专题04 方程和不等式综合问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（原卷版）

《中考压轴题全揭秘》

专题04   方程和不等式综合问题

一、单选题

1．已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　)

A．9    B．－3    C．12    D．不确定

2．若关于 x 的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

3．关于x的方程x2﹣2mx+4=0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（　　）

A．m＞    B．m＜﹣    C．m＜﹣2 或 m＞2    D．m＞

4．如果关于x的分式方程-2=有正整数解，且关于x的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．某超市推出如下优惠方案:

(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;

(2)一次性购物超过100元,但不超过300元一律9折;

(3)一次性购物超过300元一律8折.

李明两次购物分别付款80元,252元.如果李明一次性购买与这两次相同的物品,则应付款(　　)

A．288元    B．332元

C．288元或316元    D．332元或363元

6．对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ）

A．，    B．，    C．，    D．，

7．已知关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，那么的值是（ ）

A．5    B．-1    C．5或-1    D．-5或1

8．已知、、都是实数，且，则

A．只有最大值    B．只有最小值

C．既有最大值又有最小值    D．既无最大值又无最小值

9．将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则的值为（        ）

A．    B．    C．    D．

10．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x=5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业.同学们，你能补出这个常数吗？它应该是

A．2    B．3    C．4    D．5

11．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的分式方程+=-8的解为正数的所有整数a的值之和为（    ）

A．11    B．15    C．18    D．19

12．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）

A．﹣10    B．﹣12    C．﹣16    D．﹣18

13．若方程组的解满足x＜1，且y＞1，则整数k的个数是(　　)

A．4    B．3

C．2    D．1

14．已知三个非负数a、b、c满足若，则的最小值为（     ）

A．    B．    C．    D．－1

15．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（　　）

A．0    B．i    C．﹣1    D．1

二、填空题

16．植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树．三亚市第二中学七（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有_____棵．

17．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是________．

18．人民路有甲乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：

甲超市购物全场8.8折．

乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；

②超过200元而不超过600元，打9折；

③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折．

（假设两家超市相同商品的标价都一样）当标价总额是___________元时，甲、乙两家超市实付款一样．

19．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满．

20．若关于x的方程的解为整数，且不等式组无解，则所有满足条件的非负整数a的和为_____．

21．2018年秋，珊瑚中学开启“珊中大阅读”活动,为了充实漂流书吧藏书,号召全校学生捐书,得到各班的大力支持.同时,本部校区的两个年级组也购买藏书充实学校图书室,初二年级组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本,用去8315元;初一年级买了A、B两种文学书籍若干本,用去6138元。其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等,且甲种书与B种书的单价相同,乙种书与A种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元,则甲种书籍比乙种书籍多买了_____________本.[来源:Z&xx&k.Com]

22．阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．

解：∵=（-），=（-），…，=（-），

∴+++…+

=（-）+（-）+（-）+…+（-）

=（-+-+-+…+-）

=（-）

=．

以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：

（1）+=______；

（2）当+++…+x=时，最后一项x=______．

23．使得关于x的分式方程=1的解为负整数，且使得关于x的不等式组有5个整数解的所有k的和为_____．

24．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有_______人.

25．已知关于的方程，，是此方程的两个根，现给出三个结论：①；②；③，则结论正确结论号是________（填上你认为正确结论的所有序号）

三、解答题

26．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，单位：单位长度，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上在B的左边，若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．

请直接写出直尺的长为______个单位长度；

如图2，直尺AB在数轴上移动，有，求此时A点所对应的数；

如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处看不到直尺的任何部分，A在B的左边，将直尺AB沿数轴以4个单位长度秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为、，若秒，求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？

27．下表中有两种移动电话计费方式:

(月使用费固定收；主叫不超过限定的时间不再收费,主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费)

(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟,则他按方式一计费需____元,按方式二计费需____

元；李华某月按方式二计费需107元,则李华该月主叫通话时间为_____分钟；

(2)是否存在某主叫通话时间(分钟),按方式一和方式二的计费相等?若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由。

(3)直接写出当月主叫通话时间(分钟)满足什么条件时,选择方式一省钱。

28．同学们,今天我们来学习一个新知识,形如  的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为:  利用此法则解决以下问题:

(1)仿照上面的解释,计算出  的结果；

(2)依此法则化简   的结果；

(3)如果  那么的值为多少?

29．阅读探索

知识累计

解方程组

解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为

解方程组得：即所以此种解方程组的方法叫换元法．

（1）拓展提高

运用上述方法解下列方程组：

（2）能力运用

已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_____________．

30．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足

，B两点对应的数分别为______，______；

若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则原点O与数______表示的点重合；

若点A、B分别以4个单位秒和3个单位秒的速度相向而行，则几秒后A、B两点相距1个单位长度？

若点A、B以中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

31．（背景知识）

数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律:[来源:学科网ZXXK]

例如，若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．

（问题情境）

在数轴上，点表示的数为-20，点表示的数为10，动点从点出发沿数轴正方向运动，同时，动点也从点出发沿数轴负方向运动，已知运动到4秒钟时，、两点相遇，且动点、运动的速度之比是（速度单位:单位长度/秒）．

备用图

（综合运用）

（1）点的运动速度为______单位长度/秒，点的运动速度为______单位长度/秒；

（2）当时，求运动时间；

（3）若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现:随着动点、的运动，线段的中点也随着运动．问点能否与原点重合？若能，求出从、相遇起经过的运动时间，并直接写出点的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．

32．小明每隔一小时记录某服装专营店8：00～18：00的客流量（每一时段以200人为标准，超出记为正，不足记为负），如表所示：

（1）若服装店每天的营业时间为8：00～18；00，请你估算一周（不休假）的客流量；（单位：人）（精确到百位）

（2）若服装店在某天内男女装共卖出135套，据统计，每15名女顾客购买一套女装，每20名男顾客购买一套男装，则这一天卖出男、女服装各多少套？[来源:Z。xx。k.Com]

（3）若每套女装的售价为80元，每套男装的售价为120元，则此店一周的营业额约为多少元？

33．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：

甲超市：全场均按八八折优惠；

乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；

已知两家超市相同商品的标价都一样．

(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？

(2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？

(3)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．

34．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．

(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；

(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？

35．如图是某景区的环形游览路线ABCDA，已知从景点C到出口A的两条道路CBA和CDA均为1600米，现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形道路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分，每一个游客的步行速度均为50米/分．

（1）探究（填空）：

①当两车行驶　　分钟时，1、2号车第一次相遇，此相遇点到出口A的路程为　 　米；

②当1号车第二次恰好经过点C，此时两车行驶了　 　分钟，这一段时间内1号车与2号车相遇了　 　次．

（2）发现：

若游客甲在BC上K处（不与点C、B重合）候车，准备乘车到出口A，在下面两种情况下，请问哪种情况用时较少（含候车时间）？请说明理由．

情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；

情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．

（3）决策：

①若游客乙在DA上从D向出口A走去，游客乙从D出发时恰好2号车在C处，当步行到DA上一点P（不与A，D重合）时，刚好与2号车相遇，经计算他发现：此时原地（P点）等候乘1号车到出口与直接从P步行到达出口A这两种方式，所花时间相等，请求出D点到出口A的路程．

②当游客丙逛完景点C后准备到出口A，此时2号车刚好在B点，已知BC路程为600米，请你帮助游客丙做一下决策，怎样到出口A所花时间最少，并说明理由．

36．已知一个四位自然数M的千、百、十、个位上的数字分别是、、、，若，且，则称自然数M是“关联数”，且规定 .例如5326，因为，所以5326是“关联数”，且 现已知式子（、、都是整数，，，）的值表示四位自然数，且是“关联数”，的各位数字之和是8的倍数.

（1）当时，求；

（2）当时，求的和.

37．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元．   

（1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？   

（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？   

（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．

38．三亚市某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A，B两种产品共50件，生产A，B两种产品与所需原料情况如下表所示：

（1）该工厂生产A，B两种产品有哪几种方案？

（2）如果该工厂生产一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，那么该工厂应该怎样安排生产可获得最大利润？

39．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：

信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；

信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：

信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．

信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；

（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？

40．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点．

（1）求点K的坐标；

（2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．