高考复习《期望与方差》课时作业12.6

这是一份高考复习《期望与方差》课时作业12.6，共10页。
课时作业
[基础过关专练]
1．(2020·沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的数学期望为E(X)＝3，则a－b＝(　　)
A. B．0
C．－ D.
A　由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的数学期望E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0，∴a－b＝.
2．(2017·浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则(　　)
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
A　由题意可知ξi(i＝1，2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0＜p1＜p2＜，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，把方差看作函数y＝x(1－x)，函数在上为增函数，
∴由题意可知，D(ξ1)＜D(ξ2)．故选A.
3．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)
A．3×2－2 B．2－4
C．3×2－10 D．2－8
C　由题意知解得
∴P(X＝1)＝C××＝＝3×2－10.
4．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
B　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B.
5．(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.
6．(2020·安徽合肥名校联考)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X＞0)＝0.8，则P(X≥2)＝________．
解析　随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于x＝1对称，∴P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X＞0)＝0.2.
答案　0.2
7．随机变量ξ服从正态分布ξ：N(μ，σ2)，若p(μ－2＜ξ≤μ)＝0.241，则P(ξ＞μ＋2)＝__________．
解析　∵随机变量ξ服从正态分布ξ：N(μ，σ2)，
∴P(μ－2≤ξ≤μ＋2)＝2P(μ－2＜ξ≤μ)＝0.482，
∴P(ξ＞μ＋2)＝[1－P(μ－2≤ξ≤μ＋2)]
＝(1－0.482)＝0.259.
答案　0.259
8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．
解析　设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
答案　2
9．(2019·重庆二诊)现有A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
解析　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，由于P(X＝0)＝，故(1－p)2＝，∴p＝.P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝1－－－＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案　
10．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．
解析　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
答案　
11．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
解　(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为
P(AB)＝×＝.
(2)P(C)＝＝，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P()
＝××＝.
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
12．(2020·全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
5
10
30
35
15
3
2
B型车
出租天数
1
2
3
4
5
6
7
车辆数
14
20
20
16
15
10
5
(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
(3)①试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及均值；
②如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
解　(1)这辆汽车是A型车的概率约为P＝＝0.6，
故这辆汽车是A型车的概率为0.6.
(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j＝1，2，3，…，7，
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P(A1B3＋A2B2＋A3B1)＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)
＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)
＝×＋×＋×＝，
故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为.
(3)①设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
P
0.05
0.10
0.30
0.35
0.15
0.03
0.02
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
P
0.14
0.20
0.20
0.16
0.15
0.10
0.05
E(X)＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.30＋4×0.35＋5×0.15＋6×0.03＋7×0.02＝3.62，
E(Y)＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48.
②一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理．
[技能过关提升]
13．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
解析　由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，
∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
答案　10
14．(2020·山东潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测．现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图．以频率值作为概率估计值．

(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为x，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：
①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≥0.682 6；
②P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≥0.954 4；
③P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≥0.997 4，
评判规则：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；
(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y)．
解　(1)由频率分布直方图可得：
P(12＜X＜16)＝(0.29＋0.11)×2＝0.8，
P(10＜X＜18)＝(0.04＋0.29＋0.11＋0.03)×2＝0.94，
P(8＜X＜20)＝(0.005＋0.004＋0.29＋0.11＋0.03＋0.015)×2＝0.98，
∴符合①，不符合②③，故该生产线需要检修．
(2)100件产品中，次品个数为100×(1－0.94)＝6，正品个数为94，
∴Y的所有可能取值为0，1，2，
其中P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P



∴Y的数学期望为E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
15．(2020·黄冈调研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和均值．
解　(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：
第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA，此种情况的概率为×＝；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为×＝.
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为＋＝.
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.
P(η＝10)＝，
P(η＝18)＝×＝，
P(η＝24)＝××＝，
P(η＝30)＝×××＝，
P(η＝36)＝×××＝，
则化验费η的分布列为
η
10
18
24
30
36
P





所以E(η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．
16．(2019·九江二模)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买．
解　(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500，
∵8 500＞8 400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(2)①X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64，
P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32，
P(X＝2)＝C×0.22×0.80＝0.04，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25，
一箱产品中，设正品的价格期望为η元，
则η＝8 000，9 000，
设事件B1：抽取废品率为20%的一箱，
则P(η＝8 000)＝P(B1|A)
＝＝＝0.64，
设事件B2：抽取废品率为10%的一箱，
则P(η＝9 000)＝P(B2|A)
＝＝＝0.36，
∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360，
∵8 360＜8 400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买．