专题28 圆锥曲线的综合问题（教师版含解析）

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专题26  圆锥曲线的综合问题1.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】(1)；(2)最大值为.【分析】(1)抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；(2)设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.2．(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．(1)求；(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；(2)抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.3．(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．(1)求C，的方程；(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)抛物线，方程为；(2)相切，理由见解析【分析】(1)依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；(2)设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.4．(2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.【答案】(1)；(2).【分析】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为；(2)设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，，所以，，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.5.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由离心率公式可得，进而可得，即可得解；(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.【详解】(1)由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；(2)由(1)得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 6.(2021年天津卷试题)已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；(2)设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.【详解】(1)易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：(1)设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；(2)椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.7.(2021年浙江卷数学试题)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)求出的值后可求抛物线的方程.(2)设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.【详解】(1)因为，故，故抛物线的方程为：.(2)设，，，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.8.(2021年北京卷数学试题)已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.(2)设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.【详解】(1)因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：.(2)设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或.