2022西宁高三下学期一模数学文试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试

西宁市高三年级复习检测（一）

文科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】应用集合的交运算求即可.

【详解】由题设，.

故选：C

2. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：.

故选：C.

3. 设向量 =（3，k)， =（－1，3），已知，则k=（    ）

A. 2 B. 1 C. －2 D. －1

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量数量积坐标运算与垂直定义即可求解．

【详解】因为，则，解得

故选：B

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分、必要性的定义，即知题设条件间的关系.

【详解】由则必有，但不一定，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（    ）

A. 5000元 B. 5500元 C. 6000元 D. 6500元

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据条形图计算出刚退休时就医费用，进而计算出现在的就医费用，结合目前就医费用所占退休金的比例可得出结果.

【详解】刚退休时就医费用为元，现在的就医费用为元，占退休金的，

因此，目前该教师的月退休金为元.

故选：A

6. 如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.

【详解】双曲线的渐近线方程为：，设双曲线下焦点为，

则有，依题意，，离心率，解得，

所以该双曲线的标准方程为.

故选：D

7. 若，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为，

所以，

故选：D

8. 某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（    ）

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】求出三角形空地的面积，即可求出这块三角形空地的改造费用.

【详解】由题意，三角形空地的面积为，

改造费用为50元，

这块三角形空地的改造费用为：元.

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是正弦定理中的面积公式的应用，熟记公式是解决本题的关键，是基础题.

9. 下列关于函数的说法错误的是（    ）

A. 最小正周期 B. 最大值为1，最小值为

C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象关于点对称

【9题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等

【详解】函数，函数的最小正周期，A正确．

最大值为1，最小值为，B正确．

由，得函数图象关于直线对称，C不正确．

由，得函数图象关于点对称，D正确．

故选：C

10. 圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（    ）

A.  B. 15cm C.  D. 20cm

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积, 水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为,列出方程即可得到答案.

【详解】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积.

设玻璃球的半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为

则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为

若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为

所以，解得

故选：B

11. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】首先发现斐波那契数的规律，并计算接下来的圆弧所在圆的半径和圆弧长，并求圆锥底面半径.

【详解】由斐波那契数可知，从第3项起，每一个数都是前面两个数的和，

所以接下来的底面半径是5+8=13，对应的弧长是，

设圆锥的底面半径是，则，

解得：.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能发现斐波那契数的规律.

12. 设函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先判断函数在上为增函数，又由于函数为奇函数，所以在上单调递增，再由奇函数的性质对变形，得，从而得，进而可求得解集

【详解】解：由，得，

因为，所以，

所以在上单调递增，

因为函数为奇函数，所以在上单调递增，

由，得，

因为函数为奇函数，所以，

因为上单调递增，所以，得

故选：D

【点睛】此题考查奇函数的性质的应用，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 有三张卡片，每张卡片上分别写有两个数字1和2，1和3，2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片．

甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”；

乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字是1”；

丙说：“我的卡片上的数字之和大于3”．

则甲取走的卡片上数字为______．

【13题答案】

【答案】2和3

【解析】

【分析】弄清题意，假设甲选了一张卡片，由此根据他们的话进行简单的合情推理，即可得解．

【详解】不妨设三张卡片依次为，分别写有两个数字1和2，1和3，2和3，

若甲取走的卡片编号为，由于甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，则乙取走的卡片编号为，则与乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上上相同的数字是1”，出现矛盾，即甲取走的卡片编号不是，

若甲取走的卡片编号为，由甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1，

则乙取走的卡片编号为，则与乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上上相同的数字是1”，出现矛盾，即甲取走的卡片编号不是，

当甲取走的卡片编号为，由丙说：“我的卡片上的数字之后大于3”，则丙取走的卡片编号为，则乙取走的卡片编号为，满足题意，即甲取走的卡片编号为，

综合以上得：甲取走的卡片上数字为2和3，

故答案为：2和3 ．

14. 一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为，，的概率是________．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】试验发生包含的事件是把三本书全排列，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3，只有2种结果，根据概率公式得到结果．

【详解】由题意知，本题是一个等可能事件，

试验发生包含的事件是把三本书全排列，共有种结果，

卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3，只有2种结果，

卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3概率是，

故答案为：．

15. 函数的部分图象如图所示，则______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由已知中的函数的图象，易求，的值，即可求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，可以将转化为分组求和，即可得到答案．

【详解】由已知中函数，的部分图象可得：，

解得：，，

由图象过原点，且，故 ，

可得：，

这是一个周期为8的周期函数，且，

则

，

故答案为：

16. 椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为______；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为______.

【16题答案】

【答案】    ①. 8    ②.

【解析】

【分析】

利用椭圆的定义可求得的周长，利用两种方法求出的面积相等可得的内切圆半径.

【详解】由知，，所以，，，

所以，，

根据椭圆的定义可得，，

所以周长为.

因为

，

设的内切圆半径为，

则，

所以，解得.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：利用两种方法求出的面积相等求解的内切圆半径是解题关键.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.

（1）求通项公式；

（2）求数列的前项和.

【17题答案】

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的公差为,得到,,再根据,,成等比数列,由等比中项公式得出首项,代入通项公式即可得通项.

（2）由（1）得,数列,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可..

【详解】解：（1）∵的公差为,

∴,.

∵,,成等比数列,

∴,

解得,

从而.

（2）由（1）得,

.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题.

18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量(单位：)的影响.该公司对近7年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费(万元)和年销售量(单位：)具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程(结果保留到0.001)；

（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果，估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润z最大.

附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，参考数据：，

【18题答案】

【答案】（1）；（2）(万元).

【解析】

【分析】（1）由题求得，代入最小二乘估计公式，求得，从而求得回归方程；

（2）根据（1）中结果，知，在对称轴处取最大值.

【详解】（1）由题意，

，，

所以；

（2）由（1）知，

可知，当时，年利润最大，

所以估算该公司.应该投入3.992万元宣传费，才能使得年利润最大.

19. 如图，四棱锥中，，，平面CDP，E为PC中点．

（1）证明：平面PAD；

（2）若平面PAD，，求三棱锥的体积．

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点，连接，，然后可证明四边形是平行四边形，得到即可；

（2）根据题意可求得PD的长，根据即可求得答案.

【小问1详解】

证明：取中点，连接，，

则，且，

又，且，

，且，

四边形是平行四边形，

，

平面，平面，

平面；

【小问2详解】

因为平面PAD，平面PAD，

故，

又因为，，故 ,

又因为，平面CDP，

故

.

21. 已知函数.

（1）求证：；

（2）若函数无零点，求a的取值范围.

【21题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.

（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.

【小问1详解】

，

则当时，，当时，，

故在上为增函数，在上减函数，

故即.

【小问2详解】

，故，

当时，在定义域上无零点;

当时，，故，

所以当时，，当时，，

故在上为增函数，在上减函数，

因为函数无零点，故，即；

当时，因为，所以，

即，

所以在定义域上无零点.

综上，的取值范围是.

23. 已知椭圆的离心率为，点在圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C内一点的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线（O为坐标原点）的斜率分别为，若对任意k，存在实数，使得，求实数的取值范围．

【23题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由离心率得的关系，从而得的关系，已知点坐标带入椭圆方程得的关系，两者结合可求得，从而得出椭圆的方程.

（2）设，，直线l的方程为，直线方程与联立椭圆方程，消元后应用韦达定理得，代入得出的关系，由，借助的范围，求出的取值范围.

【小问1详解】

椭圆C的离心率，∴，

又点在椭圆C上，

∴，得，，

∴椭圆C的方程为．

【小问2详解】

由题意得，直线l的方程为．

由消去y可得．

设，，

则，，

∴．

由，得，此等式对任意的k都成立，

∴，即．

∵点在椭圆内，∴，

即，解得．

∴实数取值范围是．

二、选考题：共10分．请考生在第22、23中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

［选修4-4：坐标系与参数方程］

25. 在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变成曲线.

（1）求曲线的参数方程；

（2）设，点是上的动点，求面积的最大值，及此时的坐标.

【25题答案】

【答案】（1）为参数；（2）面积的最大值为2，此时的坐标为或.

【解析】

【分析】（1）用分别表示，代入曲线，可得到曲线的方程，从而写出其参数方程；

（2）设，并求出直线的方程，根据距离公式分别求出点到直线的距离的最大值，的长度，即可得到面积的最大值，及此时的坐标．

【详解】（1）由伸缩变换得到①

将①代入得到②

所以的参数方程为

（2）设，直线

所以到直线的距离为

所以

当时，的面积的最大值为2

此时的坐标为或．

［选修4-5：不等式选讲］

26. 已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若对，不等式总成立，设M是m的最大值，，其中，求的最小值．

【26题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据x的范围分段取绝对值求解即可；

（2）将恒成立问题转化为最值问题，从而求出M，再利用基本不等式可解.

【小问1详解】

函数，则不等式可化为

或或，

解得或或，即．

所以，不等式的解集为．

【小问2详解】

对，不等式总成立，等价于．

，当且仅当即时取等号，．

，所以．

，，因此

，

当且仅当即，时取等号．

所以的最小值为．