专题05 【精品】相似之K字型相似-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题05 相似之K字型相似

一、方法突破

同样作为模型，但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同，“手拉手”本身可以作为问题，而“K字型相似”更多地作为一种方法来运用，因而我们要了解的侧重点也会有所调整，依然三个问题：

（1）三垂直模型的构成；

（2）什么条件下考虑构造三垂直．

（3）构造三垂直能带来什么；

问题一：三垂直模型的构成

△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E，则△ADC≌△CEB．

证明： → △ADC≌△CEB（AAS）

【小结】尝试用文字来描述三垂直模型：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）

【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？

等腰——可得一组对应边相等；

直角+作垂直——可得两组角对应相等．

【弱化条件】

（1）如果没有等腰？

依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．

如图，有△ADC∽△CEB．

特别地，若点C为BD中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB．

（2）如果没有直角？

直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型

二、典例精析

1.（2018·遵义）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为　　．

【分析】等边翻折得到一线三等角．

由题意可得：，

易证△FGD∽△GEB，∴，

设FG=x，则AE=x，DF=8-x，设GE=y，则AE=y，BE=8-y，

代入得：，解得：，

∴，故BE的长为．

问题二：什么条件下考虑构造三垂直？

根据问题一的分析已经很明显了，可以没有等腰，但需要有直角，当然如果是等腰直角那就再好不过了．

那看到有直角就考虑构造三垂直？当然也不是，起码问题得和直角相关，并且这个直角是斜着的．

2.（2018·临安区）如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是　　

A．1 B．2 C．3 D．不能确定

【分析】求面积当然是先考虑考虑面积公式咯．

已知AD=2，过点E作EN⊥AD交AD延长线于点N，求出EN即可求出面积．

考虑△CDE是等腰直角三角形，过点C作CM⊥DN交DN于M点，

易证△END≌△DMC，∴EN=DM=BC-AD=1，

故，

故选A．

3.（2019·河池）如图，在平面直角坐标系中，，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是　　．

【分析】已知了A点坐标，求出点C坐标即可，旋转90°可构造三垂直全等．

过点C作CD⊥x轴交x轴于点D，

易证△BOA≌△ADC，

∴AD=BO=1，DC=OA=2，

∴C点坐标为（3,2），

∴直线AC解析式为．

【小结】尤其是在坐标系中，构造三垂直可以帮助计算点坐标或直线解析式，并且触发条件除了直角之外，也可以是其他确定的角，比如45°角．

4.如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．

【分析】构造三垂直相似（全等）

在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．

在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．

易证△OEM≌△PFO，

故PF=OE=2，OF=ME=1，故P点坐标为（-1，2），

结合P、M坐标可解直线CD解析式：．

构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，

【小结】设计坐标系中构造三垂直，尽可能让直角顶点是已知点，会简便计算，如上题中的第一种作图优于第二种．

除了45°之外，坐标系中出现其他的确定角，亦可构造三垂直．

5.如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转得到直线CD，且，求直线CD解析式．

【分析】

在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，

易证△PFO∽△OEM，且相似比，

即，，

故P点坐标为，

结合P、M点坐标可解直线CD解析式：．

【小结】当没有直角、没有45°的时候，构造出来的便是三垂直相似，而非全等了，对于计算线段来说，全等还是相似，又有什么区别呢？

问题三：构造三垂直能带来什么？

这其实本身不应该是一个问题，而是对前文的思考．三垂直是如何帮助我们解决问题的？

构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换．另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，会更方便计算．

继续看看相关的练习题：

6.（2017·扬州）如图，已知点是反比例函数的图像上的一个动点，连接，若将线段OA绕点顺时针旋转得到线段，则点所在的反比例函数表达式为　　．

【分析】旋转90°可构造三垂直全等．

分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别记为M、N，

易证△AMO≌△ONB，∴AM=ON，MO=NB，∴，

∴点B所在的反比例函数表达式为．

7.（2019·宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在轴的正半轴上，

∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是　　

A． B． C． D．

【分析】旋转90°构造三垂直全等．

由题意可求B点坐标为，

分别过点B、作、垂直x轴，垂足分别为M、N，

易证△BMO≌，

∴点坐标为，故选B．

三、中考真题演练

1．（2017·苏州园区模拟）如图，已知A（0，3）、B（4，0），点C在第一象限，且，，则直线OC的函数表达式为_______________．

【分析】发现△ABC是直角三角形是关键．

易证△ABC是直角三角形，过点C作CH⊥x轴交x轴于H点，

易证△AOB∽△BHC，可得BH=6，CH=8，

故点C坐标为（10，8），

∴直线OC函数表达式为．

2．（2019·十堰）如图，正方形和，，，连接，．若绕点旋转，当最大时，　　．

【分析】动态问题先分析何时最大．

F点轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，

当BF与圆相切时，∠ABF最大，

分别过点E、F作直线DA的垂线，垂足分别记为M、N，

易证△AME≌△FNA，∴，∴，

故△ADE的面积为6．

3．（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC=5，，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为_______．

【分析】求三角形的面积，可以首先考虑面积公式，以BD为底，需作高．

分别过C、E作BA的垂线，垂足分别记为点M、N，

易证△DMC≌△END，由得：CM=4，BM=8，

设BD=x，则EN=DM=8-x，

∴，

当x=4时，取到最大值8，

故△BDE面积的最大值为8．

4．（2019·沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE=4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接FG并延长，交AC的延长线于点P，若AB=5，CF=2，则线段EP的长是__________．

【分析】有直角便可考虑构造三垂直．

如下左图，过点E作EM⊥CD交CD于M点，

过点G作GN⊥ME交ME延长线于点N，

易证△FME≌△ENG，

连接GA，过点F作FH⊥AP交AP于H点，

易证△GAE≌△EHF，

∴△PHF∽△PAG，，解得：，

∴．

5．（2016·河南）如图，在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接、．若为直角三角形，则的长　 　．

【分析】并不确定直角时需分类讨论．

情况一：当∠PDC=90°时，如下左图，

易证△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=3．

情况二：当∠DPC=90°时，如上右图，

过点P作BC的垂线，垂足记为M，与AD延长线交于点N，则MN⊥AD，

易证△ABE≌△CMP，△CMP∽△PND，

设BE=x，则MP=x，PN=3-x，EM=AB=3，CM=x-2，

∵，代入得，解得：，（舍），

综上所述，BE的长为3或．