广东省梅州市梅江区伯聪校2022年中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．山西有着悠久的历史，远在100 多万年前就有古人类生息在这块土地上．春秋时期，山西大部分为晋国领地，故山西简称为“晋”，战国初韩、赵、魏三分晋，山西又有“三晋”之称，下面四个以“晋”字为原型的Logo 图案中，是轴对称图形的共有（　　）

A． B． C． D．

2．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（　　）元．

A．+4    B．﹣9    C．﹣4    D．+9

3．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b岁，则下列结论中正确的是（　　）

A．a＜13，b=13    B．a＜13，b＜13    C．a＞13，b＜13    D．a＞13，b=13

4．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围内有两个相等的实数根，则c的取值范围是（   ）

A．c=4    B．﹣5＜c≤4    C．﹣5＜c＜3或c=4    D．﹣5＜c≤3或c=4

5．在函数y＝中，自变量x的取值范围是(   )

A．x≥1 B．x≤1且x≠0 C．x≥0且x≠1 D．x≠0且x≠1

6．一元二次方程x2+2x﹣15=0的两个根为（　　）

A．x1=﹣3，x2=﹣5    B．x1=3，x2=5

C．x1=3，x2=﹣5    D．x1=﹣3，x2=5

7．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位．已知1飞米等于0.000000000000001米，把0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（　　）

A．1×10﹣15 B．0.1×10﹣14 C．0.01×10﹣13 D．0.01×10﹣12

9．若与 互为相反数，则x的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米(      )

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．

已知：如图，直线l与直线l外一点P．

求作：过点P与直线l平行的直线．

作法如下：

（1）在直线l上任取两点A、B，连接AP、BP；

（2）以点B为圆心，AP长为半径作弧，以点P为圆心，AB长为半径作弧，如图所示，两弧相交于点M；

（3）过点P、M作直线；

（4）直线PM即为所求．

请回答：PM平行于l的依据是_____．

12．分解因式：2x3﹣4x2+2x＝_____．

13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．

14．平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是_____．

15．分式方程=1的解为_____

16．计算：______．

17．如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．

这次调查中，一共调查了________名学生；请补全两幅统计图；若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．

19．（5分）小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D处测得塔顶端A的仰角为45°，接着在建筑物顶端C处测得塔顶端A的仰角为37.5°．已知AB⊥BD，CD⊥BD，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）

20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.求证：BC为⊙O的切线；若F为OA的中点,⊙O的半径为2，求BE的长.

21．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）．绕点A旋转的直线l：y＝kx+b1交抛物线于另一点D，交y轴于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当点D在第二象限且满足CD＝5AC时，求直线l的解析式；

（3）在（2）的条件下，点E为直线l下方抛物线上的一点，直接写出△ACE面积的最大值；

（4）如图2，在抛物线的对称轴上有一点P，其纵坐标为4，点Q在抛物线上，当直线l与y轴的交点C位于y轴负半轴时，是否存在以点A，D，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

22．（10分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．

23．（12分）（1）计算：；

（2）化简：．

24．（14分）计算：|﹣2|++（2017﹣π）0﹣4cos45°

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
根据轴对称图形的概念求解．

【详解】

A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2、B

【解析】
收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数.

【详解】

收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元

【点睛】

本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键.

3、A

【解析】

试题解析：∵原来的平均数是13岁，

∴13×23=299（岁），

∴正确的平均数a=≈12.97＜13，

∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，

∴b=13；

故选A．

考点：1.平均数；2.中位数.

4、D

【解析】

解：由对称轴x=2可知：b=﹣4，

∴抛物线y=x2﹣4x+c，

令x=﹣1时，y=c+5，

x=3时，y=c﹣3，

关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围有实数根，

当△=0时，

即c=4，

此时x=2，满足题意．

当△＞0时，

（c+5）（c﹣3）≤0，

∴﹣5≤c≤3，

当c=﹣5时，

此时方程为：﹣x2+4x+5=0，

解得：x=﹣1或x=5不满足题意，

当c=3时，

此时方程为：﹣x2+4x﹣3=0，

解得：x=1或x=3此时满足题意，

故﹣5＜c≤3或c=4，

故选D.

点睛：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系.理解二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键.

5、C

【解析】
根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．

【详解】

由题意得：x≥2且x﹣2≠2．解得：x≥2且x≠2．

故x的取值范围是x≥2且x≠2．

故选C．

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．

6、C

【解析】
运用配方法解方程即可.

【详解】

解：x2+2x﹣15= x2+2x+1-16=(x+1)2-16=0，即(x+1)2=16，解得，x1=3，x2=-5.

故选择C.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.

7、D

【解析】
画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．

【详解】

画树状图如下：

一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况，

因此两个球中至少有一个红球的概率是：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

8、A

【解析】
根据科学记数法的表示方法解答.

【详解】

解：把这个数用科学记数法表示为．

故选：．

【点睛】

此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键.

9、D

【解析】

由题意得+=0,

去分母3x+4(1-x)=0,

解得x=4.故选D.

10、B

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×1．

故选：B．

点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．

【解析】
利用画法得到PM＝AB，BM＝PA，则利用平行四边形的判定方法判断四边形ABMP为平行四边形，然后根据2平行四边形的性质得到PM∥AB．

【详解】

解：由作法得PM＝AB，BM＝PA，

∴四边形ABMP为平行四边形，

∴PM∥AB．

故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．

【点睛】

本题考查基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定与性质．

12、2x（x-1）2

【解析】

2x3﹣4x2+2x=

13、3

【解析】

试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣30）（30﹣x）=﹣（x﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．

考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．

14、0.5＜m＜3

【解析】
根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可．

【详解】

∵点P(m−3,1−2m)在第三象限，

∴，

解得：0.5<m<3.

故答案为：0.5<m<3.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程组与象限及点的坐标的有关性质，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与象限及点的坐标的有关性质.

15、x=0.1

【解析】

分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．

详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，

8x+2﹣1x﹣1=2x2﹣2，

解得x1=1，x2=0.1，

检验：当x=0.1时，x﹣1=0.1﹣1=﹣0.1≠0，

当x=1时，x﹣1=0，

所以x=0.1是方程的解，

故原分式方程的解是x=0.1．

故答案为：x=0.1

点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

16、

【解析】

原式=

    =.

故答案为：.

17、

【解析】
连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有： 解直角即可.

【详解】

连接OC,OD,OC与AD交于点E，

直尺的宽度：

故答案为

【点睛】

考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）200；（2）答案见解析；（3）．

【解析】
（1）由题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；

（2）根据题意可求得B占的百分比为：1-20%-30%-15%=35%，C的人数为：200×30%=60（名）；则可补全统计图；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

解：（1）根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；

故答案为：200；

（2）C组人数：200－40－70－30=60（名）    

B组百分比：70÷200×100%=35%  

如图

（3）分别用A，B，C表示3名喜欢跳绳的学生，D表示1名喜欢足球的学生；
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况，

∴一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为：．

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19、43米

【解析】
作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．根据tan∠ACE=，列出方程即可解决问题．

【详解】

解：如图，作CE⊥AB于E．则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，

∴AB=BD=x，

在Rt△AEC中，

tan∠ACE==tan37.5°≈0.77，

∴=0.77，

解得x≈43，

答：“小雁塔”的高AB的长度约为43米．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．

20、（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；

（2）连接OD，根据已知条件求得AD、DF的长，再证明△AFD∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得.

【详解】

（1）连接BD，

∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，

∵D是AC的中点，∴BC=AB，

∴∠C=∠A＝45°，

∴∠ABC=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，

∵⊙O的半径为2， F为OA的中点，

∴OF=1， BF=3，，

∴，

∵，

∴∠E=∠A，

∵∠AFD=∠EFB，

∴△AFD∽△EFB，

∴，即，

∴.

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线.

21、（1）y＝x2+x﹣；（2）y＝﹣x+1；（3）当x＝﹣2时，最大值为；（4）存在，点D的横坐标为﹣3或或﹣．

【解析】
（1）设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即可求解；

（2）OC∥DF，则 即可求解；

（3）由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解；

（4）分当AP为平行四边形的一条边、对角线两种情况，分别求解即可．

【详解】

（1）设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，

即： 解得： 

故函数的表达式为： ①；

（2）过点D作DF⊥x轴交于点F，过点E作y轴的平行线交直线AD于点M，

∵OC∥DF，∴OF＝5OA＝5，

故点D的坐标为（﹣5，6），

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：

即直线AD的表达式为：y＝﹣x+1，

（3）设点E坐标为 则点M坐标为

则

∵故S△ACE有最大值，

当x＝﹣2时，最大值为；

（4）存在，理由：

①当AP为平行四边形的一条边时，如下图，

设点D的坐标为

将点A向左平移2个单位、向上平移4个单位到达点P的位置，

同样把点D左平移2个单位、向上平移4个单位到达点Q的位置，

则点Q的坐标为

将点Q的坐标代入①式并解得： 

②当AP为平行四边形的对角线时，如下图，

设点Q坐标为点D的坐标为（m，n），

AP中点的坐标为（0，2），该点也是DQ的中点，

则： 即：

将点D坐标代入①式并解得： 

故点D的横坐标为：或或．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、平行四边形的性质等，关键是（4）中，用图形平移的方法求解点的坐标，本题难度大．

22、300米

【解析】
解：设原来每天加固x米，根据题意，得

．

去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）

解得．

检验：当时，（或分母不等于0）．

∴是原方程的解．

答：该地驻军原来每天加固300米．

23、（1）4+；（2）.

【解析】
（1）根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；

（3）根据分式的减法和除法可以解答本题．

【详解】

（1）

=4+1+|1﹣2×|

=4+1+|1﹣|

=4+1+﹣1

=4+；

（2）

=

=

=．

【点睛】

本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

24、1.

【解析】
直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：原式=2+2+1﹣4×

=2+2+1﹣2

=1．

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．