2022湖北省高三下学期4月调研模拟考试（二模）数学含答案

第七届湖北省高三（4月）调研模拟考试

数学试卷2022.4

本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定住置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设，则（）

A.  B.

C.  D.

【1题答案】

【答案】B

2. 若复数z的满足(是虚数单位)，则复数z的实部是（）

A. 1 B. 2 C. i D.

【2题答案】

【答案】A

3. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是（）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】D

4. 已知平行四边形中，，则（）

A. 9 B.  C. 18 D.

【4题答案】

【答案】D

5. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（）

A160 B.  C. 60 D.

【5题答案】

【答案】B

6. 在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（）

A.  B. 1 C.  D. 2

【6题答案】

【答案】C

7. 已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）

A.  B.  C.  D. 3

【7题答案】

【答案】C

8. 已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（）

A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差

B. 若甲，乙两组数据平均数分别为，则

C. 若甲，乙两组数据的方差分别为，则

D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数

【9题答案】

【答案】BD

10. 定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）

A.  B.

C. 若，则 D.

【10题答案】

【答案】BD

11. 设动直线交圆于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）

A. 直线l过定点

B. 当取得最小值时，

C. 当最小时，其余弦值为

D. 的最大值为24

【11题答案】

【答案】AD

12. 在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，，则（）

A. 当时，三棱锥的体积为定值

B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是

C. 若直线与平面所成角的正弦值为，则

D. 存在唯一的实数对，使得平面

【12题答案】

【答案】ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若随机变量，且，则等于_________．

【13题答案】

【答案】##

14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．

【14题答案】

【答案】64

15. 设抛物线的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设与相交于点D．若，且的面积为，则直线的斜率________，抛物线的方程为________．

【15题答案】

【答案】    ①.     ②.

16. 已知函数，若，则的最大值为_________．

【16题答案】

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在平面四边形中，．

（1）若，求；

（2）若，求四边形的面积．

【17题答案】

【答案】（1）

（2）

19. 已知正项等差数列满足：，且成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．

【19题答案】

【答案】（1）

（2）最小值为

21. 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为．

（1）求该款芯片生产在进人第四道工序前的次品率；

（2）如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．

【21题答案】

【答案】（1）

（2）

23. 如图在斜三棱柱中，，侧面底面，点M，N分别为的中点，点D为线段上一点，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

【23题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

25. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．

①求证：直线恒过x轴上一定点；

②设和的面积分别为，求的最大值．

【25题答案】

【答案】（1）

（2）①证明见解析；②2

27. 已知函数．

（1）若不等式恒成立，求正实数a的值；

（2）证明：．

【27题答案】

【答案】（1）1 （2）证明见解析

【分析】(1) 令，根据的范围，求导得到，故只需讨论的正负性，即可判断的单调性

(2)由（1）得，要证要证明，只需证

，即证，

再利用放缩，证明出，进而把要证明的问题转化为证明

成立，最后再经过放缩，把问题转化为证明成立，最后，通过导数的方法，证明以上等式成立.

【小问1详解】

令，

则，

设，则对任意恒成立，

所以在上单调递增，

又，存在唯一实数，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以．

因为，所以，且．

所以，设，

因为，所以在上单调递增，上单调递减

所以，而依题意必有，所以，此时，

所以若不等式恒成立，则正实数的值为1．

【小问2详解】

方法一：借助第（1）问结论

由（1）得，当时，对任意恒成立．

所以，（当且仅当时等号成立），

则．

所以要证明，只需证，

即证．

设，则在上单调递增，上单调递减．

所以，即．

所以只需证，即证．

①当时，，不等式成立．

②当时，，不等式成立．

所以，证毕，

方法二：分别放缩

设，则恒成立，在上单调递增，

，所以．

设，则在上单调递增，上单调递增，

，所以，所以，即．

所以当时，

又因为，

所以