2022甘肃省高三下学期第二次高考诊断考试数学（理）含答案

2022年甘肃省第二次高考诊断考试

理科数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数（为虚数单位）的虚部为（）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】D

2. 已知集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

3. 双曲线的离心率为（）

A.  B.  C. 或 D.

【3题答案】

【答案】B

4. 2021年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.各地积极推进“双减”工作，义务教育阶段学生负担得到有效减轻.下表是某校七年级10名学生“双减”前后课外自主活动时间的随机调查情况（单位：小时）.

设“双减”前､后这两组数据的平均数分别是，，标准差分别是，，则下列关系正确的是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【4题答案】

【答案】A

5. 正项等比数列满足，，则的前7项和()

A. 256 B. 254 C. 252 D. 126

【5题答案】

【答案】B

6. 甘肃省目前有6处5A级景区，分别是平凉崆峒山､敦煌鸣沙山月牙泉､天水麦积山､嘉峪关长城､临夏炳灵寺和张掖七彩丹霞，为了让学生更多的了解我省深厚的历史文化，兰州市的3所中学计划在2022年暑期组织学生到以上6个景区中的任一景区去游学，那么他们所选景区各不相同的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

7. 已知命题p：若，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的充要条件；命题q：“若a，，则，使成立”的否定为“若a，.则，都有成立”.则下列命题中为真命题的是（）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

8. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

9. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】A

10. 定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，则下列结论不正确的是（）

A. 是偶函数 B. 若，则

C.  D.

【10题答案】

【答案】D

11. 实数a，，且满足，则a，b，的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】C

12. 经过抛物线的焦点F且斜率为的直线l与抛物线C交于不同的两点A.B，抛物线C在点A，B处的切线分别为，若和相交于点P，则（）

A.  B.  C.  D. 4

【12题答案】

【答案】A

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知单位向量的夹角为60°，，若，则实数___________.

【13题答案】

【答案】##-0.2

14. 函数其中常数，且，若，则实数___________.

【14题答案】

【答案】

15. 数列满足，且，则___________.

【15题答案】

【答案】

16. 正方体中，点为线段上的动点.

①当为的中点时，面积最小；

②无论在线段的什么位置，均满足；

③在线段上存在一点，使得；

④三枝锥的体积为定值.

以上正确结论的序号为___________.

【16题答案】

【答案】①②④

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.

（1）求边AC的长；

（2）求四边形ABCD周长的最大值.

【17题答案】

【答案】（1）

（2）10

19. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年－2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2015年用1表示，2016年用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答：

（1）根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确到小数点后2位)；

（2）若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2022年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元).

附：线性回归方程，其中；

相关系数；

参考数据：.

【19题答案】

【答案】（1），正相关很强.

（2），2677亿元.

21. 在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点.

（1）当时，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：；

（2）当时，求二面角的余弦值.

【21题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）

23. 已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭国经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.

【23题答案】

【答案】（1）

（2）证明见解析

25. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数，证明：当时，.

【25题答案】

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

27. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于A，B两点，求的值.

【27题答案】

【答案】（1），

（2）

29. 已知a，b是正实数，设.求证：

（1）；

（2）.

【29题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析