2023届高考一轮复习加练必刷题第6练　函数的概念及表示【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第6练　函数的概念及表示【解析版】，共5页。试卷主要包含了以下四组函数中表示同一函数的是等内容，欢迎下载使用。


考点一 函数的概念
1．下列函数中，不能表示y是x的函数的是( )
答案 A
解析 在B，C，D中，对于任意一个x，均存在唯一的y与x对应，而在A中，存在一个x对应着两个y，不满足函数的定义．
2．(多选)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译作“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.
1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，2，4))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，4，16))，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝2x B．y＝x＋2
C．y＝2|x| D．y＝x2
答案 CD
解析 在A中，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；
在B中，当x＝1时，y＝3∉N，故B错误；
在C中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；
在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．
3．以下四组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
B．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2
C．f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，g(x)＝eq \r(x2－1)
答案 A
解析 对于A，两个函数的定义域都为R，而g(x)＝eq \r(x2)＝|x|，所以这两个函数是同一个函数；
对于B，f(x)＝eq \r(x2)的定义域为R，
而g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(x≥0))))，定义域不相同，
所以这两个函数不是同一个函数；
对于C，f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)的定义域为{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定义域为R，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)＝eq \r(x2－1)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数．
考点二 求函数的解析式
4．已知f(x)是一次函数，f(f(x))＝4x＋3，则f(x)等于( )
A．2x＋1
B．－2x－3
C．4x＋3
D．2x＋1或－2x－3
答案 D
解析 由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3，))
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
5．若函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(x)的解析式为____________________________．
答案 f(x)＝x2－2(x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＋2－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2－2，
∴f(x)＝x2－2(x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))．
6．已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则函数f(x)的解析式为__________．
答案 f(x)＝x2－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≥1))
解析 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋1))＝x＋2eq \r(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋1))2－1，
令t＝eq \r(x)＋1≥1，
∴f(t)＝t2－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥1))，
则f(x)＝x2－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≥1)).
考点三 分段函数
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin \f(πx,6)，x≤0，,，x>0，)) 则f(f(9))等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 ∵f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin \f(πx,6)，x≤0，,，x>0，))
∴f(9)＝＝－2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9))))＝f(－2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
8．已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgax＋a，x>0，,3x＋1－1，x≤0，)) 若f(a)＝3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a))等于( )
A．2 B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(8,9)
答案 C
解析 因为a>0且a≠1，所以f(a)＝lgaa＋a＝3，解得a＝2，
所以f(－a)＝f(－2)＝3－2＋1－1＝eq \f(1,3)－1＝－eq \f(2,3).
9．若min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b，))则函数f(x)＝min{－x2，－2x－3}的最大值为________．
答案 －1
解析 当－x2≥－2x－3时，解得－1≤x≤3，
函数f(x)＝mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－x2，－2x－3))＝－2x－3，
其最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＝－1；
当－x2≤－2x－3时，解得x≤－1或x≥3，
函数f(x)＝mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－x2，－2x－3))＝－x2，
其最大值为f(－1)＝－1.
综上可知，函数f(x)的最大值为－1.
10．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
答案 (4，＋∞)
解析 当a≥0时，f(a)＝eq \f(1,2)a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝eq \f(1,a)>1，无解．
故a>4.
11．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝4，则b等于( )
A．1 B.eq \f(7,8) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝3×eq \f(5,6)－b＝eq \f(5,2)－b，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))＝4，
①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b<1，,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))－b＝4，))无解；
②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b≥1，,＝4，))解得b＝eq \f(1,2).
综上，b＝eq \f(1,2).
12．已知f(x)满足2f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)等于( )
A．－2x－eq \f(1,x) B．－2x＋eq \f(1,x)
C．2x＋eq \f(1,x) D．2x－eq \f(1,x)
答案 D
解析 2f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
令x＝eq \f(1,x)，得2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，②
由①×2－②得3f(x)＝6x－eq \f(3,x)⇒f(x)＝2x－eq \f(1,x).
13．(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则下列说法不正确的有( )
A．|x|＝x|sgn x|
B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x
D．|x|＝xsgn x
答案 ABC
解析 对于选项A，右边＝x|sgn x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≠0，,0，x＝0，))
而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；
对于选项B，右边＝xsgn |x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≠0，,0，x＝0，))
而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；
对于选项C，右边＝|x|sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,0，x＝0，,x，x<0，))
而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；
对于选项D，右边＝xsgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))
而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然正确．
14．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0答案 6
解析 当01，f(a)＝eq \r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴eq \r(a)＝2a，
解得a＝eq \f(1,4)或a＝0(舍去)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6；
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝6.