eq \f(5,4)，∴其所对的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq \f(π,2)，∴两手之间的距离d＝eq \r(R2＋R2)＝eq \r(2)×1.25≈1.768.(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.答案　2　2解析　设扇形的圆心角为α，半径为r.则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1，))所以弧长l＝αr＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.题型三　三角函数的概念例3　(1)若sin θ·cos θ<0，eq \f(tan θ,sin θ)>0，则角θ是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案　D解析　由eq \f(tan θ,sin θ)>0，得eq \f(1,cos θ)>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________.答案　±eq \f(2\r(5),5)解析　由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，∴sin α＝eq \f(2,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，∴sin α＝eq \f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq \f(2\r(5),5).(3)已知α的终边过点(x,4)，且cos α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝________.答案　－eq \f(4,3)解析　∵α的终边过点(x,4)，且cos α＝－eq \f(3,5)，∴x<0.∵cos α＝eq \f(x,\r(x2＋16))＝－eq \f(3,5)，∴x＝－3，∴tan α＝－eq \f(4,3).(4)(2021·北京)若点P(cos θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.答案　eq \f(5π,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(满足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))解析　∵P(cos θ，sin θ)与Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，即θ，θ＋eq \f(π,6)关于y轴对称，θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f(5π,12).教师备选已知角α的终边与单位圆的交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sin α·tan α等于(　　)A．－eq \f(\r(3),3) B．±eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(3,2) D．±eq \f(3,2)答案　C解析　设O为坐标原点，由|OP|2＝eq \f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq \f(3,4)，y＝±eq \f(\r(3),2).方法一　当y＝eq \f(\r(3),2)时，sin α＝eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \r(3)，此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).当y＝－eq \f(\r(3),2)时，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \r(3)，此时，sin α·tan α＝－eq \f(3,2).所以sin α·tan α＝－eq \f(3,2).方法二　由三角函数定义知，cos α＝－eq \f(1,2)，sin α＝y，所以sin α·tan α＝sin α·eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(sin2α,cos α)＝eq \f(y2,－\f(1,2))＝eq \f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq \f(3,2).思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3　(1)已知θ是第三象限角，满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案　D解析　∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ<θ<eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，则eq \f(π,2)＋kπ<eq \f(θ,2)<eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z，即eq \f(θ,2)为第二或第四象限角，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，∴eq \f(θ,2)为第四象限角．(2)已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cos α＝________，tan α＝________.答案　－eq \f(\r(6),4)　±eq \f(\r(15),3)解析　由sin α＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2)m,4)，解得m＝±eq \r(5)，∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，当m＝eq \r(5)时，cos α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝－eq \f(\r(15),3)；当m＝－eq \r(5)时，cos α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(\r(15),3).课时精练1．若α是第四象限角，则π＋α是第________象限角(　　)A．一 B．二 C．三 D．四答案　B解析　eq \f(π,2)＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，故π＋α是第二象限角．2．(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是(　　)A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}答案　B解析　终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①终边为第三象限的平分线的角的集合是{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2 B.eq \f(2,sin 1)C．2sin 1 D．sin 2答案　B解析　如图，取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1 rad，在△AOC中，sin 1＝eq \f(1,r)，∴r＝eq \f(1,sin 1)，∴所求弧长为αr＝eq \f(2,sin 1).4．(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则(　　)A．sin α>0，cos α>0B．sin α>0，cos α<0C．sin α<0，cos α>0D．sin α<0，cos α<0答案　A解析　因为－2π<α＝－5<－eq \f(3,2)π，所以α＝－5为第一象限的角，所以sin α>0，cos α>0.5．(多选)下列说法正确的有(　　)A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B．1°＝eq \f(180,π) radC．若sin θ>0，cos θ<0，则θ为第二象限角D．若θ为第二象限角，则eq \f(θ,2)为第一或第三象限角答案　CD解析　对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；对于B,1°化成弧度是eq \f(π,180) rad，故B错误；对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；由cos θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角．取交集可得θ是第二象限角，故C正确；对于D，若θ是第二象限角，则2kπ＋eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，则kπ＋eq \f(π,4)<eq \f(θ,2)0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).10．已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求eq \f(α,2)的终边所在的象限；(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cos eq \f(α,2)的符号．解　(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，故kπ＋eq \f(π,2)<eq \f(α,2)0，cos eq \f(α,2)<0，所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cos eq \f(α,2)>0，当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)<0，cos eq \f(α,2)>0，所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cos eq \f(α,2)>0，综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cos eq \f(α,2)的符号为正．11．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是(　　)A．M∩N＝∅ B．MNC．NM D．M＝N答案　C解析　M＝{α|α＝45°＋2k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{α|α＝2×45°＋k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}，∵2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有整数，∴NM.12．已知角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(5π,6)，cos \f(5π,6)))，则α等于(　　)A.eq \f(5π,6) B.eq \f(7π,6) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(5π,3)答案　D解析　因为sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，cos eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，所以角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，故角α的终边在第四象限，且tan α＝－eq \r(3)，又0≤α<2π，所以α＝eq \f(5π,3).13.(2022·佛山模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由eq \o(AB,\s\up9(︵))和其所对弦AB围成的图形，若弧田的eq \o(AB,\s\up9(︵))长为eq \f(8π,3)，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为__________．答案　8eq \r(3)＋2－eq \f(16π,3)解析　设eq \o(AB,\s\up9(︵))所对圆心角的弧度为α，由题意可知α×4＝eq \f(8π,3)，解得α＝eq \f(2π,3).故扇形AOB的面积为eq \f(1,2)×eq \f(8π,3)×4＝eq \f(16,3)π，△AOB的面积为eq \f(1,2)×sin eq \f(2π,3)×42＝4eq \r(3)，故弧田实际的面积为eq \f(16π,3)－4eq \r(3).作OD⊥AB分别交AB，eq \o(AB,\s\up9(︵))于点D，C，则AB＝4eq \r(3)，OD＝2，CD＝2，所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2，则所求差值为(4eq \r(3)＋2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－4\r(3)))＝8eq \r(3)＋2－eq \f(16π,3).14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，连接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是________．答案　S1＝S2解析　设点P，Q的运动速度为v，运动时间为t，圆O的半径为r，则eq \o(AQ,\s\up9(︵))＝AP＝tv，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1＝eq \f(1,2)tv·r－S扇形AOB，S2＝eq \f(1,2)tv·r－S扇形AOB，∴S1＝S2.15．若角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________.答案　±eq \f(\r(3),4)解析　由角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，得cos β＝eq \f(1,2)，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝eq \r(3)x得x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(\r(3),2)，所以cos α＝x＝－eq \f(1,2)，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))在单位圆上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),2)，所以sin β＝±eq \f(\r(3),2)，所以cos α·sin β＝±eq \f(\r(3),4).16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解　因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝30°＝eq \f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)；方案二中扇形的弧长＝1×eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)；方案一中扇形的面积＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，方案二中扇形的面积＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．角α的弧度数公式|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2