2021-2022学年江西省抚州市崇仁县九年级（下）第二次练习数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省抚州市崇仁县九年级（下）第二次练习数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图所示的几何体，该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.
 

4. 某校七年级开展“阳光体育”活动，对爱好排球、足球、篮球、羽毛球的学生人数进行统计，得到如图所示的扇形统计图．爱好排球的人数是人，爱好足球的人数是爱好羽毛球的人数的倍，则下列正确的是

A. 喜欢篮球的人数为人
B. 喜欢足球的人数为人
C. 喜欢羽毛球的人数为人
D. 被调查的学生人数为人
 

5. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.
B.
C.
D.
 

6. 现有一张纸片，，，有甲、乙两种剪拼方案，如图，所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则

A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以
C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 在函数中，自变量的取值范围是______ ．
8. 江西省推行“智慧作业”落实“双减”，“减负”“增效”效果明显．截止年月，“智慧作业”使用学校达所、使用的师生数达万人，有效加强了优质作业资源共建共享，提高了作业完成质量．数据万用科学记数法表示为______．
9. 公元世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，其中取正整数，且取尽可能大的正整数，例如可将化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时则 ______ ．
10. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，，则的周长为______．
    
     

11. 已知、是一元二次方程的两根，则 ______ ．
12. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，将沿翻折，使落在处，若有两条边存在倍的数关系，则到的距离为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）

13. 计算：；
    因式分解：．
    
    
    
    
    
    
     
14. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
    
    
    
    
    
    
    
     
15. 今年我县为创评“全国文明城市”称号，周末团委组织志愿者进行宣传活动班主任梁老师决定从名女班干部小悦、小惠、小艳和小倩中通过抽签方式确定名女生去参加抽签规则：将名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
    该班男生“小刚被抽中”是______ 事件填“不可能”“必然”“随机”；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为______ ．
    试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
16. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
    在图中，作出的重心．
    在图中，在的边上找一点，连接，使的面积为面积的．

17. 月日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张元，学生票按成人票五折优惠．他们一共人，门票共需元．
    小明他们一共去了几个成人，几个学生？
    如果团体票人或人以上按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在等腰三角形中，，点是平面直角坐标系原点，点在反比例函数的图象上，已知，．
    求反比例函数的解析式；
    过点作垂直，交反比例函数的图象于点，交轴于点．
    求直线的解析式；
    求点的坐标．

19. 某学校七年级、八年级各有名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从七年级、八年级各随机抽取名学生进行垃圾分类知识测试，满分分，成绩整理分析过程如下，请补充完整
    收集数据：七年级名学生测试成绩统计如下：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    整理数据：七年级名学生测试成绩频数分布直方图每组数据包括左端值不包括右端值，如最左边第一组的成绩范围为：
    
    八年级名学生测试成绩频数分布表：

分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数方差如表所示：

补全七年级名学生测试成绩频数分布直方图．
请直接写出，的值．
请根据抽样调查数据，估计全校七年级垃圾分类知识测试成绩在分及以上的大约有多少人．
通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由两条即可．






 

20. 某中学创客拓展小组研制的智能操作机器人．如图水平操作台为底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为，点、是转动点，且、与始终在同一平面内．
    转动连杆，手臂，使，，如图，求手臂端点离操作台的高度的长精确到，参考数据：，．
    物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由．

21. 如图，在平行四边形中，点，，三个点都在上，与交于点，连接并延长交边于点，点恰好是的中点．
    求证：是的切线；
    若，；
    求的长；
    求阴影部分的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，二次函数的图象过点，，，记为将沿直线翻折得到“部分抛物线”，点，的对应点分别为点，．
    求，，的值；
    在平面直角坐标系中描出点，，并画出“部分抛物线”；
    求“部分抛物线”的解析式；
    某同学把和“部分抛物线”看作一个整体，记为图形“”，若直线和图形“”只有两个交点，点在点的左侧．
    直接写出的取值范围；
    若为等腰直角三角形，求的值．

23. 定义：如果三角形上有两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”，如图，在中，是的中点，点在上，若，则为的一条“等分周线”．
    概念理解
    任意三角的“等分周线”有______ 条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是______ ；
    规律探究
    如图，在中，是的中点，点在上，为的一条“等分周线”设，．
    若，求的长用含，的代数式表示；
    若，请问：的长度是否发生改变，并说明理由．
    拓展应用
    如图，在四边形中，，平分，，点在线段上，连接，，，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据相反数的定义有：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】

【解析】

解：、结果是，故本选项不符合题意；
B、结果是，故本选项不符合题意；
C、结果是，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、单项式乘以单项式、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再进行判断即可．
本题考查了合并同类项法则、单项式乘以单项式、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定即可．
此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
 

4.【答案】

【解析】

解：被调查的学生人数为：人；
喜欢篮球的人数为：人；
人，
喜欢足球的人数为：人；
喜欢羽毛球的人数为：人；
故选：．
先用爱好排球的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以即得喜欢篮球的人数；用总人数减去爱好排球的人数减去喜欢篮球的人数即得喜欢足球和喜欢羽毛球的人数总和，乘以各自百分比即得各自人数．
本题考查了扇形统计图及相关计算，理解扇形统计图的意义及制作步骤是解决本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】
解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的正半轴相交，
，
的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数图象在第一、三象限，
只有选项图象符合．
故选：．  

6.【答案】

【解析】

解：如图，将移至处，移至处，四边形移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；

如图，将，，分别移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；

甲、乙方案都可以，
故选：．
如图，将移至处，移至处，四边形移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；如图，将，，分别移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形．
本题考查了图形的剪拼以及正方形的性质，解答本题的关键是根据题意作出图形．
 

7.【答案】

【解析】

解：函数有意义，得
，
解得，
故答案为：．
根据分母不为零，函数有意义，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，分母不为零是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

9.【答案】

【解析】

解：根据题意得，
，
故答案为：．
先把化成，再根据近似公式得出，，然后进行计算即可得出答案．
本题考查了分式的加减以及对无理数的估算，熟练掌握近似公式公式是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
即，，
的周长为．
的周长为．
故答案为：．
由的垂直平分线交于，交于，根据垂直平分线的性质得到两组线段相等，进行线段的等量代换后结合其它已知可得答案．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：一元二次方程两根为，，
，，，



．
故答案为．
先利用根与系数的关系及根的定义得到，，，再对要求的代数式变形，把数值代入求解即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

12.【答案】

或或
 

【解析】

解：当时，作于，如图：

矩形，，
，，
中，，，，
，
，
，，
，，
沿翻折，使落在处，
，，
，
中，；
当时，作于，延长交于，如图：

中，，，，
，，
沿翻折，使落在处，
，，，
，
且，
∽，
，
，
，
，
设，，则，，
，矩形，
四边形是矩形，
，，

解得，
，
当时，作于，如图：

中，，，，
，，
，
，，
，
沿翻折，使落在处，
，，
，
中，，
综上所述，有两条边存在倍关系，则到的距离为或或．
故答案为：或或．
分三种情况：当时，作于，求出，，中可解得，当时，作于，延长交于，由∽，得，设，，则，，根据四边形是矩形，，，可得，即可解得，当时，作于，可得，中，解得即可．
本题考查矩形性质及应用，涉及翻折、相似三角形判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是分类画出图形，综合应用相关知识解决问题．
 

13.【答案】

解：原式

；

原式
．
 

【解析】

直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及提取公因式法、公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】

解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】

不可能 
 

【解析】

解：该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为．
故答案为：不可能；；

记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为、、、，列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中小惠被抽中的有种结果，
所以小惠被抽中的概率为．
根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】

解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；

 

【解析】

根据三角形重心的定义作出图形即可；
取格点，，连接交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图一样与设计作图，三角形的重心，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握三角形重心的定义，学会利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】

解：设成人有人，学生有人，
由题意得：，
解得：，
答：小明他们一共去了个成人，个学生；
如果按团体票购买，按人计算，共需费用：
元，
，
购买团体票更省钱．
 

【解析】

设成人有人，学生有人，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
求出按团体票所需花费和中优惠比较，从而得出更省钱的方案．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组．
 

18.【答案】

解：作于，
，，．
，
，
，
把代入，可得，
反比例函数的解析式为；
，
是直角三角形，
，
，即，
，
，
，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入得，，
解得，
直线的解析式为；
解得或，
点的坐标为
 

【解析】

利用等腰三角形的性质求出点的坐标即可解决问题．
利用射影定理求得，即可求得的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理等知识，解题的关键是求得的坐标．
 

19.【答案】

解：人，
补全频数分布直方图如下：

七年级名学生的测试成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即，
七年级名学生的测试成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是，即，
答：，；
人，
答：全校七年级垃圾分类知识测试成绩在分及以上的大约有人；
八年级成绩较好，理由为：八年级学生测试成绩的平均数、中位数均比七年级的高，而八年级的方差较小．
 

【解析】

求出七年级分的人数即可补全频数分布直方图；
根据中位数、众数的求解即可；
求出七年级成绩优秀的人数所占的百分比即可；
根据中位数、众数、平均数的比较得出答案．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确判断的关键．
 

20.【答案】

解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
手臂端点离操作台的高度的长为；
能，
理由：当、、共线时，手臂端点能碰到最远的距离，如图：

在中，，，
，
，
，
手臂端点能碰到点．
 

【解析】

过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数求出，然后进行计算即可解答；
当、、共线时，手臂端点能碰到最远的距离，画出图形，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行比较即可判断．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】

证明：点是的中点，
根据垂径定理得，
四边形是平行四边形，
，
，
是的半径，
是的切线；
如图，连接，

，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
；
如图，连接，，，

四边形是平行四边形，，
，
由可知，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
．
阴影部分的面积为．
 

【解析】

根据垂径定理可得，再结合平行四边形的性质推出，即可得证；
由平行四边形的性质及垂径定理可推出，，然后在中分别求出，，从而得出结论；
连接，，，然后根据求解即可．
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形面积、解直角三角形、平行四边形的性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质、扇形面积、解直角三角形、平行四边形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】

解：把，，代入，
得，
解得，
、、的值分别为、、．
由得，
由题意可知，点、与点、关于直线对称，
，，
描出点，，画出“部分抛物线”如图所示．
由得，的解析式为，
，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
将抛物线沿直线翻折得到的抛物线的顶点坐标为，
翻折后的抛物线为，即，
与关于直线对称，
“部分抛物线”的解析式为．
由得，
与的公共点为，
如图，当直线在点上方，由直线与图形只有两个交点、，
；
如图，当直线在点下方，
直线经过、的顶点、，
此时直线与图形只有两个交点、，
，
综上所述，或．
如图，，为等腰直角三角形，
设交轴于点，，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
；
如图，，
，，
，
此时不是等腰直角三角形，
综上所述，的值是．
 

【解析】

把，，代入，列方程组并且解该方程组求出、、的值即可；
先根据点、与点、关于直线对称，求出点、的坐标，再描出点，，并画出“部分抛物线”；
由得原抛物线的解析式为，将其配成顶点式，则翻折后得到的抛物线的顶点为，再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”的解析式为；
先求出与的公共点为，再结合图象，确定的取值范围是或；
按和两种情况分类讨论，当时，先求出直线的解析式，再将其与的解析式组成方程组，求出点的纵坐标即为的值；当时，则不是等腰直角三角形．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、定义新函数问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
 

23.【答案】

  等腰三角形
 

【解析】

解：由题意得，任意三角形的“等分周线”有条，
若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点，则另一点为一边的中点，将这个三角形分成周长相等的两部分，
这个三角形是等腰三角形，
故答案为：，等腰三角形；
由得，，点与点重合，如图：

，是的中点，
，，
，
；
的长度不发生改变，
理由：延长到，使，连接，过点作于点，

为等腰三角形，
，，，
，
，
，
为的等分周线，
，
为的中点，
，
．
为的中点，
，
在中，，
，
；
取线段中点的点，连接，

，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
点为的中点
，
，
为的一条等分周线，
由知，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
．
根据“等分周线”的定义即可求解；
根据等腰三角形的性质可得，，在中，解直角三角形即可得；
延长到，使，连接，过点作于点，则为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，，，根据“等分周线”的定义可得为的中点，由三角形中位线定理得，解直角三角形求出，即可得出结果；
取线段中点的点，连接，解直角三角形求出，，可得，即为的一条等分周线，由的结论可求出，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得出．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，教育的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．