2021-2022学年广东省东莞市南开实验校中考联考数学试卷含解析

这是一份2021-2022学年广东省东莞市南开实验校中考联考数学试卷含解析，共24页。试卷主要包含了3的倒数是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图,扇形AOB 中,半径OA＝2，∠AOB＝120°，C 是弧AB的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是 ( )

A． B．
C． D．
2．的相反数是（　　）
A． B．- C． D．-
3．在0，-2，5，，-0.3中，负数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．90°
5．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．x为任意实数
6．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＜﹣1 B．ab＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0
7．3的倒数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF=∠A，则下列结论错误的是（　　）

A．AE=BF B．∠ADE=∠BEF
C．△DEF是等边三角形 D．△BEF是等腰三角形
10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是(　　)

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：※＝，如3※2＝＝.那么8※4＝ ．
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=______．
13．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
14．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）

A．
B．
C．
D．
15．如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为____．

16．如图所示,直线y=x+1(记为l1)与直线y=mx+n(记为l2)相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为__________.

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式．
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
18．（8分）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1(a≠0)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；已知二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．

19．（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；求证：△APE∽△FPA；猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．

20．（8分）先化简，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
21．（8分）抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），抛物线的顶点为．

（1）抛物线的对称轴是直线________；
（2）当时，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线：经过抛物线的顶点，直线与抛物线有两个公共点，它们的横坐标分别记为，，直线与直线的交点的横坐标记为，若当时，总有，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．
22．（10分）如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线l与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，P是圆上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交l于M、N两点．
（1）当∠A＝30°时，MN的长是　 ；
（2）求证：MC•CN是定值；
（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，请写出相应的最值，若不存在，请说明理由；
（4）以MN为直径的一系列圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置，若不是，请说明理由．

23．（12分）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是BC边上一点，将点D绕点A逆时针旋转60°得到点E，连接CE.

(1)当点E在BC边上时,画出图形并求出∠BAD的度数；
(2)当△CDE为等腰三角形时，求∠BAD的度数；
(3)在点D的运动过程中，求CE的最小值.
(参考数值:sin75°=， cos75°=，tan75°=)
24．某校为了解本校九年级男生体育测试中跳绳成绩的情况，随机抽取该校九年级若干名男生，调查他们的跳绳成绩（次/分），按成绩分成，，，，五个等级．将所得数据绘制成如下统计图．根据图中信息，解答下列问题：
该校被抽取的男生跳绳成绩频数分布直方图

（1）本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在________等级；
（2）若该校九年级共有男生400人，估计该校九年级男生跳绳成绩是等级的人数．



参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解析】
试题分析：连接AB、OC，ABOC，所以可将四边形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB，进行求面积，求得四边形面积是，扇形面积是S=πr2= ,所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形面积即.故选A.
2、B
【解析】
∵+（﹣）=0，
∴的相反数是﹣．
故选B．
3、B
【解析】
根据负数的定义判断即可
【详解】
解：根据负数的定义可知，这一组数中，负数有两个，即-2和-0.1．
故选B．
4、D
【解析】
已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D．
5、B
【解析】
分析：利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．
详解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选B．

点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
6、C
【解析】
直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案．
【详解】
选项A，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴﹣1＜a＜0，
故选项A不合题意；
选项B，从数轴上看出，a在原点左侧，b在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
故选项B不合题意；
选项C，从数轴上看出，a在b的左侧，
∴a＜b，
即a﹣b＜0，
故选项C符合题意；
选项D，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴1＜b＜2，
∴|a|＜|b|，
∵a＜0，b＞0，
所以a+b＝|b|﹣|a|＞0，
故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.
7、C
【解析】
根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
8、B
【解析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
9、D
【解析】
连接BD，可得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．
【详解】
连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故A正确；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴C正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故B正确．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故D错误．
故选D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
10、B
【解析】
△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选B．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
根据新定义的运算法则进行计算即可得.
【详解】
∵※＝，
∴8※4=，
故答案为.
12、﹣1
【解析】
试题分析：观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，
解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴x=0和x=2时的函数值相等，
∴x=2时，y=﹣1．
故答案为﹣1．
13、3（a+b）（a﹣b）．
【解析】
（2a+b）2﹣（a+2b）2=4a2+4ab+b2-(a2+4ab+4b2)= 4a2+4ab+b2-a2-4ab-4b2=3a2-3b2=3(a2-b2)=3(a+b)(a-b)
14、B
【解析】
过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】
解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP=PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴三角形PBC的面积=三角形ABC的面积=cm1，
选项中只有B的长方形面积为cm1，
故选B．
15、2
【解析】
解：如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，

∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，
∴设BE=DE=x，则AD=AF=1x．
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，∴，即，解得．
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=1．
又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，解得．
在Rt△ABH中，由勾股定理，得．
∴．
又∵△ADF∽△ABC，∴，
∴
∴．
故答案为：2．
16、x≥1
【解析】
把y=2代入y=x+1，得x=1，
∴点P的坐标为（1，2），
根据图象可以知道当x≥1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，
因而不等式x+1≥mx+n的解集是：x≥1，
故答案为x≥1．
【点睛】
本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【解析】
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝＝﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．
故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，
∴CE＝＝＝5，
当∠QPC＝90°时，
∵cos∠QPC＝，
∴，解得t＝；
当∠PQC＝90°时，
∵cos∠QCP＝，
∴，解得t＝．
∴当t＝或 t＝时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有：
，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+2．
∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+2中，得x＝1+，
∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+ 代入y＝﹣（x﹣1）2+4 中，得y＝4﹣．
∴Q点的纵坐标为4﹣，
∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，
∴S△ACQ ＝S△AFQ +S△CFQ
＝FQ•AG+FQ•DG，
＝FQ（AG+DG），
＝FQ•AD，
＝×2（t﹣），
＝﹣（t﹣2）2+1，
∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【点睛】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．
18、 (1)y1＝a(x+1)2﹣1，顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①；②k的取值范围是≤k≤或k＝﹣1．
【解析】
(1)化成顶点式即可求得；
(2)①把点A(﹣3，1)代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；
②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；
【详解】
(1)y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a(x+1)2﹣1，
∴顶点为(﹣1，﹣1)；
(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)，
∴a(﹣3+1)2﹣1＝1，
∴a＝；
②∵A(﹣3，1)，对称轴为直线x＝﹣1，
∴B(1，1)，
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3，1)时，1＝9k﹣3k，解得k＝，
二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k+k，解得k＝，
∴≤k≤，
当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k(x+)2﹣k，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣1，
综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k≤或k＝﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．
19、 (1)△CPD．理由参见解析；（2）证明参见解析；（3）PC2=PE•PF．理由参见解析.
【解析】
（1）根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；（2）根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【详解】
解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD（SAS）．
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA（两组角相等则两三角形相似）．
（3）猜想：PC2=PE•PF．
理由：∵△APE∽△FPA，
∴即PA2=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC2=PE•PF．

【点睛】
本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质，综合性较强．
20、,当x＝0时，原式＝（或：当x＝－1时，原式＝）.
【解析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】
解：原式=×=．
x满足﹣1≤x≤1且为整数，若使分式有意义，x只能取0，﹣1．
当x=0时，原式=﹣（或：当x=﹣1时，原式=）．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）根据抛物线的函数表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）根据抛物线的对称轴及即可得出点、的坐标，根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；（3）利用配方法求出抛物线顶点的坐标，依照题意画出图形，观察图形可得出，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，结合的取值范围即可得出的取值范围．
【详解】
（1）∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（3）∵，
∴点的坐标为．
∵直线y=n与直线的交点的横坐标记为，且当时，总有，
∴x2 ∵x3>0，
∴直线与轴的交点在下方，
∴．
∵直线：经过抛物线的顶点，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（3）依照题意画出图形，利用数形结合找出．
22、（1）；（2）MC•NC＝5；（3）a+b的最小值为2；（4）以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．
【解析】
(1)由题意得AO＝OB＝2、OC＝3、AC＝5、BC＝1，根据MC＝ACtan∠A＝ 、CN＝可得答案；
(2)证△ACM∽△NCB得，由此即可求得答案；
(3)设MC＝a、NC＝b，由(2)知ab＝5，由P是圆上异于A、B的动点知a＞0，可得b＝(a＞0)，根据反比例函数的性质得a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，据此求解可得；
(4)设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，证△MDC∽△DNC得，即MC•NC＝DC2＝5，即DC＝，据此知以MN为直径的一系列圆经过定点D，此顶点D在直线AB上且CD的长为．
【详解】
(1)如图所示，根据题意知，AO＝OB＝2、OC＝3，

则AC＝OA+OC＝5，BC＝OC﹣OB＝1，
∵AC⊥直线l，
∴∠ACM＝∠ACN＝90°，
∴MC＝ACtan∠A＝5×＝，
∵∠ABP＝∠NBC，
∴∠BNC＝∠A＝30°，
∴CN＝，
则MN＝MC+CN＝+＝，
故答案为：；
(2)∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，
∴△ACM∽△NCB，
∴，
即MC•NC＝AC•BC＝5×1＝5；
(3)设MC＝a、NC＝b，
由(2)知ab＝5，
∵P是圆上异于A、B的动点，
∴a＞0，
∴b＝(a＞0)，
根据反比例函数的性质知，a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，
由a＝b得a＝，解之得a＝(负值舍去)，此时b＝，
此时a+b的最小值为2；
(4)如图，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，
∵MN为直径，
∴∠MDN＝90°，
则∠MDC+∠NDC＝90°，
∵∠DCM＝∠DCN＝90°，
∴∠MDC+∠DMC＝90°，
∴∠NDC＝∠DMC，
则△MDC∽△DNC，
∴，即MC•NC＝DC2，
由(2)知MC•NC＝5，
∴DC2＝5，
∴DC＝，
∴以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．
【点睛】
本题考查的是圆的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用、反比例函数的性质等知识点．
23、（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）CE=．
【解析】
（1）如图1中，当点E在BC上时．只要证明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°；
（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形．②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形；
（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先确定点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），可得EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短）.
【详解】
解：（1）如图1中，当点E在BC上时．

∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°．
（2）①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形，∠BAD=∠BAC=45°．

②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形．
∵AD=AE，
∴AC垂直平分线段DE，
∴∠ACD=∠ACE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴∠EDC=∠CED=45°，
∵∠B=45°，
∴∠EDC=∠B，
∴DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE=60°．

（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．

∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO，
∴△AOE∽△DOE′，
∴AO：OD=EO：OE'，
∴AO：EO=OD：OE'，
∵∠AOD=∠EOE′，
∴△AOD∽△EOE′，
∴∠EE′O=∠ADO=60°，
∴点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），
∴EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短），
设E′N=CN=a，则AN=4-a，
在Rt△ANE′中，tan75°=AN：NE'，
∴2+=，
∴a=2-，
∴CE′=CN=2-．
在Rt△CE′M中，CM=CE′•cos30°=，
∴CE的最小值为．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
24、（1）C;(2)100
【解析】
（1）根据中位数的定义即可作出判断；
（2）先算出样本中C等级的百分比，再用总数乘以400即可.
【详解】
解：（1）由直方图中可知数据总数为40个，第20，21个数据的平均数为本组数据的中位数，第20，21个数据的等级都是C等级，故本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在C等级；
故答案为C.
（2）400 =100（人）
答：估计该校九年级男生跳绳成绩是等级的人数有100人.
【点睛】
本题考查了中位数的求法和用样本数估计总体数据，理解相关知识是解题的关键.