专训二十六、二次函数与一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训二十六、二次函数与一元二次方程

牛刀小试

1．（2021·齐齐哈尔市第二十八中学月考）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．且

C． D．且

【答案】D

【解析】

【分析】

利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．

【详解】

∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，

∴方程kx2−6x+3=0(k≠0)有实数根，

即△=36−12k⩾0，k⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k⩽3且k≠0.

故选D.

【点睛】

此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握其性质定义.

2．（2021·全国初三课时练习）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）

A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5

【答案】D

【解析】

利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：

由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．

由图象可知：的解集即是y＜0的解集，

∴x＜－1或x＞5．故选D．

3．（2021·辽宁龙城·初三二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（    ）

①对称轴为直线x＝﹣1；

②b2﹣4ac＞0；

③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；

④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．

【详解】

解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；

∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，

∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；

∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），

∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，

即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．

4．（2021·全国课时练习）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）

A．有两个交点 B．只有一个交点

C．没有交点 D．无法判断

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．

【详解】

∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），

∴当y＝0时，x＝2或x＝3，

即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），

故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，

故选A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根．

熟能生巧

5．（2021·乐陵市实验中学初三月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

【详解】

解：根据函数的图像可知其对称轴为x=-=1，解得b=-2a，然后可知两根之和为x1+x2=-=2.

故答案为：2

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对称轴x=-，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=-求解即可.

6．（2021·广州市增城区派潭镇第二中学期中）已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A， B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；   

（1）求抛物线的表达式；   

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）y=x2-5x+6；（2）3.

【解析】

试题分析：（1）把点的坐标为代入，求出b的值即可；（2）分别求出，，然后根据三角形的面积公式计算即可.

试题解析：（1）把点的坐标为代入，得9+3b+6=0，解得b=-5，所以抛物线的表达式为；（2）令x=0，则y=6，所以，令y=0，则解得，因为点的坐标为，所以点A的坐标为（2,0），所以AB=1，所以.

考点：二次函数.

7．（2021·昆山市城北中学初三月考）已知二次函数．

（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数图象与x轴交点关系求解；（2）根据对称轴公式求解.

【详解】

（1）证明：令y=0,则,

∵△=

=

=

∵≥0,

∴＞0

∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点.

(2).∵对称轴为x=，

∴k=2

∴解析式为

【点睛】

考核知识点：二次函数的性质.

8．（2021·福建福州·初三月考）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3，一次函数解析式为y=﹣x﹣1；（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x﹣4或x≥﹣1．

【解析】

【分析】

（1）先利用待定系数法求出m，再根据对称性求出点B坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据二次函数的图象在一次函数图象的上面即可写出自变量x的取值范围．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），

∴0=1+m，∴m=﹣1，

∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，

∴点C坐标为（0，3），

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2，且B、C关于对称轴对称，

∴点B坐标为（﹣4，3），

∵y=kx+b经过点A、B，

∴，解得，

∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，

（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．

【点睛】

本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数的解析式等知识，解答的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，能充分利用函数的图象根据条件确定自变量的取值范围.

9．（2021·全国初三期末）已知二次函数y=x2+4x+k-1.

（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；

（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.

【答案】k＜5；k=5．

【解析】

试题分析：(1)、当抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k的取值范围；(2)、顶点在x轴上则说明顶点的纵坐标为0.

试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜5.

(2)、∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=5.

考点：二次函数的顶点

10．（2021·全国初三课时练习）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．

（1）求b，c的值．

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

【答案】（1）；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【解析】

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；

（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．

【详解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，

得，

解得；

（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3，

△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，

所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，

∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，

∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．

庖丁解牛

11．（2021·全国初三课时练习）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．

（1）求b，c的值．

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

【答案】（1）；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【解析】

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；

（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．

【详解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，

得，

解得；

（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3，

△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，

所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，

∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，

∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．