2022年贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（文）试题及答案

这是一份2022年贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（文）试题及答案，共34页。试卷主要包含了本试卷共分第Ⅰ卷两部分.等内容，欢迎下载使用。
遵义市2022届高三年级第三次统一考试文科数学（共150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.3．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题    共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 已知集合，，则（    ）A  B.  C.  D. 2. 命题“”的否定是（    ）A. “” B. “”C. “” D. “”3. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ）A. 第一象限 B. 实轴上 C. 第三象限 D. 虚轴上4. 若实数，且a，b同号，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 5. 圆O：上点P到直线l：距离最小值为（    ）A.  B. C. 2 D. 06. 若实数x，y满足，则的最大值为（    ）A. 4 B. C. 8 D. 107. 贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（    ）A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种8. 已知和为非零向量，且，与的夹角为（    ）A.  B. C.  D. 9. 将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为(    )A.  B. C.  D. 10. 如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（    ）
 A.  B.  C.  D. 11. 若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 12. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10第Ⅱ卷（非选择题    共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，，则_________．14. 已知函数，为的导函数，则_________．15. 已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．16. 已知A，B是不过原点O直线l与椭圆C：的两个交点，E为A，B中点，设直线AB、OE的斜率分别为且、，若，则该椭圆的离心率为_________．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17. 记为等差数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．19. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．
 （1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计该班级的平均分．21. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F，M，N分别为，，，的中点．
 （1）求的值；（2）求多面体的体积．23. 已知函数，．（1）当时，求函数单调区间；（2）若有且仅有两个不相等实根，求实数的取值范围．25. 已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．（1）求该双曲线的标准方程；（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）27. 在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．（1）当时，求l的极坐标方程；（2）当时，求面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）29. 已知．（1）当时，求最大值；（2）当时，证明：的解集非空．
  
 遵义市2022届高三年级第三次统一考试文科数学（共150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.3．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题    共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】由交集定义可直接得到结果.【详解】由交集定义知：.故选：C.2. 命题“”的否定是（    ）A. “” B. “”C “” D. “”【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定即可求解.【详解】命题“”的否定是： .故选：D3. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ）A. 第一象限 B. 实轴上 C. 第三象限 D. 虚轴上【3题答案】【答案】B【解析】【分析】求得，以及对应点的坐标，从而确定正确答案.【详解】由于，所以，所以对应点的坐标为，在实轴上.故选：B4. 若实数，且a，b同号，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】通过举反例判断A，B，根据不等式的性质，指数函数的性质判断C，D即可.【详解】取，可得，，A错，取，可得，，B错，因为指数函数在上为增函数，又，所以，C错，因为幂函数在上为增函数，又，所以，D错，故选：D.5. 圆O：上点P到直线l：距离的最小值为（    ）A.  B. C. 2 D. 0【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】圆心到直线的距离设为，则，又因为圆的半径，所以点P到直线l：距离的最小值为 故选：B6. 若实数x，y满足，则的最大值为（    ）A. 4 B. C. 8 D. 10【6题答案】【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，化目标函数为斜截式方程，结合图形求出最优解，即可得出答案.【详解】解：画出约束条件的可行域，如图所示，化目标函数为斜截式，联立，解得，即，结合图形可知，当直线过点时，取得最大值为.故选：C.7. 贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（    ）A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理和组合数的计算即可求解.【详解】第一步：从物理或历史科目中选择1门的取法2种，第二步：从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门有种，所以新高考模式的不同组合共有.故选：A8. 已知和为非零向量，且，与的夹角为（    ）A.  B. C.  D. 【8题答案】【答案】C【解析】【分析】在等式两边平方，化简后可得结果.【详解】因为，则，即，，又因为和为非零向量，则与的夹角为.故选：C.9. 将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为(    )A.  B. C.  D. 【9题答案】【答案】A【解析】【分析】将向右平移个单位长度，再把曲线上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得y=f(x)．【详解】将向右平移个单位长度得，将上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，∴．故选：A﹒10. 如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（    ）
 A.  B.  C.  D. 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，从而可得等边三角形的边长是等比数列，求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】解：设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，所以，故等边三角形的边长是以为公比的等比数列，，所以第5次构成的等边三角形的边长，所以第5次构成的等边三角形的面积.故选：C.11. 若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【11题答案】【答案】D【解析】【分析】根据的单调性和奇偶性以及，知：当 时，，当 时，，进而根据分式不等式进行求解.【详解】由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，，又或，解得：或满足的x的取值范围是或故选：D12. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【12题答案】【答案】B【解析】【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.【详解】，，依题意，即 ，，所以为锐角，.由正弦定理得，所以，所以三角形周长为，由于，所以当时，三角形的周长取得最大值为.故选：B第Ⅱ卷（非选择题    共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，，则_________．【13题答案】【答案】##【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系即可求cosx，根据正弦二倍角公式即可求sin2x的值．【详解】，，
，
，
.故答案为：.14. 已知函数，为的导函数，则_________．【14题答案】【答案】【解析】【分析】先求，再代入x=e即可计算．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．15. 已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．【15题答案】【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据条件①②③结合二次函数的基本性质可得出一个满足条件的函数的解析式.【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，且在上单调递减，且，可取满足条件.故答案为：（答案不唯一）.16. 已知A，B是不过原点O的直线l与椭圆C：的两个交点，E为A，B中点，设直线AB、OE的斜率分别为且、，若，则该椭圆的离心率为_________．【16题答案】【答案】【解析】【分析】设，，利用点差法可得，根据条件及的关系可求离心率.【详解】设，，，因为直线AB斜率存在，故，由已知可得，两式相减可得，又，，所以，所以，又，所以，故，即，所以椭圆的离心率， 故答案为：.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17. 记为等差数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．【17题答案】【答案】（1）    （2）8960【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量，列出方程即可求解，进而可得通项公式.（2）根据等差数列的求和公式即可求解.【小问1详解】设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：，解得所以【小问2详解】由（1）知：当 时，，当 时，所以19. 某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．
 （1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计该班级的平均分．【19题答案】【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布折线图，画出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，和平均数计算方法，即可求出结果.【小问1详解】根据折线图，频率分布直方图如下图：
【小问2详解】平均分为：；所以该班级的平均分约为.21. 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F，M，N分别为，，，的中点．
 （1）求的值；（2）求多面体的体积．【21题答案】【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）连接，易知，根据题意结合余弦定理可得，可知，在直角三角形中，由勾股定理即可求出结果；（2）连接，所以多面体MNFACE的体积，根据题意易知到面的距离为，再根据锥体的体积公式即可求出结果.【小问1详解】解：连接，因为在直三棱柱中，，，所以，，又点F为的中点，所以，所以，在中，由余弦定理可知，，又，所以,在直角三角形中，.【小问2详解】解：连接，所以多面体的体积，在直三棱柱中，点E，F，M，N分别为，，，的中点．所以，所以，所以到面的距离为，所以，又，所以多面体的体积.23. 已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若有且仅有两个不相等实根，求实数的取值范围．【23题答案】【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；    （2）【解析】【分析】（1）求解导函数，再由与的解集，可得函数单调区间；（2）利用参变分离法，令新函数，求导判断单调性，从而得函数的最值，数形结合可得的取值范围.【小问1详解】时，，定义域为，，当时，；当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.小问2详解】由题意，，即有且仅有两个不相等实根，令，，即与的图像有两个交点，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，又因为时，，时，，所以当时，与的图像有两个交点，所以实数取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．25. 已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．（1）求该双曲线的标准方程；（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【25题答案】【答案】（1）    （2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.（2）先求得点的轨迹，然后对的面积是否存在最大值进行判断.【小问1详解】依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】的面积不存在最大值，理由如下：设，则，因为在双曲线上，所以，,所以所在直线的斜率为，直线的方程为①， 同理可求得直线的方程为②， ①②得③，将代入③得：，化简得，令①②，化简得，经检验，当时，上式也满足.故点的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点.因为，当点到轴的距离最大时，三角形的面积最大，因为，故三角形的面积最大值不存在.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）27. 在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．（1）当时，求l极坐标方程；（2）当时，求面积的取值范围．【27题答案】【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得面积的取值范围.【小问1详解】点，则，所以点的直角坐标为，当时，直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程为.小问2详解】在极坐标系下：经过点的直线l与极轴所成角为，在直角坐标系下：经过点的直线的倾斜角为或.即直线的倾斜角是或.当直线的倾斜角为时， 直线的方程为，令得，，，，所以.当直线的倾斜角为时，直线的方程为，令得，，所以.综上所述，面积的取值范围是.[选修4-5：不等式选讲]（10分）29. 已知．（1）当时，求最大值；（2）当时，证明：的解集非空．【29题答案】【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值.（2）对进行分类讨论，结合绝对值三角不等式证得不等式成立.【小问1详解】当时，，，所以的最大值为.【小问2详解】当时，，当时成立.当时，，因为，故，时等号成立.即.综上所述，当时，的解集非空．