2022年广东省佛山市南海区里水镇中考数学一模试卷（含答案）

广东省佛山市南海区里水镇2021-2022学年中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 一组数据，，，，，的中位数是

A.  B.  C.  D.

4. 据专家预测，到年冬残奥会结束时，冬奥会场馆预计共消耗绿电亿度，预计可减少标煤燃烧万吨，减排二氧化碳万吨，将“万”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 如果正多边形的一个内角等于，那么这个正多边形的边数是 

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在等腰中，，，是的角平分线，则的度数等于

A.   B.    C.    D.

8. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知四边形是矩形，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接若，，则：的值为

A.    B.    C.    D.

10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间不含两端点则下列结论：
    ；
    ；
    ；；
    一元二次方程没有实数根．
    其中正确结论的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 不等式组的解集是______．
12. 分解因式______．
13. 已知，则______．
14. 将半径为的半圆形铁皮围成一个圆锥形烟囱帽，则该圆锥的底面圆的半径为______
15. 若关于的方程无解，则______．
16. 如图，四边形是边长为的正方形，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是______．
    
    
     

17. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形，使得点、、、均在直线上，点、、、在轴正半轴上，则点的横坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共69分）

18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
     
19. 如图，中，．
    请用尺规作图法，作边上的中线要求：保留画图痕迹，不写作法；
    在所作的图形中，若，求的长．
    
    
     

20. 为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策．为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：
    A.非常了解；比较了解；基本了解；不了解．
    根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：
    若该校有学生人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为多少？
    根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有个红球和个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

21. 已知：如图，内接于圆，且过圆心，是弧上的一点，，垂足为，连接、，与交于点．
    求证：．
    若，，求的长．
     

22. 面对世界百年未有之大变局和中华民族伟大复兴战略全局，党中央提出构建“国内国际双循环”新发展格局具有重大战略．某物流公司承接、两种出口货物的运输业务，已知月份货物运费单价为元吨，货物运费单价为元吨，共收取运费元；月份由于油价下调，运费单价下降为：货物元吨，货物元吨；该物流公司月承接的两种货物的数量与月份相同，月份共收取运费元．
    该物流公司月份运输两种货物各多少吨？
    该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且货物的数量不大于货物的倍，在运费单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到多少运费？
    
    
    
    
    
    
     
23. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图在四边形中，，，．
    求的度数；
    判断四边形是否“勾股四边形”，并说明理由．
    若，直接写出对角线长度的最大值．

24. 抛物线交轴于、两点，交轴于点，其顶点为，且经过点、的直线解析式为．
    求抛物线的解析式．
    点为抛物线对称轴上一点，点为抛物线上一点，且以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
    直线与抛物线交于点、，若的面积等于，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义写出即可．
考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单．
 

2.【答案】
 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，不故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，不故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：这组数据从小到大排列为：、、、、、，
所以这组数据的中位数是，
故选：．
根据中位数的定义求解即可，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

4.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为，此题难度不大．根据正多边形的一个内角是，则该正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角之和为，即可求出正多边形的边数．

【解答】
解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
该正多边形的边数是．
故选D．

6.【答案】
 

【解析】解：，，
．
故选：．
把已知的第一个等式左边利用平方差公式化简，将的值代入即可求出的值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，，
，
又为的平分线，
，
．
故的度数为．
故选：．
由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设另一根为，
由根与系数的关系得：，
解得：．
故选：．
利用根与系数的关系求出两根之和，把代入求出另一根即可．
此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：设与相交于，如图：

矩形沿直线折叠，点落在点处，
，，
矩形的对边，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，，
，，
，即，
，
又，
∽，
，
故选：．
设与相交于，根据矩形沿直线折叠，点落在点处，得，，又矩形的对边，可得，，设，在中，有，可解得，，证明∽，即可得．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：图象开口向下，
，
取，得，
又对称轴为，
，
，
正确，
抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
图象与轴的一个交点在，之间，
图象与轴另一交点在，之间，
时，，
即，
故错误．
抛物线对称轴为直线，
，
，
时，，
当时，，
故错误．
抛物线顶点坐标为．
的最大函数值为，
没有实数根
故正确，符合题意．
故选：．
根据图象得出，，的符号，即可判断，根据二次函数的对称性可知，函数与轴的另一个交点在和之间，由此即可判断，由再根据和即可判断，由函数的最大值即可判断．
本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：解，得：，
解，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，
，，
解得，，
，
故答案为：．
根据绝对值、偶次幂的非负性，求出、的值，再代入计算即可．
本题考查偶次幂、绝对值的非负性，理解绝对值、偶次幂的非负数的性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设该圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．
设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由题意得，解该方程的结果是，
原方程两边都乘以得，
，
把代入得，
，
解得，
故答案为：．
由题意得解该方程的结果是，把它代入将原方程化为的整式方程求解即可．
此题考查了含有字母参数的不等式组与分式方程结合问题的解决能力，关键是能对以上题目准确求解，确定出符合条件的字母参数的值．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，，进而利用三角形面积公式解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，解答．
 

17.【答案】
 

【解析】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
点的坐标为．
同理，可得出：，，，，，
的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，
的横坐标为为正整数，
点的横坐标是．
故答案为：．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，进而得到、、、、的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标为为正整数是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当，原式．
 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，零指数幂，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示；
，
，
是的中线，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故BC的长为．
 

【解析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
 

20.【答案】解：根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为；
这个游戏规则是不公平的，理由如下：
画树状图得：

共有种等可能的结果，两个球颜色相同的有种情况，两个球颜色不同的有种情况，
颜色相同，颜色不同，
这个游戏规则是不公平的．
 

【解析】用总人数乘以样本中“比较了解”的学生人数所占比例即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．注意概率相等，则公平，否则不公平．
 

21.【答案】证明：连接，，

于点，
，
，
，，
；
解：，，，
，
于点，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
解得．
 

【解析】连接，，根据垂径定理可得，即可得，结合三角形外角的性质可证明结论；
利用勾股定理可求解的长，结合勾股定理可求解，再利用三角形的中位线可求解的长，即可求得的长，根据勾股定理可求解的长，由圆周角定理可得，再利用勾股定理可求解．
本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线，三角形外角的性质等知识的综合运用，灵活运用勾股定理求解线段的长是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨，
依题意得：，
解得：．
答：该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨；
设该物流公司预计月份运输货物吨，则运输货物吨，
依题意得：，
解得：．
设该物流公司月份共收到元运费，
则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：该物流公司月份最多将收到元运费．
 

【解析】设该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨，根据“该物流公司月份共收取运费元，月份共收取运费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该物流公司预计月份运输货物吨，则运输货物吨，根据货物的数量不大于货物的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该物流公司月份共收到元运费，根据总运费每吨的运费运输货物的重量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；利用一次函数的性质，解决最值问题．
 

23.【答案】解：在四边形中，
，，，
，
故答案为：；

结论：四边形是“勾股四边形”．
理由：如图所示，、、三者之间的等量关系为：理由如下，
连接，以为边向下作等边三角形，
则，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是“勾股四边形”；

如图所示，连接，
，，
是等边三角形，
，
点的运动轨迹是优弧上的点，
，
当时的值最大，连接交于点，连接，
，，
，，
点在上，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为．
 

【解析】在四边形中，由四边形内角和定理即可得出结果；
连接以为边向下作等边三角形，有等边三角形的性质得出，，证出，证明≌，得出，，证出，再由勾股定理即可得出结论；
连接，作于，证出是等边三角形，得出，推出当时的值最大，连接交于点，连接，解直角三角形求出，，，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：经过点、的直线解析式为．
令，则，
令，则，解得，
，，
代入抛物线得，
解得，
抛物线的解析式；

如图，若为平行四边形的一边，则，且，

，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
，，
点的横坐标为或，
点的横坐标为 或；
如图，若为平行四边形的一条对角线，则，

设、交于点，则点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
 ．
综上，点的横坐标为 或或；

如图：

直线，抛物线的对称轴为直线，
直线与抛物线的对称轴交点的坐标为，抛物线的顶点的坐标为，
设点、的横坐标为、，则、为方程的两根，
化简方程得，
，，
的面积等于，

，
，
，即，
，
，
．
 

【解析】由条件可求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
画出图形，分是平行四边形的一条边或一条对角线两种情况，分别求解即可；
由抛物线的对称轴可得对称轴与直线的交点坐标为，设点、的横坐标为、，根据的面积等于，可得，则、为方程的两根，由根与系数的关系即可求解．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形判定和性质，一元二次方程根与系数的关系等，分类讨论思想的运用是解题的关键．