2022重庆市育才中学校高三下学期3月月考数学试题含解析

重庆育才中学高2022届届高三（下）3月月考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2.设i为虚数单位，复数与在复平面内分别对应向量与，则（    ）

A.2 B. C.4 D.8

3.已知，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

4.如图，在直角梯形中，，，且.以所在直线为旋转轴，将梯形旋转一周围成的几何体体积为（    ）

A. B. C. D.

5.数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学在课余开发了一个“谁是卧底”的数学小游戏：主持人将一个数列的通项公式给四人看到，却不给班上其他同学看到，其中三人在黑板上各写出满足此等差数列的一个结论，另外一人为“卧底”，写出不满足此等差数列的一个结论，四人均不开口说话.若记等差数列的前n项和为，在某次“谁是卧底”游戏中，四人各自写出的结论为：

甲：；     乙：；     丙：；     丁：.

则我们可以断定，四人中“卧底”是（    ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6.以双曲线的右焦点F为圆心的圆，与此双曲线的两条渐近线相切于A、B两点，若为等边三角形，则此双曲线离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

7.为了得到的图象，可将函数的图象（    ）

A.向左平移个单位  B.向右平移个单位

C.向左平移个单位  D.向右平移个单位

8.若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（    ）

A.0 B.1 C.e D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（    ）

A.直线与为异面直线 B.平面平面

C.平面平面 D.八面体外接球表面积为

10.定义离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、.则下列条件中，能使椭圆C是“黄金椭圆”的为（    ）

A.，，成等差数列 B.，，成等比数列

C.  D.

11.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.为奇函数  B.最小正周期为

C.在R上为增函数 D.有无数个极值点

12.已知一个盒子中装有10个乒乓球，其中有7个新球，3个旧球（使用过的球都称旧球）.在第一次比赛时任意抽取出2个使用，比赛后放回原盒；在第二次比赛时同样任意取出2个球使用.记为第一次取出的2个球中恰有i个新球（，1，2），B为第二次取出的球均为新球.则下列结论中正确的有（    ）

A.事件，，两两互斥 B.

C.  D.事件B与事件相互独立

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设，是不共线的两个向量，若与共线且同向，则实数k的值为_________.

14.在的展开式中，含x项的系数为_________.

15.写出一个同时满足下列性质①②③的函数：__________.

①定义域为；②为偶函数；③为奇函数.

16.某软件研发公司计划对某软件进行升级，重要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑序列为，它的第n项为，若序列的所有项均为1，且，，则_________；记数列的前n项之积为.则使取得最大值的n值为_________.

（参考数据：，）

四、解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.

17.（10分）

已知为等差数列的前n项和，，.

（1）求，；

（2）若数列的前n项和，求满足的最小正整数n.

18.（12分）

伴随着2022年北京冬奥会成功举办，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领着相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况：

（1）求2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率（百分号前保留2位小数）；

（2）根据市场调查表明，8年期间每年雪场滑雪人次与该年冰雪市场的销售总额有如下关系：

视频率为概率，任取1年的销售总额，记所取该年的销售总额为，求的数学期望及方差.

19.（12分）

已知函数.

（1）若在上单调递增，求正数的取值范围；

（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，D、E、H为边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.

①边的中线；②A角的角平分线；③边的垂线.

20.（12分）

已知四棱锥中，底面为正方形，O为其中心，点E为侧棱的中点.

（1）作出过O、P两点且与平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简要作图过程）；记该截面与棱的交点为M，求出比值（直接写出答案）；

（2）若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求与平面所成角的正弦值.

21.（12分）

已知函数（）.

（1）若存在不小于4的极值点，求a的取值范围；

（2）若恒成立，求a的最小值.

22.（12分）

已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线E于A、B两点.

（1）当直线的斜率为1时，求弦的长度；

（2）在x轴的正半轴上是否存在一点P，连接，分别交抛物线E于另外两点C、D，使得且？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

重庆育才中学高2022届届高三（下）3月月考

数学试题参考答案及评分建议

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【解析】  ，则.选B.

2.【解析】  记，，则，.选B.

3.【解析】  由，则，则.选D.

4.【解析】  梯形旋转一周所围成几何体为圆台，且，，.

则.选B.

5.【解析】  若甲为假命题，则乙、丙、丁为真，由乙、丁知，，与甲为假矛盾；

若乙为假命题，则甲、丙、丁为真，由甲、丙知，，则，与丁为真矛盾；

若丙为假命题，则甲、乙、丁为真，由甲、乙知，，则，与丁真丙假相符；

若丁为假命题，则甲、乙、丙为真，由甲、乙知，，则，与丙为真矛盾.

故选C.

6.【解析】  记原点为O.由题意，，、分别与渐近线垂直，则由对称性知线段被垂直平分，则，即，故，即，选A.

7.【解析】  .

因此可由向左平移个单位得到，故选C.

8.【解析】  设l与的切点为，则由，有.

同理，设l与的切点为，由，有.

故 解得 或 则或.

因，所以l为时不成立.故，选D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【解析】  由正八面体，与垂直相交，且长度相等，则，A错误；

同理，且，，则平面平面，B正确；

设中心为O，，则，由，则平面与平面的交线l与平行，分别取、中点M、N，则为平面与平面相交的平面角，，故C错误；

由O到各顶点距离均为，则O为球心，，外接球表面积为，故D正确.综上，选BD.

10.【解析】由A有，，则，得，由，得，解得（舍）或.故A不符合；

由B有，，即，则，，成立；

由C根据射影定理有，，故成立；

由D根据射影定理有，，故，不成立.

综上，选BC.

11.【解析】，则A正确，B错误；

由，故C正确；令，，但由于在每个两侧，，故不存在极值点，D错误.故选AC.

12.【解析】  根据互斥事件定义，A正确；

由，，则，B正确；

由，，C正确；

由，故事件B与事件相互不独立，D错误.综上，选ABC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】2.

【解析】由题意，，则，由与共线且同向，则.

14.【答案】.

【解析】展开式为，含x项的系数为.

15.【答案】（答案不唯一）.

【解析】由为偶函数，知关于轴对称；由为奇函数，知关于中心对称；且，则以4为周期，故可取.

16.【答案】9；11.

【解析】的第项为，第n项为，则的第n项为.

则为等比数列，由，，则公比，所以；.

由，单调递减，令，则，即，

即，故，.

则取得最大值时，n的值为11.

四、解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.

17.（10分）

【解析】（1）法一：设的公差为d，则

解得……3分

故..……5分

法二：由等差数列知为等差数列，且，，则.……3分

故.则.……5分

（2）则（1）得，.……7分

故.……9分

令，有，即.

故满足的最小正整数n为18.……10分

18.【解析】（1）2020年滑雪人次为（万人次）.……2分

则2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率为.

故2020年雪场滑雪人次相较于2013年的增长率经约为44.67%.……5分

（2），4.8，5.2，6.……6分

则的分布列为：

……8分

则（亿元）.……10分

则.……12分

19.【解析】（1）由题，

.……3分

令，则.……4分

令，则在上单调递增.

由在上递增，则，解得.

故正数的取值范围为.……6分

（2）由，，则，则.……7分

因为，由余弦定理，（*）.……8分

若选择①，设，则.

因为D为中点，有，又，

在中，由余弦定理有.

同理在中，.……10分

故.

代入（*）式，则，不合题意.故此时不存在满足条件的三角形.……12分

若选择②，由为角平分线，则.

由，且，有.

即.……10分

由（*）式，有，将上式代入，则有.

解得.

此时的周长为.……12分

若选择③，由为垂线，则，故.……10分

由（*）式，有，将上式代入，则有.

此时，的周长为.……12分

20.【解析】（1）连接，，则O为中点.取中点F，连接并延长交于M.

连接并延长交于N，连接.

则由，知即为所求截面（如图）.……4分

此时.……6分

（2）不妨设四棱锥的所有棱长均为2，以O为原点，过O点且分别与、平行的直线为x轴、y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系（如图）.

可得，，，，，.

则，，.……8分

设平面的一个法向量为，则，.

即取，则.……10分

设与平面所成角为，则.

故与平面所成角的正弦值为.……12分

21.【解析】（1）由题意，的定义域为.……1分

由，记.……2分

因为存在不小于4的极值点，则存在不小于4的零点.

当时，在内恒成立，则在内单调递减，

则不存在极值点，不成立.……3分

当时，由，且为关于的开口向上的二次函数，需.

即，则.……5分

经检验，此时存在不小于4的极小值点.

综上所述，a的取值范围为.……6分

（2）法一：若，则，即.……7分

记，则.……8分

显然在内单调递减，且.

则当时，；当时，.

故在内单调递增，在内单调递减.……10分

则.故，即a的最小值为2.……12分

法二：由（1）知，，且为增函数.……7分

且当时，，；

由，当时，.

故存在，使得，满足.……9分

且时，；时，.

故在内单调递减，在内单调递增.……10分

所以只需.

由在单调递减，且时，，则.

则.故a的最小值为2.……12分

法三：恒成立，则，故.……8分

下证当时，恒成立.

当时，.

易证，，故时，恒成立.……11分

故a的最小值为2.……12分

22.【解析】设，，，.

（1）由题意知，点F的坐标为，直线的方程为.……1分

与抛物线联立可得.……3分

由韦达定理有，故.……5分

（2）由且，得，即.

所以，.……6分

代入抛物线，得.

整理可得，……7分

同理可得，

故，是方程的两根，，

由韦达定理有，，①……9分

由题意，直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，

与抛物线联立可得，

由韦达定理有，，②……11分

由①②可得，，故x轴的正半轴上存在一点满足条件.……12分