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27第十八讲 计算体积练习题
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这是一份27第十八讲 计算体积练习题，共4页。试卷主要包含了 将一个物体放入水中有两种情况等内容，欢迎下载使用。
知识要点与学法指导：
在实际生活中，我们常常会遇到像求一个纸箱、一块木料占空
间大小的问题，在生产建设中，会遇到把一个长方体铁块熔铸成一
个圆柱体配件的情况，这些都属于体积问题。这一讲，我们来探究
有关圆柱、圆锥等立体图形的体积问题，并通过探究，进一步提高
同学们的空间想象能力和解决实际问题的能力。
解答体积问题时，要注意以下几点：
1. 把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变，有时可直接列方程解答；
2. 将一个物体放入水中有两种情况：(1)物体全部浸没在水中。当物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从
水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。(2)物体不全部浸在水中。排开水的体积等于浸在水中的那部分物体的体积。
3. 计算物体的体积时，对于其中关键的未知数量可用字母代入法求得，或借助字母代入作中介来推算出体积。
例1 圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是6米，它的体积是多少?
【分析与解】
分析此题时，同学们首先想到的是通过侧面积和底面半径求圆柱的高，通过底面半径求出底面积，进而用“底面积×高”来求体积。然而，在求圆柱的高时，列式为：100÷(2×3.14×6)，计算很麻烦。其实，我们只要联系圆柱体体积的推导过程加以分析，就可以找出很巧妙的解法。如图：
可以看出，圆柱体的侧面积，就是长方体前、后两个面的面积之和，圆柱体的底面半径就是长方体的宽。长方体的体积可以用“前面的面积×宽”求出。
100÷2×6
＝ 300(立方米)
答：它的体积是300立方米
想一想：根据上面的解题过程，你能写出已知圆柱侧面积和底面半径，求圆柱体积的公式吗?
试一试1
一个圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，求它的体积。
例2 将一块正方体木料削制成尽可能大的一个圆柱，圆柱的体积是原正方体体积的几分之几?如果将这块正方体木料削制成尽可能大的一个圆锥，圆锥的体积是原正方体体积的几分之几?
【分析与解】
根据题意，这尽可能大的圆柱和圆锥，它们的底面直径正好是正方体的棱长，圆柱和圆锥的高正好也是正方体的棱长。如图。
设正方体棱长是2a，则圆柱的底面半径是a，圆柱的高是2a；圆锥的底面半径是a，圆锥的高是2a，因此，正方体的体积：
(2a)3＝ 8a3
圆柱的体积：3.14×a2×2a＝ 6.28a3
圆锥的体积： EQ \F(1,3) ×3.14×a2×2a＝ EQ \F(6.28,3) a3
所以，圆柱体积是原正方体体积的 EQ \F(6.28a3,8a3) ＝ EQ \F(1.57,2) ＝ EQ \F(157,200)
圆锥体积是原正方体体积的 EQ \F(6.28,3) a3÷（8a3）＝ EQ \F(157,600)
如果已经求出圆柱体积是原正方体体积的 EQ \F(157,200) ,那么直接用 EQ \F(157,200) × EQ \F(1,3) ＝ EQ \F(157,600) 得到圆锥体积是原正方体积的几分之几。
答：（略）
试一试2
如图，一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积是628立方厘米的圆柱体，求这个正方体纸盒的容积。
例3 在一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放人长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米?
【分析与解】
首先应该考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果全部沉入水中，排开水的体积是8×8×15＝960(立方厘米)。而要使水面上升(15－8)厘米，铁块排开水的体积是(3.14×102一8×8)×7＝1750(立方厘米)，由此可知，铁块是部分在水中。
铁块竖放到水中后，圆柱形瓶中水接触的底面积是3.14×102－8×8＝250(平方厘米)，而水的体积还是3.14×102×8＝2512(平方厘米)，水高是2512÷250＝10.048(厘米)，上升了10.048－8＝2.048(厘米)。
3.14×l02×8÷(3.14×102－82)－8
＝ 2.048(厘米)
答：水面上升了2．048厘米。
试一试3
在一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装入高3厘米的水，现在把一个底面半径是1厘米，高是5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯中，问水面升高了多少厘米?(π取3)
例4 一个下半部分是圆柱的玻璃瓶子（如图），瓶内封装有酒精溶液500毫升，量得溶液高度为25厘米。如果将瓶子倒置（见图），液面上空部分高为5厘米，求这个瓶子的容积。
【分析与解】
根据题意，结合图示，瓶子的容积是由酒精溶液的体积加上瓶子上空部分的体积组成，而左图中上空部分的体积就是右图中上空部分的体积，也就是只需要将这两部分的高度和去乘瓶子的底面积即可。
瓶子底面积：500÷25＝20(平方厘米)
瓶子容积：20×(25+5)＝20×30
＝600(立方厘米)
答：(略)。
试一试4
如图，饮料瓶的容积为30Oml，正放时饮料的高度为20cm，倒放时瓶内空余部分的高度为5cm，瓶内有饮料多少毫升?
练习十八
1.一个圆柱的侧面积是180平方厘米，底面半径是5厘米，它的体积是多少？
2. 已知一个圆柱体的体积是360立方厘米，它的侧面积是90平方厘米，求它的底面半径。
3. 一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一段半径是5厘米的圆柱形钢材浸没在水中。当钢材从水桶取出后，桶里的水下降了3厘米，这段钢材有多长?
4. 一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米?
5. 已知一个圆锥体的底面半径和高都等于正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。
6. 一个圆柱的底面直径是6分米，被斜截后(如图)，最低处的高是8分米，最高处的高是10分米，求截后物体的体积。
7. 一个正方体的纸盒（如图所示）中，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大?
h
EQ \F(1,2) h
8.如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水？
9.一根长1米的圆柱形铁棒，锯成了3段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了0.36平方分米，这根铁棒的体积是多少立方分米？
10.在底面半径是10厘米的圆柱形杯中，装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水上升到9厘米，问这块铁的体积有多大？
11．如图，一个圆柱形（不包括瓶颈）酒瓶里面深30厘米，底面内直径10厘米，瓶里酒深15厘米，把瓶塞塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，则酒瓶的容积是多少毫升？
15
10
30
25
12. 有一块长、宽、高分别是10分米、8分米、6分米的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体工件，求这个圆锥体工件的体积？
知识要点与学法指导：
在实际生活中，我们常常会遇到像求一个纸箱、一块木料占空
间大小的问题，在生产建设中，会遇到把一个长方体铁块熔铸成一
个圆柱体配件的情况，这些都属于体积问题。这一讲，我们来探究
有关圆柱、圆锥等立体图形的体积问题，并通过探究，进一步提高
同学们的空间想象能力和解决实际问题的能力。
解答体积问题时，要注意以下几点：
1. 把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变，有时可直接列方程解答；
2. 将一个物体放入水中有两种情况：(1)物体全部浸没在水中。当物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从
水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。(2)物体不全部浸在水中。排开水的体积等于浸在水中的那部分物体的体积。
3. 计算物体的体积时，对于其中关键的未知数量可用字母代入法求得，或借助字母代入作中介来推算出体积。
例1 圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是6米，它的体积是多少?
【分析与解】
分析此题时，同学们首先想到的是通过侧面积和底面半径求圆柱的高，通过底面半径求出底面积，进而用“底面积×高”来求体积。然而，在求圆柱的高时，列式为：100÷(2×3.14×6)，计算很麻烦。其实，我们只要联系圆柱体体积的推导过程加以分析，就可以找出很巧妙的解法。如图：
可以看出，圆柱体的侧面积，就是长方体前、后两个面的面积之和，圆柱体的底面半径就是长方体的宽。长方体的体积可以用“前面的面积×宽”求出。
100÷2×6
＝ 300(立方米)
答：它的体积是300立方米
想一想：根据上面的解题过程，你能写出已知圆柱侧面积和底面半径，求圆柱体积的公式吗?
试一试1
一个圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，求它的体积。
例2 将一块正方体木料削制成尽可能大的一个圆柱，圆柱的体积是原正方体体积的几分之几?如果将这块正方体木料削制成尽可能大的一个圆锥，圆锥的体积是原正方体体积的几分之几?
【分析与解】
根据题意，这尽可能大的圆柱和圆锥，它们的底面直径正好是正方体的棱长，圆柱和圆锥的高正好也是正方体的棱长。如图。
设正方体棱长是2a，则圆柱的底面半径是a，圆柱的高是2a；圆锥的底面半径是a，圆锥的高是2a，因此，正方体的体积：
(2a)3＝ 8a3
圆柱的体积：3.14×a2×2a＝ 6.28a3
圆锥的体积： EQ \F(1,3) ×3.14×a2×2a＝ EQ \F(6.28,3) a3
所以，圆柱体积是原正方体体积的 EQ \F(6.28a3,8a3) ＝ EQ \F(1.57,2) ＝ EQ \F(157,200)
圆锥体积是原正方体体积的 EQ \F(6.28,3) a3÷（8a3）＝ EQ \F(157,600)
如果已经求出圆柱体积是原正方体体积的 EQ \F(157,200) ,那么直接用 EQ \F(157,200) × EQ \F(1,3) ＝ EQ \F(157,600) 得到圆锥体积是原正方体积的几分之几。
答：（略）
试一试2
如图，一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积是628立方厘米的圆柱体，求这个正方体纸盒的容积。
例3 在一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放人长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米?
【分析与解】
首先应该考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果全部沉入水中，排开水的体积是8×8×15＝960(立方厘米)。而要使水面上升(15－8)厘米，铁块排开水的体积是(3.14×102一8×8)×7＝1750(立方厘米)，由此可知，铁块是部分在水中。
铁块竖放到水中后，圆柱形瓶中水接触的底面积是3.14×102－8×8＝250(平方厘米)，而水的体积还是3.14×102×8＝2512(平方厘米)，水高是2512÷250＝10.048(厘米)，上升了10.048－8＝2.048(厘米)。
3.14×l02×8÷(3.14×102－82)－8
＝ 2.048(厘米)
答：水面上升了2．048厘米。
试一试3
在一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装入高3厘米的水，现在把一个底面半径是1厘米，高是5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯中，问水面升高了多少厘米?(π取3)
例4 一个下半部分是圆柱的玻璃瓶子（如图），瓶内封装有酒精溶液500毫升，量得溶液高度为25厘米。如果将瓶子倒置（见图），液面上空部分高为5厘米，求这个瓶子的容积。
【分析与解】
根据题意，结合图示，瓶子的容积是由酒精溶液的体积加上瓶子上空部分的体积组成，而左图中上空部分的体积就是右图中上空部分的体积，也就是只需要将这两部分的高度和去乘瓶子的底面积即可。
瓶子底面积：500÷25＝20(平方厘米)
瓶子容积：20×(25+5)＝20×30
＝600(立方厘米)
答：(略)。
试一试4
如图，饮料瓶的容积为30Oml，正放时饮料的高度为20cm，倒放时瓶内空余部分的高度为5cm，瓶内有饮料多少毫升?
练习十八
1.一个圆柱的侧面积是180平方厘米，底面半径是5厘米，它的体积是多少？
2. 已知一个圆柱体的体积是360立方厘米，它的侧面积是90平方厘米，求它的底面半径。
3. 一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一段半径是5厘米的圆柱形钢材浸没在水中。当钢材从水桶取出后，桶里的水下降了3厘米，这段钢材有多长?
4. 一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米?
5. 已知一个圆锥体的底面半径和高都等于正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。
6. 一个圆柱的底面直径是6分米，被斜截后(如图)，最低处的高是8分米，最高处的高是10分米，求截后物体的体积。
7. 一个正方体的纸盒（如图所示）中，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大?
h
EQ \F(1,2) h
8.如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水？
9.一根长1米的圆柱形铁棒，锯成了3段（每段仍是圆柱体），表面积比原来增加了0.36平方分米，这根铁棒的体积是多少立方分米？
10.在底面半径是10厘米的圆柱形杯中，装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水上升到9厘米，问这块铁的体积有多大？
11．如图，一个圆柱形（不包括瓶颈）酒瓶里面深30厘米，底面内直径10厘米，瓶里酒深15厘米，把瓶塞塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，则酒瓶的容积是多少毫升？
15
10
30
25
12. 有一块长、宽、高分别是10分米、8分米、6分米的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体工件，求这个圆锥体工件的体积？
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