2022届江西省九师联盟高三下学期3月质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2022届江西省九师联盟高三下学期3月质量检测数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本试卷命题范围，设函数，则不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。
江西省九师联盟2022届高三下学期3月质量检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫来黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则（    ）A. B. C. D.2.已知集合，若，则实数a的取值范围为（    ）A. B. C. D.3.若的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（    ）A.729 B.64 C.1 D.4.若，则（    ）A. B. C. D.35.古希腊数学家帕普斯通过在矩形中构造内接直角三角形，证明了三角公式（其中，），如图所示.若，，，，，则（    ）A. B. C. D.6.某校举行运动会期间，将学校600名学生编号为001，002，003，…，600，采用系统轴样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码为009.将这600名学生分别安排在看台的A，B，C三个区，001号到130号在A区，131号到385号在B区，386号到600号在C区，则样本中属于A，B，C三个区的人数分别为（    ）A.10，21，19 B.10，20，20 C.11，20，19 D.11，21，187.如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ）A. B. C. D.8.已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A.的最小正周期是 B.的最小值为C.在上单调递增 D.的图象关于点对称9.如图，已知抛物线的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，与y轴相交于E点.已知，，若，的面积分别为，，且，则抛物线C的方程为（    ）A. B. C. D.10.设函数，则不等式的解集是（    ）A. B. C. D.11.已知圆，圆，在圆上，在圆上，则下列说法错误的是（    ）A.的取值范围是B.直线是圆在P点处的切线C.直线与圆相交D.直线与圆相切12.已知，，，其中a，b，且，，则（    ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线，若直线为C的一条渐近线，则C的离心率为______.14.小明在一个专用的纸箱中收藏了一套精美的2022年北京冬奥会十二生肖纪念邮票，共12枚，现从这12枚邮票中随机抽取3枚，恰好有1枚为老虎图案邮票的概率为______.15.在中，D为的中点，若，，，则______.16.如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）山东为我国最大的“菜园子”和“菜篮子”，蔬菜产量占全国的12%，居全国第一位；农产品出口达到1150.3亿元，占全国的22%，连续20多年领跑全国.寿光、兰陵、章丘等作为代表的蔬菜生产和流通基地为保证人们的菜篮子做出了重要贡献.为了解近年来山东的蔬菜生产状况，统计了近6年山东蔬菜年产量（万吨）如下表：年份201620172018201920202021年份代码t123456年产量y（万吨）803481338192818184358801（1）根据表中数据，建立y关于l的线性回归方程；（用最简分数表示）.（2）根据（1）中的线性回归方程，预测今年（2022年）山东蔬菜的年产量.附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.②参考数据：.18.（本小题满分12分）在数列中，（1）求，，；（2）求数列的前n项和.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱各棱长均为2，.（1）求证：；（2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点F为C的左焦点，点P为C上位于第一象限的一点，M，N为y轴上的两个动点（点M在x轴上方），满足，，线段交x轴于点Q.求证：为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l的方程为；以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程和参数方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，P为C上异于A，B的一点，求面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.已知不等式的解集为.（1）求a，b的值；（2）若，，，求证：.       高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.B  由题意，得，所以，故选B.2.D  因为，所以，解得.故选D.3.C  因为为常数项，所以，所以.令，得展开式的各项系数和为.故选C.4.A  由题意得，则.故选A.5.A  在直角三角形中，，；在直角三角形中，；在直角三角形中，，.综上，F是上靠近C的三等分点，E是的中点.法一：，，两式联立消去，得.故选A.法二：以A为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，，，设，得，解得，，.故选A.6.D  由题意知抽样间隔为，因为在第一段中随机抽得的号码为009，故所有抽到的号码为（，1，2，…，49），根据条件列出不等式即可解得A区抽中11人，B区抽中21人，C区抽中18人.故选D.7.A  法一：以D为原点，以，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，所以所求角的余弦值为.故选A.法二：分别取，的中点M，N，连接，，，，易证，，则为与所成角（或其补角）.设正方体的棱长为2，易求，.所以，故选A.8.C  由题意知，其最小正周期为，最小值为.其单调递增区间为，其图象关于点对称，故ABD均错，C正确.故选C.9.B  如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，因为C的准线为，所以，，所以，解得，故C的方程为，故选B.10.A  由题意知的定义城为，且，故为奇函数，当时，易证单调递增，所以在上单调递增，令，则，则，且在上单调递增，又.所以的解集为，故选A.11.C  因为圆，的圆心均为，半径分别为1，3，所以，故A正确；若.则直线的斜率为，则过点P的切线斜率为，故过点P的切线方程为，化简得，易验证当时，或时，切线方程符合，故B正确；点到的距离为，则直线与圆相离，故C错误；点到的距离为，所以直线与相切，故D正确.故选C.12.D  由题意可知，，，，所以，，.令，则，，；又，则在上单调递减，在上单调递增，如图所示：因为，所以，所以，又，，且在上单调递减，所以，故选D.13.  由题意知，所以.14.  .15.  法一：设，因为，所以，由余弦定理，得，即，所以.所以.法二：由D为的中点，得，所以，即，所以，所以，所以.16.  法一：因为平面，，平面，所以，，，又，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以.如图，取的中点O，连接，，则，故O为三棱维外接球的球心.设，则，所以，所以当时，，故三棱锥的外接球O的半径的最小值为.所以球O的表面积的最小值为.法二：根据题意三棱锥可以扩展为如图的长方体，则为长方体的对角线，也是三棱锥外接球的直径.因为，，所以，以下同法1，略.17.解：1（1）由题意知，，，……2分，……4分又，……6分所以y关于t的线性回归方程为.……7分（2）当年份为2022年时，年份代码.……8分所以.……10分所以可预测2022年山东蔬菜的年产量为8769万吨.……12分18.解：（1）因为所以，，，……3分（2）因为 所以，，，…是以1为首项，4为公差的等差数列，，，，…是以4为首项，4为公比的等比数列.……5分当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项.……6分所以；……8分当n为偶数时，数列{的前n项中有个奇数项，有个偶数项.……9分所以.……11分所以……12分19.（1）证明：取的中点D，连接，，，则.……1分因为，，所以为等边三角形.……2分又D为的中点，所以.……3分因为，，平面，所以平面，……4分又平面，所以.……5分（2）解：由（1）知，为二面角的平面角，所以.……6分以D为坐标原点，分别以，为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，……7分所以，，.……8分设平面的法向量，则 即 令，得，，所以平面的一个法向量.……10分设直线与平面所成角为，则.……12分20.（1）解：因为四点，，，中恰有三点在椭圆C上，且两点，关于x轴对称，所以，在椭圆C上.所以.……2分若点也在C上，则，与上式联立，无解，故不在C上；所以点在C上，所以，所以，所以椭圆C的方程为.……4分（2）证明：设，，，由题意知，，……5分所以，，，，……6分因为，，所以，，即，，……8分所以，，所以，解得，或（舍）.……10分由得点N在y轴的负半轴上，所以（定值）.……12分21.（1）解：由题意知函数的定义域为，.……1分令，则，因为，当时，，，，所以.当时，，，，所以.所以（即）在上单调递减.……3分又，所以当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.……4分（2）证明：由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；……5分若，当时，，，，所以.当时，，，，所以，所以（即）在上单调递减.……7分又，，所以存在，使得，……8分所以当时，；当，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，……9分又由，得，即，所以，因为，所以，，，，所以.……1分所以，综上所述，.……12分22.解：（1）由，得，……1分因为，，所以，即C的直角坐标方程为，……3分C的参数方程为（为参数）.（答案不唯一，符合即可）……5分（2）由（1）知曲线C为圆，且圆心的坐标为，半径为2，……6分所以圆心到l的距离，所以，……8分所以的面积的最大值为.……10分23.（1）解：由，得 或 或……2分所以，或，或，所以不等式的解集为，……4分所以，.……5分（2）证明：由（1）知，，所以，即，……6分又，，所以，……8分当且仅当，即时等号成立，此时，，……9分所以.……10分