2021届安徽肥东县高级中学高三上学期数学理期中考试题答案

2021届安徽肥东县高级中学高三上学期数学理期中考试题答案

1.【答案】C

【解析】T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，S＝{x|x>－2}，∁RS＝{x|x≤－2}．

∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]．故选C.

2.【答案】A

【解析】对于A：若x＝3，则x2－2x－3＝0的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0，故A正确．

3.【答案】C

【解析】函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R上是增函数，故有f(x2－6x＋21)＜－f(y2－8y)恒成立，即f(x2－6x＋21)＜f(－y2＋8y)恒成立，即(x－3)2＋(y－4)2＜4恒成立，故以(x，y)为坐标的点在以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内，且直线x＝3右边的部分，而x2＋y2的几何意义恰好是圆内的点到原点(0,0)的距离的平方，故最大值是原点到圆心的距离加上半径的长的平方49，最小值是原点到(3,2)的距离的平方13，故选C.

4.【答案】B

【解析】f′(x)＝－，令f′(x)＝0，可得x0＝1±，

∴函数在(－∞，1－)上单调递减，在(1－，1＋)上单调递增，在(1＋，＋∞)上单调递减．

∵f(x)在x0处取得极值，且x0∉[e＋2，e2＋2]，

∴函数在区间[e＋2，e2＋2]上是单调函数．

∴或∴a＞e4＋2e2，

∴a的取值范围是a＞e4＋2e2.

5.【答案】C

【解析】因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，

所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.

又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝，

因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

6.【答案】A

【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.

∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.

设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，

则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，

∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，

∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，

∴数列{Sn}是等差数列，故选A.

7.【答案】A

【解析】由题意得＝，T＝π，ω＝2.

又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，

而x0∈，所以x0＝.

8.【答案】A

【解析】f(x)＝4x－1的零点为x＝，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，

f(x)＝ex－1的零点为x＝0，f(x)＝ln的零点为x＝.

现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点，

因为g(0)＝－1，g＝1，所以g(x)的零点x∈，

又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，

只有f(x)＝4x－1的零点适合，故选A.

9.【答案】C

【解析】f(x)＝2－|x|＝dx＝dx＋dx＝dx＋dx＝＋＝3.5.

10.【答案】C

【解析】当x＞0时，F(x)＝＋x≥2；

当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，

F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．

11.【答案】A

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示．

由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，

平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小．

由解得即A(1，－)，

∵点A也在直线y＝a(x－3)上，∴－＝a(1－3)＝－2a，解得a＝.

12.【答案】A

【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，

因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，

所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．

又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，

解得x>0.故选A.

13.【答案】－

【解析】因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1，

所以0<α<，

又因为tan 2α＝＝＝<1，

所以0<2α<，

所以tan(2α－β)＝＝＝1.

因为0<β<π，所以－π<2α－β<，所以2α－β＝－.

14.【答案】

【解析】a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，

b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8，

a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，

∴cosβ＝＝＝.

15.【答案】

【解析】∵等差数列{an}的前三项为a,4,3a，∴a＋3a＝2×4，解得a＝2，

∴等差数列{an}的首项为2，公差为2，

∴Sn＝na1＋＝2n＋n(n－1)＝n(n＋1)，∴＝＝－，

∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.

16.【答案】2

【解析】由图示可得＋＋＝＋＋＝＋，

当a＋b≥ab＋1时，即有原式≥＋＝，

由－2＝＝≥0，

可得原式≥2，当且仅当a＝b＝1时，取得等号；

当a＋b<ab＋1时，原式>＋＝≥＝2.

综上可得，＋＋的最小值是2.

17.【答案】(1)由sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinB，

利用正弦定理化简得：a2＋b2－c2＝ab，

∴cosC＝＝＝，即C＝，

∵sinC＋sin(B－A)＝sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，

∴sinBcosA＝2sinAcosA，

当cosA＝0，即A＝，此时S△ABC＝；

当cosA≠0，得到sinB＝2sinA，利用正弦定理得b＝2a，此时S△ABC＝.

即△ABC的面积为.

(2)设AB边的中点为D，

∵＝(＋)，∴|CD|2＝＝，

∵cosC＝，c＝2，∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，即a2＋b2－ab＝4，

∴|CD|2＝＝＞1，且|CD|2＝≤3，

则CD的范围为(1，]．

18.【答案】(1)由题设知＝(n－8，t)，

∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.

又∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.

当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，

∴＝(24,8)或＝(－8，－8).

(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，

∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，

tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－)2＋.

∵k>4，∴0＜＜1，∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.

由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4,8).

∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.

19.【答案】(1)解　由S1＝2a1－21＋1，得a1＝4，

由Sn＝2an－2n＋1，Sn－1＝2an－1－2n(n≥2)，

两式相减，得an＝2an－2an－1－2n，

即an－2an－1＝2n，∴－＝1，∴是以1为公差的等差数列，

∵＝2，∴＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n，n∈N*；

(2)证明　bn＝2n－，Tn＝＋＋…＋.

∵2n－＝2＞2，∴bn＞2bn－1，∴＜·(n≥2)．

当n≥2时，Tn＝＋＋…＋＜＋＜＋Tn，∴Tn＜＝.

当n＝1时，T1＝＝＜.

综上，Tn＜.

20.【答案】(1)∃x∈R，f(x)＜bg(x)⇒∃x∈R，

x2－bx＋b＜0⇒(－b)2－4b＞0⇒b＜0或b＞4.

故实数b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．

(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.

①当Δ≤0，即－≤m≤时，

则必需⇒－≤m≤0.

②当Δ＞0，即m＜－或m＞时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1＜x2)．

若≥1，则x1≤0，即⇒m≥2；

若≤0，则x2≤0，即⇒－1≤m≤－.

综上所述，实数m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．

21.【答案】(1)解　易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，

f′(x)＝－＝＝.

由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，

令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．

不妨设0<α<，则β>e，

又g(0)＝1>0，所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.

(2)证明　由(1)知，f′(x)>0⇔0<x<α或x>β，f′(x)<0⇔α<x<1或1<x<β，

所以函数f(x)在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减．

由x1∈(0,1)，得f(x1)≤f(α)＝lnα＋，

由x2∈(1，＋∞)，得f(x2)≥f(β)＝lnβ＋，所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)．

由(1)易知，α·β＝1，α＋β＝a＋2，

所以f(β)－f(α)＝lnβ－ln＋a＝2lnβ＋a·＝2lnβ＋a·＝2lnβ＋β－.

记h(β)＝2lnβ＋β－(β>e)，则h′(β)＝＋1＋＝2>0，

所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.

22.【答案】(1)由题意得BP＝t，CP＝1－t,0≤t≤1.

∠DAQ＝45°－θ，DQ＝tan(45°－θ)＝，CQ＝1－＝，

所以PQ＝＝＝，

所以l＝CP＋CQ＋PQ＝1－t＋＋＝1－t＋1＋t＝2，是定值．

(2)S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ＝1－t－·＝2－[(1＋t)＋]．

因为1＋t>0，所以S≤2－2＝2－，

当且仅当(1＋t)＝，即t＝－1时取等号．

所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2－)平方百米．

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