考点02 解直角三角形及其应用-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点02 解直角三角形及其应用
1．（2021·江苏镇江市·九年级月考）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）

A． B．5 C． D．6
【答案】A
【分析】
此题根据题意连接CD，根据圆的性质和直角三角形的斜边上中线与斜边的关系可得△CDB为等边三角形，再由锐角三角函数计算即可．
【详解】
如图，连接CD，

∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=DA=DB．
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，即△CDB为等边三角形．
∴∠B=60°．
∵AB=10，
∴AC=AB⋅sin∠B=．
故选A．
【点睛】
此题考查圆的有关知识和直角三角形中线的问题，涉及到锐角三角函数，难度一般，理解题意是关键．
2．（2021·浙江宁波市·九年级期末）秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为a和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（忽略两人的身高与手臂长度）（　　）米．

A．120tanα+120tanβ B．
C．120cosα+120cosβ D．
【答案】D
【分析】
根据题意及三角函数可直接进行求解．
【详解】
解：在Rt△ABD中，AD（米）；
在Rt△ABC中，BC（米）；
故两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（）米．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
3．（2021·长春市·吉林省实验九年级月考）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（－4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接BC，如图，先利用勾股定理计算出BC=5，再根据正弦的定义得到sin∠OBC=，再根据圆周角定理得到∠ODC=∠OBC，从而得到sin∠CDO的值．
【详解】
解：连接BC，如图，

∵B(-4，0)，C(0，3)，
∴OB=4，OC=3，
∴BC= =5，
∴sin∠OBC=，
∵∠ODC=∠OBC，
∴sin∠CDO=sin∠OBC=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的知识，以及圆周角定理的推论，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等是解答本题的关键．
4．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期中）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=2OE•sin∠EOH=2OE•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．
【详解】
由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=AB=2，即此时圆的直径为2，
∴OE=1，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，
由垂径定理可知EF=2EH=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
5．（2021·山东潍坊市·九年级期中）如图，在中，， 于点D，，，则线段 AC的长为（　　　）

A．10 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】
由同角的余角相等可得出，在中，由可求出的长，利用勾股定理可求出的长，在中，由可求出的长，此题得解．
【详解】
解：，于点 ，
，，
．
在中，， ，
，
，
．
在中，， ，
，
．
故选：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及正切的性质等的知识点，通过解直角三角形求出的长是解题的关键．
6．（2021·张掖市第一中学九年级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠B=60°，斜边长AB=1，那么此直角三角形的周长是（　　　）

A． B．3 C．+2 D．
【答案】D
【分析】
根据∠B=60°，斜边长AB=1，可求出AC、BC的长度，继而可求出周长．
【详解】
解：∵∠B=60°，斜边长AB=1，
∴AC=ABsin60°=，BC=ABcos60°=，
∴△ABC的周长=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的知识，比较简单，解答本题的关键是根据解直角三角形和三角函数的知识求出各边的长度．
7．（2021·山东烟台市·九年级期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作、，那么它们的大小关系是( )

A． B．
C． D．不能确定
【答案】C
【分析】
在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
【详解】
如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，

在Rt△ABG中，AG＝ABsinB＝5×sin 50°＝5sin 50°，
在Rt△DHE中，∠DEH＝180°−130°＝50°，
DH＝DEsin∠DEH＝5sin 50°，
∴AG＝DH．
∵BC＝4，EF＝4，
∵等底等高两三角形面积相等
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形中的正弦函数的应用以及等底等高两三角形面积相等，求得三角形的高相等是解题的关键．
8．（2021·西安市铁一中学九年级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．
【详解】
如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2
∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o
∴DE =CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A'，D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6

故选B
【点睛】
本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．
9．（2021·合肥实验学校九年级月考）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60º方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）

A．150m B．150m C．150m D．100m
【答案】C
【分析】
由题意得知，进而在中直接计算即可．
【详解】
由题：，，，
在中，；
故选：C．
【点睛】
本题考查了用特殊角的三角函数值求直角三角形的边长问题，能够准确记忆三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
10．（2021·重庆南开中学九年级月考）如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，己知旗杆所在平台的高度为3.5米，则旗杆的高度为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，）．

A．19.8米 B．19.7米 C．18.3米 D．16.2米
【答案】C
【分析】
作于点G，作的延长线于点H，根据勾股定理和坡度比求得CH和DH的长，然后根据两个正切值分别表示处AF，并求得AF的长，最终根据AF-BF即可求解AB的长．
【详解】
作于点G，作的延长线于点H，
设CH=3x，则DH=4x，在中

解得x=0.7
∴CH=2.1，DH=2.8
根据题意CG=FH=DH+DE+EF=2.8+15+EF=17.8+EF，FG=CH=2.1
∵
∴AG=0.7CG
∴
又∵
∴AF=2.1EF
∴
解得EF=10.4
∴
∴AB=AF-BF=21.8-3.5=18.3（米）

故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，关键是作出辅助线，用两种方法表示AF并求解AF．
11．（2021·甘肃张掖市·大成中学九年级月考）如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案．
【详解】
结合题意，得：
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解．
12．（2021·山西九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出．
13．（2021·全国九年级专题练习）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【答案】B
【分析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
14．（2021·河南）如图，在中，，，平分，交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】
利用锐角三角函数值分别求得AB和BD的长度，即可求解．
【详解】
解：在中，，，，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．（2021·福建省南安市第六中学）如图．在中，＝，＝，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长至，使＝，连接，作于，根据题意得到＝，根据三角形中位线定理得到，根据等腰三角形的性质求出，根据正弦的概念求出，计算即可．
【详解】
解：延长至，使＝，连接，作于，

∵ 平分的周长，
∴ ＝，又＝，
∴ ，，
∵ ＝，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝，＝，
∴ ＝，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形的知识，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
16．（2021·东北师大附中明珠学校九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，b＝，则a等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据三角函数值计算即可．
【详解】

∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝tan60°＝，
∵ b＝，
∴ a＝1，故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形，利用已知的三角函数值确定角度是关键．
17．（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级月考）在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD，意寓拥抱梦想，展翅翱翔，如图，雕塑的上边缘点A距地面平台高度为AB的长，点B距台阶底端C的距离米，台阶底端C与顶端D的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且米．若A，B，C，D四点在同一平面内，且在点D看石雕上边缘点A的俯角为，则雕塑“翔”的高度AB约为（ ）米．（参考数据：，，）

A．2.21 B．2.20 C．2.25 D．2.31
【答案】C
【分析】
过作于，则四边形为矩形，得，，由坡度为的斜坡，设米，则米，由勾股定理求得，得出米，米，米，由，求出米，即可得出结果．
【详解】
解：过作于，如图所示：
则四边形为矩形，
，，
台阶底端与顶端的连线可视作坡度为的斜坡，
设米，则米，
由勾股定理得：，即，
解得：，
则（米，（米，
（米，
米，
在点看石雕上边缘点的俯角为，
，
在中，，
（米，
则（米
故选：．
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题以及矩形的判定与性质、勾股定理等知识；掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（2021·重庆市万州江南中学校九年级月考）如图，小明为了测量照母山上“览星塔”的高度，先从与塔底中心在同一水平面上的点出发，沿着坡度为的斜坡行走10米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，与的水平距离为4米（图中、、、、、在同一平面内，、和、、分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，）（ ）

A．17.8米 B．23.7米 C．31.5米 D．37.4米
【答案】C
【分析】
过点E作EP⊥DC于P，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥EG于H，根据坡度的定义设PE=4x，则PD=3x，利用勾股定理列出方程即可求出x的值，从而求出=8米，然后求出FH=CH=8米，即可求出FG，再利用锐角三角函数即可求出AG，从而求出结论．
【详解】
解：过点E作EP⊥DC于P，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥EG于H

∴米，DE=10米
∵斜坡DE的坡度为
∴
设PE=4x，则PD=3x，DE==5x=10
解得：x=2
∴PE=8米
∴=8米
∵∠CFH=45°
∴△CFH为等腰直角三角形
∴FH=CH=8米
∴FG=FH＋GH=12米
∵∠AFG=63°，tan∠AFG=
∴AG=FG·tan∠AFG =米
∴AB=AG+BG=≈米
故选C．
【点睛】
此题考查的是解直角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．
19．（2021·山西九年级月考）如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA=，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）

A． 米 B．50米 C． 米 D．50tanα米
【答案】D
【分析】
根据的正切值表示出PA的长度．
【详解】
解：在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法．
20．（2021·山东潍坊市·九年级期中）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（　　　）

A． B． C． D．24
【答案】C
【分析】
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，得BE＝CF，由坡比得BE＝CF＝DF＝CD＝6（米），AE＝2BE＝12（米），再由勾股定理解答即可．
【详解】
过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：

则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD=米，∴CF=DF=CD=6（米），∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2= ，∴AE=2BE=12（米），
∴AB=（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（2021·广东深圳市·九年级其他模拟）如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（　　）

A．60m B．40m C．30m D．60m
【答案】B
【分析】
作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．
【详解】
过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD•tan30°＝3010（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD•tan60°＝3030（m），∴BC＝BD+CD＝103040（m），
即这栋高楼高度是40m．
故选择：B．

【点睛】
本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形．
22．（2021·山东九年级二模）如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西15º的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶40海里到达处，测得灯塔在北偏西60º的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离(即的长)为（ ）

A．海里 B．海里 C．80海里 D．海里
【答案】B
【分析】
过A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝40，
∴AD＝AB＝20，BD＝AB＝20，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝20，
∴BC＝BD+CD＝（20+20）海里，
故选B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（2021·内蒙古包头市·九年级其他模拟）如图，太阳光线与水平线成角，窗子高米，窗子外面上方米的点处安装水平遮阳板米，光线刚好不能直接射入室内，则的关系式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知条件易求CB的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，由三角函数便可解答．
【详解】
解：∵窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=n米，
∴CB=CA+AB=m+0.2（米），
∵光线与地面成α角，
∴∠BDC=α．
又∵tan∠BDC=，
∴CB=n•tanα，
∴m+0.2=n•tanα，
∴m=tanα•n-0.2，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键．
24．（2021·湖北孝感市·九年级月考）如图，为的直径，，为上的两点，若，，则 ______度．

【答案】30
【分析】
连接AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根据直角三角形的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，然后利用圆周角定理确定答案即可．
【详解】
解：连接AC，

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，BC=4，

∴∠CAB=30°，
∴∠BDC=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论和解直角三角形，解题的关键是连接AC得到直角三角形，难度不大．
25．（2021·云南昆明市·昆明八中九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若sin∠CFD的值为，则BE＝_____．

【答案】3
【分析】
由题意得△BEF≌△DEF，故∠EDF=∠B；由三角形的外角性质，即可解决．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠B=∠C，
设BE=x，∵AB=5
∴AE=AB-BE=5-x，
∵将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，
∴△BEF≌△DEF
∴BE=DE=5-x，∠B=∠EDF=∠C
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC
∴∠ADE=∠DFC
∴sin∠CFD=sin∠ADE=，
解得，x=3，
即，BE=3
故答案为：3
【点睛】
主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形外角性质等知识来解决问题．
26．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为________．

【答案】
【分析】
过点D作DF⊥BC于点F，由题意易得∠DBC=45°，∠ACB=∠DEB，则有，然后根据三角函数及线段的和差可求解．
【详解】
解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：

∵，和的平分线相交于点，
∴∠DBC=45°，∠DCB=∠ACD，
∴△DFB是等腰直角三角形，即DF=BF，
∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠DEB，∠ACD=∠CDE，
∴∠CDE=∠DCE，
∴DE=EC，
∵AB=3，AC=5，
∴BC=4，，
设DF=BF=3x，则有：EF=4x，DE=EC=5x，
∴，解得，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
27．（2021·哈尔滨市第一一三中学校九年级期中）如图，内接于，，直径AD交BC于点E，若，，则弦BC的长为______．

【答案】
【分析】
连接OB、OC，由题意易得AE⊥BC，则有BE=EC，∠BOD=∠BAC，设OB=3r，OE=2r，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接OB、OC，如图所示：

∵内接于，，AD过圆心O，
∴AE⊥BC，
∴BE=EC，，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∵，
∴，
∵DE=1，
∴设OB=3r，OE=2r，则有：
，解得：，
∴，
∴在Rt△BEO中，，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．
28．（2021·佳木斯市第十二中学九年级期中）如图，在矩形中，，，动点，分别在，上，则的最小值为______．

【答案】 .
【分析】
如图，将线段AD沿AC翻折得到线段AF，过点F作FH⊥AD于H，连接PF．证明PF=PD，推出PD+PE=FP+PE≥FH，求出FH即可解决问题．
【详解】
解：如图，将线段AD沿AC翻折得到线段AF，过点F作FH⊥AD于H，连接PF．

∵∠DAC=30°，AD=6，
由翻折可知，∠CAF=∠DAC=30°，AF=AD=6，PF=PD，
∵PD+PE=FP+PE，
又∵FP+PE≥FH，
∴PE+PD的最小值就是线段FH的长，
在Rt△AFH中，∵∠AHF=90°，∠HAF=60°，AF=6，
∴FH=AF•sin60°=6=3，
∴PE+PD的最小值为3，
故答案为．
【点睛】
本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
29．（2021·全国九年级）平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得为，为，边的长为，边上露出部分的长为，则铁板边被掩埋部分的长是__．（结果精确到．参考数据：，，．

【答案】
【分析】
根据已知条件可得，再解即可求得，然后利用线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：∵，
∴
∴在中，
∴
∴．
故答案是：
【点睛】
本题考查了直角三角形的定义、解直角三角形的应用、线段的和差、按照要求求近似数等，正确选取三角函数解直角三角形是解题的关键．
30．（2021·全国九年级）如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）

【答案】100+100
【分析】
根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．
【详解】
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米），
在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝100（米），
∴AB＝AD+BD＝（100+100）米，
故答案为：（100+100）．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
31．（2021·江苏苏州市振华中学校九年级月考）如图，某河堤迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长是_____.

【答案】10
【分析】
先根据坡比i=tan∠CAB=1：得出∠BAC=30°，再由直角三角形的性质可得AB=2BC=10m即可．
【详解】
解：∵坡比i=tan∠CAB=，∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵BC=5m，
∴AB=2BC=10m，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡比的概念及直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．
32．（2021·吉林长春市·长春外国语学校九年级月考）如图，在吉林北大湖滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B乘缆车需要14分钟，则山的高度BC可以表示为_________．

【答案】700sin31°
【分析】
作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．
【详解】
如图，作BC⊥AC，垂足为C．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠BAC=31°，AB=50×14=700（米），
sin∠BAC=，
∴BC=sin∠BAC•AB=700•sin31°．
故答案为：700•sin31°．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
33．（2021·全国九年级）如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为______．

【答案】
【分析】
BE⊥AC于点E，根据题意计算可得，解直角三角形ABE，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得，解直角三角形CEB可得，，AE+CE的值即是AC两港之间的距离．
【详解】
解：设过A点正北方向直线为AD，过B点正北方向直线为BG，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，如图:

∵由题意得：∠CAB=65°﹣20°=45°，∠AEB=∠CEB=90°，AB=30km．
∴在中，∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形．
∵AB=30km，
∴AE=BE=AB=30（km）．
∵CF∥AD∥BG，
∴∠ACF=∠CAD=20°，∠BCF=∠CBG=40°，
∴∠ACB=20°+40°=60°，
∵在中，∠ACB=60°，tan∠ACB=，
∴CE==10（km），
∴AC=AE+CE=30+10（km），
∴A、C两港之间的距离为（30+10）km．
故答案为：（30+10）．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．
34．（2021·山东淄博市·九年级期中）在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡角为，旗杆的高度约为________________米．(参考数据：，，精确到米)

【答案】
【分析】
作CG⊥EF、延长GH交AD于点H、作HP⊥AB可得四边形BCHP为矩形，从而知BC=PH=6、BP=CH、∠CHD=∠A=37°，先求出AP= 8，作DQ⊥GH知∠CDQ=∠CEG=30°，求出CQ=2、DQ=2，再求得QH的长，得到CH=QH-CQ，根据AB=AP+PB=AP+CH可得答案．
【详解】
如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，

则四边形BCHP为矩形，
∴BC=PH=6(米)，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，
∴AP=(米)，
过点D作DQ⊥GH于点Q，
∴∠CDQ=∠CEG=30°，
∴CQ=CD=2(米)，DQ=CDcos∠CDQ(米)，
∵QH=(米)，
∴CH=QH-CQ(米)，
则AB=AP+PB=AP+CH(米) ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
35．（2021·山东东营市·九年级期中）一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里（结果保留根号）．

【答案】
【分析】
由题意易得PC=4，∠A=30°，∠PBC=45°，进而根据三角函数可得PC=BC=4，AC=，进而可求解．
【详解】
解：由题意得：PC=4，∠A=30°，∠PBC=45°，
∴，PC=BC=4，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
36．（2021·浙江丽水市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（可以使用计算器）
（1）c＝8，∠A＝30°；
（2）b＝7，∠A＝15°；
（3）a＝5，b＝12．
【答案】（1）∠B=60°，a=4，b=；（2）∠B=75°，a≈1.9，c≈7.2；（3）∠A=22.6°，∠B=87.4°，c=13；
【分析】
（1）利用直角三角形30度角的性质求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理求出∠B，根据正切函数的定义求出a，再根据余弦函数的定义求出c即可；
（3）利用勾股定理求出c，再利用正切函数的定义求出∠A即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ac＝4，∠B＝60°，
∴ba＝4．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠B＝90°﹣15°＝75°，
∵b＝7，
∴a＝btan15°＝7×0.27≈1.9，c7.2．
（3）∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c13，
∴tanA，∴∠A≈22.6°，
∴∠B＝90°﹣22.6°＝87.4°
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识；
37．（2021·西安市曲江第一中学九年级期末）如图，在中，，以AC边为直径作交BC边于点D，过点D作于点E，ED、AC的延长线交于点F．

（1）求证：EF是的切线．
（2）若的半径为6，且，求线段AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，根据等边对等角可得∠B=∠ACD，∠ODC=∠OCD，从而得出∠B=∠ODC，根据平行线的判定可得ODAB，直接利用切线判定定理证明即可；
（2）根据圆的基本性质可得OA=OD=6，AC=12，根据sin∠CFD=，即可分别求出OF和AE的长．
【详解】
证明：（1）连接OD，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD
∴∠B=∠ODC
∴ODAB
∵DE⊥AB
∴OD⊥EF
∴EF是O的切线；
解：（2）∵的半径为6，
∴OA=OD=6，AC=12
∵
∴
即
解得：OF=10
∴AF=OA＋OF=16
∴
解得：AE=．
【点睛】
本题是圆的综合问题，涉及到切线性质与证明，三角函数等知识点，掌握切线的判定定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．
38．（2021·江苏省南通市北城中学九年级月考）在中，，，点D在边上，且，，垂足为点E，连接．求：

（1）线段的长；
（2）的正切值．
【答案】（1）；（2）2
【分析】
（1）根据勾股定理求出AB的长度,解直角三角形求得AE的长度；从而可求得EB的长度.
（2）作EF⊥BC于H，解可求出EH、CH，根据正切的定义计算即可．
【详解】
解：(1)∵，，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即线段BE的长是．
（2）过点作于点，如图，

在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，即的正切值是2．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形，掌握正切的定义和特殊直角三角形三边关系是解题的关键．
39．（2021·山东烟台市·烟台芝罘中学九年级月考）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，点是直径上的一点（不与，重合），过点作的垂线交的延长线于点．

（1）在线段上取一点，使，连接，试判断与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）CD与⊙O相切，理由见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，由OC=OB得，DQ=DC得，由得，就可以得到，即可证明结论；
（2）连接AC，利用的余弦值求出BC的长，再在中，求出BQ的长，即可得到结果．
【详解】
解：（1）CD与⊙O相切，
理由如下：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如图，连接，

∵是的直径，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】
本题考查切线的判定，圆周角定理，以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的性质定理和解直角三角形的方法．
40．（2021·全国九年级）5月27日，2021珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面处出发，沿坡角为的山坡直线上行一段距离到达处，再沿着坡角为的山坡直线上行600米到达处，通过测量数据计算出小山高．求该数学小组行进的水平距离（结果精确到．（参考数据：，，，，，

【答案】该数学小组行进的水平距离为
【分析】
通过添加辅助线构造出矩形、、，再解求得、的长，再由线段的和差、矩形的性质可得、的长，再解可求得的长，最后由线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：过作于，过作于，如图：

∴四边形是矩形
∴，
∵在中，，
∴，
∴
∵
∴
∵在中，
∴
∴
∴．
答：该数学小组行进的水平距离为．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、线段的和差等，添加辅助线构造出直角三角形和矩形是解题的关键．
41．（2021·山东济南市·济南外国语学校九年级月考）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60米至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计．
(1)求∠ADB的度数；
(2)求该楼的高度CD为多少米? (结果保留根号)

【答案】(1) ∠ADB的度数为30°；(2) 该楼的高度CD为米．
【分析】
(1)由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，利用三角形的外角性质即可求解；
(2)由(1)可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，即可求得答案．
【详解】
(1)根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，
故∠ADB的度数为30°；
(2) ∵∠ADB=∠A=30°，DC⊥AC，
∴BD=AB=60（米），
∴CD=BD•sin60°=（米）．
故该楼的高度CD为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
42．（2021·浙江省义乌市稠江中学九年级月考）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h．如图，在一条笔直公路l的旁边A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD=32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°．（sin28°≈，cos28°≈，tan28°≈）

（1）求CD，BD的长度．
（2）通过计算，判断此轿车是否超速．
【答案】（1）BD=60m，CD=32m；（2）该轿车已超速．
【分析】
（1）先在Rt△ABD中解直角三角形可得BD，然后再说明△ACD为等腰直角三角形,得到CD=AD；
（2）先求出BD的长，再结合运动时间为2秒，即可求出速度，最后将速度单位化成km/h进行比较即可
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ABD=28°，AD=32m
∴tan∠ABD== tan28°=,即,解得BD=60m
∵在Rt△ACD中, ∠ACD=45°
∴CD=AD=32m
∴BD=60m，CD=32m；
（2）∵BC=BD-CD=28m
∴轿车的速度为28m÷2s=14m/s=50.4km/h
∵50.4km/h＞50km/h
∴该轿车已超速．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和等腰直角三角形的性质，掌握运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
43．（2021·石家庄外国语教育集团九年级月考）若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为10m，扶梯的坡度为．改造后的斜坡式动扶梯的坡角为

（1）请你求出的长度；
（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：）
【答案】（1）AD=5；（2）19.2m
【分析】
（1）根据勾股定理解直角三角形即可；
（2）根据三角函数解直角三角形即可；
【详解】
（1）解∵扶梯的坡度为，
即．
在中，
，

解得．
因为不合题意，
所以．
（2）在中， ，

答：改造后的自动扶梯AC的长约为．

【点睛】
本题考查三角函数和勾股定理，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
44．（2021·涡阳县王元中学九年级月考）如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测得∠ABD＝37°，再沿BD方向前进120m到达点C，测得∠ACD＝45°，求小岛A到公路BD的距离．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】360米
【分析】
过A作AE垂直于BD，构造出直角三角形，进而在直角三角形中利用三角函数值求解即可．
【详解】
如图，过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，

在Rt△ABE中，tanB＝，BE＝，
在Rt△ACE中，tan∠ACD＝ ∴CE＝
∵BC＝BE－CE,
∴
解得：x＝360．
答：小岛A到公路BD的距离为360米．
【点睛】
本题考查利用三角函数解直角三角形的实际应用，准确构造出适当的直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．
45．（2021·张掖市第一中学九年级月考）如图所示，A，B两城市相距200km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内．（参考数据：≈1.732，≈1.414）
（1）求PA的长（结果保留根号）；
（2）请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？

【答案】（1）200（﹣1）km；（2）这条高速公路不会穿越保护区，理由见解析．
【分析】
（1）过P作PC⊥AB于点C，设AC=x，由∠BPC=45°和∠APC=30°即可求得PA=2x，PC=BC=x，即可求得；
（2）比较PC的长度和100km大小，即可判断．
【详解】
解：（1）如图，过P作PC⊥AB于点C，

根据题意可知：∠BPC=45°，∠APC=30°
设AC=x，则PA=2x
∴PC=BC=x
∴AC+BC=AB=200，
即x+x=200
解得：x=100（﹣1）
∴2x=200（﹣1）．
答：PA的长为200（﹣1）km．
（2）由（1）知，PC=x=100（3﹣）．
∵100（3﹣）＞100
∴这条高速公路不会穿越保护区．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，准确构造直角三角形是解题的关键．