2023届高考一轮复习加练必刷题第93练　二项分布与超几何分布、正态分布【解析版】

第93练　二项分布与超几何分布、正态分布

考点一　二项分布

1．已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B，则P(ξ＝2)的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　P(ξ＝2)＝C24＝.

2．设随机变量ξ～B(2，p)，若P(ξ≥1)＝，则p的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　∵随机变量ξ～B，

∴P＝2，

∴P＝1－P＝1－2＝，

解得p＝.

3．某群体中的每位成员使用移动支付的概率为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p等于 (　　)

A．0.7  B．0.6  C．0.4  D．0.3

答案　B

解析　∵D(X)＝np，p＝0.4或p＝0.6，

又P＝Cp4(1－p)6<P(X＝6)

＝Cp6(1－p)4，

则p46<p64，

即(1－p)2<p2.

由于0<p<1，故p>1－p，则p＝0.6.

考点二　超几何分布

4．设袋中装有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　从100个球中任取10个球，有C种取法，从80个红球中取6个红球共有C种取法，从20个白球中取4个白球共有C种取法，所以其中恰有6个红球的概率为.

5．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　取出的4只球中红球的个数可能为4,3,2,1，黑球相应的个数为0,1,2,3.其分值为4,6,8,10.

P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝.

6．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P＝＝，当1个正品3个次品时，P＝＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.

考点三　正态分布

7．某厂生产的零件外直径X～N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为(　　)

A．上午生产情况正常，下午生产情况异常

B．上午生产情况异常，下午生产情况正常

C．上、下午生产情况均正常

D．上、下午生产情况均异常

答案　A

解析　10－3×0.2≤X≤10＋3×0.2，即9.4≤X≤10.6，在[9.4,10.6]内的为大概率事件，之外的为小概率事件，故认为上午正常，下午异常．

8．(多选)关于正态曲线特点的叙述，正确的是(　　)

A．曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方

B．曲线对应的正态密度函数是偶函数

C．曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低

D．曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大曲线越“矮胖”．反之，曲线越“瘦高”

答案　ACD

解析　根据正态曲线的性质，当x∈时， 正态曲线全在x轴上方，只有当μ＝0时，正态曲线才关于y轴对称，所以B不正确．

9．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为(　　)

A．0.16  B．0.24  C．0.32  D．0.48

答案　C

解析　∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，

∴正态曲线的对称轴是直线ξ＝100.

∵ξ在(80,120)内的概率为0.6，

∴ξ在(80,100)内的概率为0.3，

∴ξ在(0,80)内的概率为0.5－0.3＝0.2.

故任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率P＝C×0.2×(1－0.2)＝0.32.

10．随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年10月11日至24日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容．昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(单位：厘米)作为样本，通过数据分析得到D～N(12.5,4.52)．若将D≥21.5的植株建档重点监测，据此估算

10 000株滇山茶建档的约有________株．

参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5.

答案　228

解析　因为D～N(12.5,4.52)，所以μ＝12.5，σ＝4.5，因为P(3.5≤D≤21.5)＝P(12.5－2×4.5≤D≤12.5＋2×4.5)＝0.954 5，所以P(D≥21.5)＝＝＝

0. 022 75，则10 000×0.022 75＝227.5≈228，所以10 000株滇山茶建档的约有228株．

11．一袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)

A．C102   B．C102

C．C92   D．C102

答案　D

解析　由题意得，取到红球的概率P＝，停止时共取了12次球，其中前11次红球出现9次，第12次为红球，

所以P＝C92×＝C·102.

12．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个．从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则下列算式中等于的是(　　)

A．P(0<ξ≤2)   B．P(ξ≤1)

C．P(ξ＝2)   D．P(ξ＝1)

答案　B

解析　随机变量ξ的分布列为

而P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)．

13．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．已知随机变量X服从B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝

B．已知P(BA)＝0.34，P(B)＝0.71，则P(B)＝0.37

C．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1≤ξ≤0)＝－p

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，若X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大

答案　BCD

解析　对于选项A，由随机变量X服从二项分布B(n，p)，E(X)＝30，D(X)＝20，

可得np＝30，np(1－p)＝20，则p＝，A错误；

对于选项B，因为A＋为必然事件，

所以B＝B(A＋)＝BA＋B，

而BA与B互斥，

所以P(B)＝P(BA)＋P(B)，

则P(B)＝P(B)－P(BA)＝0.71－0.34＝0.37，B正确；

对于选项C，由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得其正态曲线关于y轴对称，若P(ξ>1)＝p，

则P(0≤ξ≤1)＝－p，

则P(－1≤ξ≤0)＝P(0≤ξ≤1)＝－p，C正确；

对于选项D，因为在10次射击中，击中目标的次数为X，且X～B(10,0.8)，

所以当X＝k(k≤10，k∈N)时，对应的概率P(X＝k)＝C·0.8k·0.210－k，

所以当k≥1时，

＝＝，

由＝≥1得1≤k≤，

所以1≤k≤8且k∈N，

又P(X＝0)<P(X＝1)，

故当k＝8时，概率P(X＝8)最大，D正确．

14．(多选)(2022·威海模拟)4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9,4)，则(　　)

(附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)

A．该校学生每周平均阅读时间为9小时

B．该校学生每周阅读时间的标准差为4

C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%

D．若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为214

答案　AD

解析　由某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9,4)，可知该校学生每周平均阅读时间为9小时，故A正确；

该校学生每周阅读时间的方差为4，故B错误；

该校学生每周阅读时间不超过3小时的概率

P(X≤3)＝P(X≤μ－3σ)

＝[1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)]≈(1－0.997 3)

＝0.001 35＝0.135%，故C错误；

每周阅读时间在3～5小时的概率为P(μ－3σ≤X≤μ－2σ)＝[P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈(0.997 3－0.954 5)＝0.021 4，

若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为214，故D正确．