2021-2022苏科版八年级数学下册期末复习-反比例函数精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

2021-2022学年八年级数学下学期期末考试高分直通车（苏科版）

专题1.7反比例函数精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式练习）

【知识梳理】

1.反比例函数：一般地，形如          （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

反比例函数也可表示成：           (k为常数，k≠0)或          (k为常数，k≠0)

2.反比例函数y=的图象与坐标轴没有交点；|k|越大，图象的弯曲度     ，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度      ．

3.反比例函数的性质

一般地，反比例函数y=有下列性质：

（1）当k＞0时，图象的两支分别位于         象限；在每个象限内，y随x的增大而        ；

（2）当k＞0时，图象的两支分别位于          象限；在每个象限内，y随x的增大而         ．

4.反比例函数y=（k为常数，k≠0）中k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是|k|）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．

【典例剖析】

考点1 反比例函数的有关概念

【例1】（2020春•泰兴市校级月考）下列函数：①y＝x﹣2，②y，③y＝x﹣1，④y，y是x的反比例函数的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式1-1】（2020春•江干区期末）已知x与y成反比例，z与x成正比例，则y与z的关系是（　　）

A．成正比例 B．成反比例 

C．既成正比例也成反比例 D．以上都不是

【变式1-2】（2020秋•崇川区校级月考）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A．y B．y C．y D．y2

【变式1-3】（2019春•靖江市期中）已知y＝2xm﹣1是y关于x的反比例函数，则m＝　0　．

考点2反比例函数的图象

【例2】（2020春•兴化市期末）当k＞0时，函数y与y＝﹣kx在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-1】（2020春•姑苏区期中）函数（a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-2】（2019春•徐州期末）在同一平面直角坐标系中，函数yx+k与y（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式2-3】（2019春•泗阳县期末）如图，函数y＝ax﹣2与y（a≠0），在同一坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

考点3 反比例函数的性质

【例3】（2020春•太仓市期末）已知反比例函数y，下列结论正确的是（　　）

A．图象经过点（﹣2，﹣1） 

B．图象在第一、三象限 

C．当x＞﹣1时．y＞2 

   D．当x＜0时，y随着x的增大而增大

【变式3-1】（2020春•泰兴市校级期末）若反比例函数y的图象在第二，四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m B．m C．m＞2 D．m＜2

【变式3-2】（2020春•赣榆区期末）已知反比例函数y，在下列结论中，不正确的是（　　）

A．图象必经过点（4，） 

B．图象过第一、三象限 

C．若x＜﹣1，则y＜﹣6 

D．点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两点，x1＜0＜x2，则y1＜y2

【变式3-3】（2020春•姜堰区期末）双曲线y在每一象限内y随x的增大而减小，则m的取值范围是　   　．

考点4 反比例函数的面积问题

【例4】（2020春•清江浦区期末）如图，点A在函数y（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的面积为　   　．

【变式4-1】（2020春•洪泽区期末）反比例函数y在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是　   　．

【变式4-2】（2020春•高邮市期末）如图，点B为反比例函数y（k＜0，x＜0）上的一点，点A（2k，0）为x轴负半轴上一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数y的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝　   　．

【变式4-3】（2019春•靖江市校级期末）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，B'点落在OA上，则四边形OABC的面积是　3　．

考点5 反比例函数上的点的坐标特征

【例5】（2020春•海陵区期末）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y（k＞0）的图象上，且x1＜0＜x2，|x2|＝2|x1|，则（　　）

A．y1+y2＞0 B．y1+y2＜0 C．y1+y2＝0 D．y1＝y2

【变式5-1】（2020春•新沂市期末）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2

【变式5-2】（2020秋•姜堰区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣2a+4）在反比例函数（k＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B．若AB≤4，则k的取值范围是（　　）

A．k≤﹣16 B．k≤﹣2 C．﹣16≤k＜0 D．﹣2≤k＜0

【变式5-3】（2019春•泰州期末）已知（m，n）是函数y与y＝3x+9的一个交点，则的值为　　．

考点6反比例函数与一次函数综合问题

【例6】（2020春•邳州市期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例y的图象相交于A（3，5）、B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）若点P为y轴上的动点，当PB+PC取最小值时，求△BPC的面积．

【变式6-1】（2020春•仪征市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点．

（1）求m，n的值；

（2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标；

（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集．

【变式6-2】（2020春•洪泽区期末）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C，请根据上述条件，解答下列问题：

求：（1）k，m的值；

（2）一次函数y＝kx+1图象与x轴交点D的坐标；

（3）△ABC的面积．

【变式6-3】（2020春•高邮市期末）如图，一次函数（y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A、B，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，若点B的横坐标为﹣2，且OE＝2OC＝4OD＝4．

（1）根据图象，直接写出不等式kx+b的解集为　   　；

（2）求一次函数和反比例函数的表达式；

（3）求△AOB的面积．

考点7 反比例函数的综合问题

【例7】（2020春•海陵区期末）已知双曲线y的图象过点（1，2）．

（1）求k的值，并求当x＞3时y的取值范围；

（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线y的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；

（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线y上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【变式7-1】（2020春•泰兴市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，6﹣a），点B（b，6﹣b），其中a＜b，与坐标轴的交点分别为C，D，AE⊥x轴，垂足为E．

（1）求a+b的值；

（2）求直线l的函数表达式；

（3）若AD＝OD，求k的值；

（4）若P为x轴上一点，BP∥OA，若a，b均为整数，求点P的坐标．

【变式7-2】（2020春•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．

（1）点B的坐标　   　；

（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式7-3】（2020春•泰州期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．

（1）求点P的坐标；

（2）若OA＝OB，则：

①∠P的度数为　   　；

②求出此时直线AB的函数关系式；

（3）如果直线AB的关系式为y＝kx+n，且0＜n＜2，作反比例函数y，过点（0，1）作x轴的平行线与y的图象交于点M，与y的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx+n的图象交于点Q，是否存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．