2021届天津市和平区高三三模数学试卷及答案解析

天津市和平区2021届新高考数学三模考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B． C．7 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．

【详解】

因为，所以，所以，

所以，

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．

2．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由不等式的性质及换底公式即可得解.

【详解】

解：因为，，则，且，

所以，，

又,

即,则，

即，

故选：D.

【点睛】

本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.

3．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（    ）

A．2 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.

【详解】

由于，所以，即

，

解得.

所以

所以

.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.

4．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（    ）

A．170 B．10 C．172 D．12

【答案】D

【解析】

【分析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.

【详解】

由茎叶图知，甲的中位数为，故；

乙的平均数为，

解得，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.

5．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.

【详解】

∵直线是曲线的一条对称轴.

，又.

.

∴平移后曲线为.

曲线的一个对称中心为.

.

，注意到

故的最小值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.

6．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.

【详解】

画出所表示的区域，易知，

所以的面积为，

满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，

由几何概型的公式可得其概率为，

故选A项.

【点睛】

本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.

7．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得

【详解】

，故.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.

8．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.

【详解】

的图象向右平移个单位长度，

所得图象对应的函数解析式为，

故.

令，，解得，.

因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，

令，，故，，

因为，故，当时，.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．

9．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为   

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，

求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．

【详解】

解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，

，

当时，，

当时，，

，

综上：．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．

10．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（   ）尺.   

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，已知，， 

∴，解得 ，

∴，解得 .

∴折断后的竹干高为4.55尺

故选B.

11．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．

【详解】

直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），

代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，

∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，

∴A（p，），设双曲线方程为：1，

丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，

2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，

2c＝p，

∴离心率e1，

故选：D．

【点睛】

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．

12．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（    ）

A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，

画出可行域如图所示，

显然当经过时，最大.

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．

14．函数的定义域是____________．（写成区间的形式）

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

要使函数有意义，需满足，即，解得，故函数的定义域是．

15．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为cm，中间两个和尚的身高之和为cm，则最高的和尚的身高是____________ cm．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

依题意设前三个和尚的身高依次为，第四个(最高)和尚的身高为，则，解得，又，解得，又因为成等比数列,则公比，故.

16．已知是抛物线上一点，是圆关于直线对称的曲线上任意一点，则的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.

【详解】

假设圆心关于直线对称的点为，

则有，解方程组可得，

所以曲线的方程为，圆心为，

设，则，

又，所以，

，即，所以，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）令可求得的值，令时，由可得出，两式相减可得的表达式，然后对是否满足在时的表达式进行检验，由此可得出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果.

【详解】

（1），

当时，；

当时，由得，

两式相减得，.

满足.

因此，数列的通项公式为；

（2）.

①当为奇数时，；

②当为偶数时，.

综上所述，.

【点睛】

本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.

18．2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；

（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．

【答案】（1）分布列见解析,

（1）

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.

（1）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．

【详解】

（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，

年龄在的人数为人，

年龄在内的人数为人．

年龄在内的人数为人．

所以的可能取值为0，1，1．

所以，

，

，

所以的分市列为

．

（1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，

所以，

所以．

设，

若，则，；

若，则，．

所以当时，最大，即当最大时，．

【点睛】

本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.

19．已知函数.

（1）当a=2时，求不等式的解集；

（2）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）当时；（2）由

等价于

，解之得.

试题解析： （1）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为.

（2）当时，，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

考点：不等式选讲.

20．诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；

（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；

（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；

（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为，利用列举法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；

（Ⅲ）结合表中的数据判断即可.

【详解】

（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数

.

（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为，总的基本事件为共15种，

事件所包含的基本事件为共10种，

由古典概型概率计算公式可得，.

（Ⅲ）两次活动效果均好.

理由：活动举办后，“水站诚信度'由和看出，后继一周都有提升.

【点睛】

本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典概型概率的关键；属于中档题、常考题型.

21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由（为参数）直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合，可得曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）把代入，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．

【详解】

解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．

∵，∴，即．

∴曲线的直角坐标方程为；

（Ⅱ ）把代入，得．

设，两点对应的参数分别为，

则，．

不妨设，，

∴．

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．

22．如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分.

（1）求的值；

（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分，所以，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得；（2）设，，，由三点共线得，再次代入点的坐标并化简得，同理由三点共线，可得，化简得，故.

试题解析：

（1）由，整理得，

设，，则，

因为直线平分，∴，

所以，即，

所以，得，满足，所以.

（2）由（1）知抛物线方程为，且，，，

设，，，由三点共线得，

所以，即，

整理得：，①

由三点共线，可得，②

②式两边同乘得：，

即：，③

由①得：，代入③得：，

即：，所以.

所以.

考点：直线与圆锥曲线的位置关系.

【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立，相当于得到的坐标，但是设而不求.根据直线平分，有，这样我们根据斜率的计算公式，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线来求解.

23．从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）①求证：四边形是平行四边形.

②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②能，.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的定义，求出，即可求抛物线C的方程；

（2）①设，，写出切线的方程，解方程组求出点的坐标. 设点，直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理得到点的坐标，写出点的坐标，，可得线段相互平分，即证四边形是平行四边形；②若四边形为矩形，则，求出，即得点Q的坐标.

【详解】

（1）因为，所以，即抛物线C的方程是.

（2）①证明：由得，.设，，

则直线PA的方程为（ⅰ），

则直线PB的方程为（ⅱ），

由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.

设点，则直线AB的方程为.

由得，则，，

所以，所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分.

在①中，令解得，所以，同理得，所以线段CD的中点坐标为，即，又因为直线PQ的方程为，所以线段CD的中点在直线PQ上，即线段CD被线段PQ平分.

因此，四边形是平行四边形.

②由①知，四边形是平行四边形.

若四边形是矩形，则，即

，

解得，故当点Q为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形.

【点睛】

本题考查抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，属于难题.