2022高三下学期百校联考试题（衡阳二模）数学含答案

湖南省衡阳市2022届高三下学期二模

数学试题

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则的虚部为（）

A.  B.  C. 2 D.

3. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A. 中位数 B. 平均数

C. 方差 D. 极差

4. 设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，，则

5. 某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（）

A.  B.  C.  D.

6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝（    ）

A 8 B. 4

C. 2 D. 1

7. 设分别是的内角的对边，已知，设是边的中点，且的面积为1，则等于（）

A. 2 B.  C.  D.

8. 已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（）

A. 4个 B. 5个 C. 3个或4个 D. 4个或5个

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列结论中正确的是（）

A. 在中，若，则

B. 在中，若，则是等腰三角形

C. 两个向量共线的充要条件是存在实数，使

D. 对于非零向量，“”是“”的充分不必要条件

10. 函数（其中的部分图象如图所示､将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）

A. 函数为奇函数

B. 函数在上单调递减

C. 函数为偶函数

D. 函数的图象的对称轴为直线

11. 圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（）

A

B.

C. 点到轴的距离为

D. 的角平分线所在直线的倾斜角为

12. 已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（）

A. 点到平面的距离为

B. 正方体外接球的体积为

C. 面截正方体外接球所得圆的面积为

D. 以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 二项式的展开式中常数项是___________.

14. 函数，则曲线在处的切线方程为___________.

15. 意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛应用.若此数列的各项除以3的余数构成一个新数列，则数列的前2022项的和为___________.

16. 已知椭圆与双曲线有相同焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）①；②；③.

从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和.

19. 如图，在四边形中，与相交于点平分.

（1）求；

（2）若，求的面积.

21. 如图，已知圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为为母线，平面平面为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.

23. 随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元：创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.

（1）大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为（单位：万元），若的概率为，求的大小：

（2）若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？

25. 设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.

①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；

②求面积的最大值.

27. 已知函数，其中.

（1）若，求函数的极值；

（2）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.

湖南省衡阳市2022届高三下学期二模

数学试题

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】C

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】D

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

【9题答案】

【答案】AD

【10题答案】

【答案】ABC

【11题答案】

【答案】AD

【12题答案】

【答案】BCD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】2276

【16题答案】

【答案】

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

【17题答案】

【答案】（1）

（2）答案见解析

【18题答案】

【答案】（1）；

（2）.

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【20题答案】

【答案】（1）

（2）答案见解析

【21题答案】

【答案】（1）

（2）①证明见解析，定点；②

【22题答案】

【答案】（1）极小值为1，无极大值

（2）