华中师范大学第一附属中学高一下学期数学期中复习压轴题专题

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华中师大一附中2021-2022学年度高一第二学期期中检测期中复习压轴题精选题组一、单选题1．已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为A． B． C． D．2．在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（       ）A．的外接圆面积是；B．；C．可能等于14；D．作关于的对称点，则的最大值是.3．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．4．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（       ）A． B．平面C．平面 D．与是异面直线5．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③的余弦值的取值范围为；       ④周长的最小值为．其中正确结论的为（       ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④二、多选题6．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（       ）A．为的外心B．C．D．7．下列结论正确的是（       ）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．在中，若，则是直角三角形D．在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为8．下列说法正确的是（       ）A．若非零向量，且，则为等边三角形B．已知，且四边形为平行四边形，则C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D．已知向量，则与夹角的范围是9．已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有（       ）A．与和都平行的有且只有一个B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个D．过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等10．如图，已知在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的有（       ）.A．当运动到中点时，直线与平面所成角的正切值为B．当在直线上运动时，三棱锥的体积会随着点的运动而变化C．当点在直线上运动到某一点时，直线与平面所成角为D．当在直线上运动时，的面积存在最小值三、填空题11．在中，，，，，则______；设，且，则的值为______.12．如下图，中，为重心，P为线段上一点，则的最大值为______，分别是边的中点，则的取值范围是______.13．已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________．16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则_________．17．在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.18．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为________．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，､分别是侧棱､上的动点，，点在棱上，且，若平面，则___________.四、解答题20．如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)求证：；(2)设，，，，求的值；(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.21．已知是线段外一点，若，．（1）设点是的重心，证明：；（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．22．已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．（1）若，的坐标为，求；（2）若，，求的最大值；（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．23．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.(1)若，，为边的中点，求中线的长度；(2)若为边上一点，且，，求的最小值.24．已知分别为三个内角的对边，.（1）若是上的点，且平分角，，，求；（2）若，，求的面积.25．（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设 ；（i）用分别表示和，并求出的取值范围；（ii）若地到直线的距离为，求的最大值．26．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.27．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①；②在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？28．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．29．如图，在直三棱柱中，．（1）求证：；（2）若与的所成角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．30．四面体中，（1）．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？(参考公式：三元均值不等式，当且仅当时取得等号)