2022石嘴山三中高三第三次模拟考试理科数学试题

石嘴山三中2022届高三年级第三次模拟

   理科数学    

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．设全集，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某班有100名学生，男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数.

B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数.

C．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差.

D．这种抽样方法是分层抽样.

4．已知，则的值为（       ）

A．3 B．-3 C． D．-1

5．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（       ）

A． B． 

C． D．

6．叫做二项式定理，取，可得二项式系数的和．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出（       ）

A．64 B．128 

C．256 D．512

7．已知实数，满足，若的最大值为，则（       ）

A．        B．         C．          D．

8. 在2022年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数（，，）的图像．下列说法正确的是（       ）

A．8～13时这段时间温度逐渐升高         B．8～16时最大温差不超过5°C

C．8～16时0°C以下的时长恰为3小时     D．16时温度为−2°C

9． 已知函数，，则图象如图的函数可能是(       )

A． B．

C． D．

10．已知中，，，现以BC为旋转轴旋转得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（       ）

A．         B．        C．         D．

11．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（       ）

A．1         B．2         C．3           D．4

12．已知，则（       ）

A．                 B．     

C．                 D．

第II卷（非选择题）

二、填空(本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则______

14． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，△ABC的面积S为___________.

15．已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标

为（2，0），则的最大值为___________.

16．如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是___________

（1）．三棱锥外接球的表面积为

（2）．异面直线与所成角的余弦值为

（3）．当点M在棱上运动时，最小值为

（4）．N是平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线

三、解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．（本小题12分）2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉样物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x天到该电商平台参与预售的人数y（单位：万人）的数据如下表：

(1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第天与到该电商平台参与预售的人数（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为）

(2)求参与预售人数与预售的第天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）.

参考数据：，

附：相关系数

18．（本小题12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点．

证明：面面；

当为中点时，求钝二面角余弦值．

19．（本小题12分）已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)试比较与的大小．

20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．

(1)求的轨迹的方程；

(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．

21．（本小题12分）已知.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。

（1）若在极坐标系中，点P的极坐标为，判断点P与直线的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线的距离的最小值与最大值.

23．（本小题10分）[选修4—5：不等式选讲]

已知函数的最小值为2，.

(1) 求a的取值范围；

(2) 若，求k的最大值.

试题答案

一、选择题

1、因为，，

则，

故．

故选：.

2、【答案】A

3、【解析】．C

【分析】

【详解】

该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以A错；

这5名男生成绩的中位数是90，5名女生成绩的中位数93，所以B错；

5名男生成绩的平均数为：，5名女生成绩的平均数为，这5名男生成绩的方差为，女生的方差为，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以C对；

若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错.

故选：C.

4、【详解】A  原式.

故选：A

5、【答案】C

【详解】

如图以向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设的终点为A，的终点为B，根据向量的几何意义可知的最小值，表达是A点到向量的距离，即图中虚线段的长度，

故可设向量所在的直线方程为，即，点，故

故选：C

6、【答案】C

【详解】

程序运行变量值为．

故选：C．

7、【答案】B

【详解】

作出可行域，如图内部（含边界），其中，若A是最优解，则，，检验符合题意；若B是最优解，则，，检验不符合题意，若，则最大值为34；若C是最优解，则，，检验不符合题意；所以，故选B.

合题意；所以，故选B.

8、故选：D.

【详解】

由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；

8～16时最大温度°C，最小温度°C，最大温差为°C，B错误；

8～16时0°C以下的时长超过3小时，C错误；

，，又过点，故，解得，

故，，故16时温度为−2°C，D正确.

故选：D.

9、【答案】D

【详解】

由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；

当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；

为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.

故选：D.

10、【答案】C

【详解】

如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，为内切球的球心

因为，，

所以，

因为，

所以，所以，

所以内切球的半径，

故，

故选：C

11、【答案】D

【详解】

解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：

；

，，设，，则：

在中由余弦定理得，；

化简得，该式可变成，．

故选：D．

12【答案】B

【详解】

令，则，

令，则，所以在上单调递减，

且，，由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即，因此时，，即在上单调递增，时，，即在上单调递减，所以在处取得极大值，同时也是最大值，

，因此，，即，，

，

而函数在上单调递增，且，所以，故，即，因此，所以，因此，

故选：B.

二、填空题

13、【答案】10

【详解】在等比数列中，由，得，即，

又，，成等差数列，，即，

联立得：舍或．．

则

14、【答案】

【详解】由正弦定理知，，由余弦定理知，

则，又

则三角形面积故答案为：

15、【答案】7

【详解】由可知为直径，

∴，

设，则，

∴，

当时，最大值为．

16、【答案】1.3.4

【详解】对于1，由题可知是边长为2的等边三角形，则外接圆半径，

由得外接球表面积为，所以A选项正确．

对于2，连接，因为，所以即为异面直线与所成角，

由题可知，，由余弦定理得

，所以，所以B选项错误．

对于3，分别将四边形与沿着棱展开得到四边形，

的最小值即为，所以C选项正确．

对于4，N到直线与直线的距离相等，又，即为N到直线的距离，

即N到点A与直线的距离相等，根据抛物线的定义，所以D选项正确．

故选：1.3.4.

17、【答案】(1)具有较高的线性相关程度

(2)，万人

【解析】(1)

由表中数据可得，

所以                                           ------------------------3分

又

所以 ------------------------5分

所以该电商平台的第天与到该电商平台参与预售的人数（单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系. ------------------------6分

(2)

由表中数据可得

则

所以------------------------10分

令，可得（万人） ------------------------11分

故预测2022年2月20日该电商平台的预售人数万人 ------------------------12分

18、【解析】证明：因为底面为正方形，

所以，

又因，，满足，

所以，------------------------2分

又，面，面，，

所以面，------------------------4分

又因为面，

所以面面．------------------------5分

由知，，两两垂直，

以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系如图所示，

则，，，，，

则，，

所以，，，，

设面法向量为，

则由得

令得，，即；------------------------7分

同理，设面的法向量为，

则由得

令得，，即，-----------------------9-分

所以

，------------------------11分

又因为二面角为钝角，

所以二面角余弦值为．------------------------12分

19、【解析】(1)当时，，，------------------------1分

当时，①，

②，

①－②得，即．------------------------4分

又∵，∴是首项为，公比为2的等比数列．------------------------6分

(2)由（1）知，，

∵，∴，------------------------8分

∴

.-----------------------10-分

∴，

又∵，∴，∴．-----------------------12-分

20、【解析】(1)由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，

则动点到点的距离与到直线的距离相等，

故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，

设抛物线方程为 ，

则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；------------------------4分

(2)由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，

由 ，消去y得： ，

，

设 ，则，

故 ，同理可求得，------------------------6分

所以直线AB的斜率，

故直线AB的方程为：

，

故直线AB过定点 ，设该点为,------------------------8分

又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，

由于 , ,

故以EF为直径的圆的方程为，------------------------11分

故存在定点，使得线段的长度为定值2.------------------------12分

21、【解析】(1)因为，所以，

所以，，

切线方程为：即.------------------------4分

(2)令，则，在上，单减，

在上，单增，故，

依题，

可知.

所以在R上单调递增，------------------------7分

因为，不妨设

欲证，只需证，只需证，

只需证------------------------8分

令，，

令，所以

故时，单调递增，，-----------------------11分

所以单调递增，所以，得证.------------------------12分

22. 【解析】

【小问1详解】

因为直线的参数方程为（t为参数），所以消去t得：.------------------------2分

因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，------------------------2分

代入直线，不成立，所以点P不在直线上.------------------------5分

【小问2详解】

因为点Q是曲线C上的一个动点，所以.

所以点Q到直线的距离为.------------------------7分

所以当时，最大；当时，最小.---------------------9分

所以点Q到直线的距离的最小值为，最大值为.------------------------10分

23．【解析】

(1)∵

∴即------------------------2分

又，当且仅当时，取等号------------------------4分

故a的取值范围是------------------------5分

（2）由（1）得，

当时，，

当时，，

当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，------------------------7分

，的图象如图所示，------------------------9分

故，即k的最大值为2.------------------------10分