福建省莆田二十四中学2021-2022学年中考适应性考试数学试题含解析

这是一份福建省莆田二十四中学2021-2022学年中考适应性考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了下列计算正确的是，运用乘法公式计算等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，l1∥l2，AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，则AE：EC=（　　）

A．5：2 B．4：3 C．2：1 D．3：2
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
3．下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5=a9 B．（2a2b3）2=4a4b6
C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2
4．运用乘法公式计算（4+x）（4﹣x）的结果是（　　）
A．x2﹣16 B．16﹣x2 C．16﹣8x+x2 D．8﹣x2
5．如图，，交于点，平分，交于. 若，则 的度数为（ ）
   
A．35o B．45o C．55o D．65o
6．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
7．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )

A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，直线MN垂直平分AB交AC于D，连接BD，则△BCD的周长等于（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
10．（2011•雅安）点P关于x轴对称点为P1（3，4），则点P的坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD＝2，DB＝4，DE＝1，则BC＝_____．

12．对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为__．
13．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为_____．
14．2017我市社会消费品零售总额达18800000000元，把18800000000用科学记数法表示为_____．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为_____．

16．关于x的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0有两个实数根，则m满足_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）一道选择题有四个选项.
（1）若正确答案是，从中任意选出一项，求选中的恰好是正确答案的概率；
（2）若正确答案是，从中任意选择两项，求选中的恰好是正确答案的概率.
18．（8分）计算：+（﹣ ）﹣1+|1﹣|﹣4sin45°．
19．（8分）已知关于的一元二次方程 (为实数且)．求证：此方程总有两个实数根；如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
20．（8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）. 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC； 请画出△ABC关于原点对称的△ABC； 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

22．（10分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴交于两点，过作垂直于轴于点.已知.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象:当时，比较.

23．（12分）如图，在五边形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．

24．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）问题发现
①当θ=0°时，= ；
②当θ=180°时，= ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决
①在旋转过程中，BE的最大值为 ；
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为 ．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
依据平行线分线段成比例定理，即可得到AG=3x，BD=5x，CD=BD=2x，再根据平行线分线段成比例定理，即可得出AE与EC的比值．
【详解】
∵l1∥l2，
∴，
设AG=3x，BD=5x，
∵BC：CD=3：2，
∴CD=BD=2x，
∵AG∥CD，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
2、B
【解析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
故选B．
3、B
【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．
详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；
C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；
D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；
故选：B．
点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4、B
【解析】
根据平方差公式计算即可得解．
【详解】
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.
5、D
【解析】
分析：根据平行线的性质求得∠BEC的度数，再由角平分线的性质即可求得∠CFE 的度数.
详解：

又∵EF平分∠BEC，
.
故选D.
点睛：本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.
6、D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
7、B
【解析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.
【详解】
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
8、B
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE=（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
9、D
【解析】
由AB的垂直平分MN交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由△CDB的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，即可求得答案．
【详解】
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC＝10，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝10，
∴△BCD的周长＝AC+BC＝10+6＝16，故选D．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，比较简单，注意数形结合思想与转化思想的应用．
10、A
【解析】
∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P的坐标为（3，﹣4）．
故选A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1
【解析】
先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AD：AB，
∵AD＝2，DB＝4，
∴AB＝AD+BD＝6，
∴1：BC＝2：6，
∴BC＝1，
故答案为：1．
【点睛】
考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
12、1≤a≤1
【解析】
根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．
【详解】
解：∵二次函数y＝x1﹣4x+4＝（x﹣1）1，
∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x＝﹣，
把y＝0代入解析式可得：x＝1，
把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x1＝1，
所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，
故可得：1≤a≤1，
故答案为：1≤a≤1．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13、1
【解析】
根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=1．
故答案为1．
14、1.88×1
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：把18800000000用科学记数法表示为1.88×1，
故答案为：1.88×1．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15、x1＝1，x2＝﹣1．
【解析】
直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x＝﹣1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解．
【详解】
解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣1．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．
16、m≥且m≠1．
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且 然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得m﹣1≠0且
解得且m≠1．
故答案为: 且m≠1．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）;（2）
【解析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的恰好是正确答案A，B的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）选中的恰好是正确答案A的概率为；
（2）画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中选中的恰好是正确答案A，B的结果数为2，
所以选中的恰好是正确答案A，B的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18、
【解析】
根据绝对值的概念、特殊三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简计算即可得出结论．
【详解】
解：+（﹣）﹣1+|1﹣|﹣1sin15°
=2﹣3+﹣1﹣1×
=2﹣3+﹣1﹣2
=﹣1．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算，负指数，绝对值，特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19、 (1)证明见解析；(2)或．
【解析】
（1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可．
【详解】
(1)依题意，得
，
，
．
∵，
∴方程总有两个实数根．
(2)∵，
∴，．
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键．
20、共有7人，这个物品的价格是53元．
【解析】
根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.
【详解】
解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
解得
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用.
21、（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【解析】
(1)按题目的要求平移就可以了
关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可
(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
【详解】

（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）
【点睛】
1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用
22、（1）;（2）
【解析】
（1）由一次函数的解析式可得出D点坐标，从而得出OD长度，再由△ODC与△BAC相似及AB与BC的长度得出C、B、A的坐标，进而算出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）以A点为分界点，直接观察函数图象的高低即可知道答案．
【详解】
解：（1）对于一次函数y=kx-2，令x=0，则y=-2，即D（0，-2），
∴OD=2，
∵AB⊥x轴于B，
∴ ，
∵AB=1，BC=2，
∴OC=4，OB=6，
∴C（4，0），A（6，1）
将C点坐标代入y=kx-2得4k-2=0，
∴k=，
∴一次函数解析式为y=x-2；
将A点坐标代入反比例函数解析式得m=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）由函数图象可知：
当0＜x＜6时，y1＜y2；
当x=6时，y1=y2；
当x＞6时，y1＞y2；
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟悉函数图象上点的坐标特征和待定系数法解函数解析式的方法是解答本题的关键，同时注意对数形结合思想的认识和掌握．
23、65°
【解析】
∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB，
∴∠PAB=12∠EAB.
同理可得，∠ABP=∠ABC.
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-∠EAB-∠ABC=180°-（∠EAB+∠ABC）=180°-×230°=65°.
24、（1）①；（2）无变化，证明见解析；（3）①2+2 +1或﹣1.
【解析】
（1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性质即可得出结论；（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．
【详解】
解：（1）①当θ=0°时，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2，
∵AD=DE=AB=，
∴∠AED=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥CB，
∴，
∴，
∴，
故答案为，
②当θ=180°时，如图1，

∵DE∥BC，
∴，
∴，
即：，
∴，
故答案为；
（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化，
理由：∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵，
∴△ADC∽△AEB，
∴；
（3）①当点E在BA的延长线时，BE最大，
在Rt△ADE中，AE=AD=2，
∴BE最大=AB+AE=2+2；
②如图2，

当点E在BD上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，BD==，
∴BE=BD+DE=+，
由（2）知，，
∴CD=+1，
如图3，

当点D在BE的延长线上时，
在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根据勾股定理得，BD==，
∴BE=BD﹣DE=﹣，
由（2）知，，
∴CD=﹣1．
故答案为 +1或﹣1．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质及分类讨论的数学思想，解（1）的关键是得出DE∥BC，解（2）的关键是判断出△ADC∽△AEB，解（3）关键是作出图形求出BD，是一道中等难度的题目．