考点14 中考一轮复习之反比例函数-2022届九年级《新题速递 数学》（人教版）

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考点01 中考一轮复习之反比例函数

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021秋•兰州期末）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过（1，﹣1） B．图象位于二、四象限
C．图象是中心对称图形 D．y随x的增大而减小

【答案】C
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵≠﹣1，∴点（1，﹣1）不在它的图象上，故本选项错误；
B、k＝1＞0，∴它的图象在第一、三象限，故本选项错误；
C、反比例函数的两个分支关于原点中心对称，故本选项正确；
D、k＝1＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项错误．
故选：C．
【知识点】反比例函数的性质

2.（2021秋•洛阳期末）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上三点，其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1

【答案】C
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数中k＝﹣4＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，且在每一各象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴（x1，y1）在第二象限，（x2，y2），（x3，y3）在第四象限，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，即y1＞y3＞y2．
故选：C．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

3.（2021•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（　　）

A．I＝ B．I＝ C．I＝ D．I＝

【答案】C
【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解答】解：设I＝，把（8，6）代入得：
K＝8×6＝48，
故这个反比例函数的解析式为：I＝．
故选：C．
【知识点】反比例函数的应用

4.（2021秋•福田区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．

【答案】B
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2ac+＜＞0，再根据反比例函数的性质和正比例函数的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∴2a+c＜0，
∴反比例函数y＝在二四象限，正比例函数y＝（2a+c）x的图象经过原点，且在二四象限，
故选：B．
【知识点】反比例函数的图象、正比例函数的图象、二次函数的图象

5.（2021秋•黄埔区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点M（a，b），则代数式的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣

【答案】D
【分析】根据函数的关系式可求出ab＝4，b＝a﹣1，代数式变形为，代入计算即可．
【解答】解：∵函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点M（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴b﹣a＝﹣1，
∴＝＝＝﹣；
故选：D．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

6.（2021秋•河南期末）如图，点B（﹣2，m），A（n，1）在双曲线y＝上，连接OA，OB，则S△ABO＝（　　）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】C
【分析】先根据反比例函数的解析式求得A、B的坐标，然后求得直线AB的解析式，求得与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵点B（﹣2，m），A（n，1）在双曲线y＝上，
∴﹣2m＝4，n＝4，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），A（4，1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
∴直线AB与y轴的交点为（0，﹣1），
∴S△AOB＝＝3，
故选：C．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义

7.（2021秋•顺德区期末）如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y＝的图象上，点E是AD边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为（　　）

A．2 B． C． D．1

【答案】D
【分析】设矩形的边长AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，即可得到B（，b），得到OC＝，根据题意得到DE＝b，通过证得△FOC∽△EDC，求得OF＝，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：设矩形的边长AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴B（，b），
∴OC＝，
∵点E是AD边上靠近点A的三等分点，
∴DE＝b，
∵AD∥y轴，
∴△FOC∽△EDC，
∴＝，即＝，
∴OF＝，
∴S△CDF＝＝＝1，
故选：D．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质

8.（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，点A（﹣2，0），点B在y轴上，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，且S△A′C′C＝，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

【答案】C
【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，利用面积法求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【解答】解：如图，过A'作A'H⊥y轴于H，

由旋转得：AB＝A'B，∠ABA'＝∠CBC'＝90°，BC'＝BC，△ACB≌△A'C'B，
∴∠ABO+∠HBA'＝∠HBA'+∠HA'B＝90°，
∴∠ABO＝∠HA'B，
在△AOB和△BHA'中，
∵，
∴△AOB≌△BHA'（AAS），
∴A'H＝OB，
∵C是OB的中点，
∴BO＝2BC，
∵点A（﹣2，0），
∴BH＝OA＝2，
∵S四边形A'C'BC＝S△A'BC+S△A'C'B＝S△A'C'C+S△C'BC，
∴＝+，
2BC2+2BC＝15+BC2，
BC2+2BC﹣15＝0，
解得：BC＝﹣5（舍）或3，
∴A'H＝OB＝6，OH＝6﹣2＝4，
∴A'（6，4），B（0，6），
∵D是A'B的中点，
∴D（3，5），
∴k＝3×5＝15，
故选：C．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-旋转、反比例函数系数k的几何意义

9.（2021•铁岭一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠ABO＝30°，若点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝

【答案】C
【分析】作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝OA，再证明Rt△BOC∽Rt△OAD得＝（）2＝3，利用反比例函数k的几何意义得到S△OAD＝1，则S△OBC＝3，所以|k|＝3，然后求出k得到经过点B的反比例函数解析式．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，如图，
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴OB＝OA，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠DAO＝90°，
∴∠BOC＝∠DAO，
∴Rt△BOC∽Rt△OAD，
∴＝（）2＝3，
∵S△OAD＝×|﹣2|＝1，
∴S△OBC＝3，
即|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6，
∴经过点B的反比例函数解析式为y＝．
故选：C．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式

10.（2021•山西模拟）如图，把一个含45°角的直角三角板OAB的斜边OA放在x轴的正半轴上，点O与坐标原点重合，OA＝6，把三角板OAB绕坐标原点O按顺时针方向旋转75°，使点B的对应点B'恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，由此可知，k的值为（　　）

A．﹣9 B．﹣3 C．﹣ D．﹣

【答案】D
【分析】在Rt△AOB中，斜边OA＝6，可求出直角边OB，由旋转可得OB′的长，由旋转角为75°，可求出∠AOB′＝30°，在Rt△B′OC中，通过解直角三角形可求出点B′的坐标，进而得出k的值．
【解答】解：过点B′作B′C⊥OA，垂足为C，
在Rt△AOB中，OA＝6，
∴OB＝AB＝OA＝3＝OB′，
∵∠AOA′＝75°，∠A′OB′＝45°，
∴∠B′OC＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△B′OC中，
∴B′C＝OB′＝，OC＝OB′＝，
∴点B′（，﹣），
∴k＝﹣×＝﹣，
故选：D．

【知识点】等腰直角三角形、坐标与图形变化-旋转、反比例函数图象上点的坐标特征

11.（2021春•天心区校级月考）如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（　　）
①△AOP≌△BOP；
②S△AOP＝S△BOP；
③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；
④若S△BOP＝2，则S△ABP＝8

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

【答案】B
【分析】根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m，），
∴BP＝|﹣n|，
∴S△BOP＝×|﹣n|×|m|＝|3﹣mn|，
∵PA∥x轴，
∴A（，n）
∴AP＝|﹣m|，
∴S△AOP＝×|﹣m|×|n|＝|3﹣mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，②正确；
如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y＝上，
∴S△AMO＝S△BNO＝3，
∵S△BOP＝2，
∴S△PMO＝S△PNO＝1，
∴S矩形OMPN＝2，
∴mn＝2，
∴m＝，
∴BP＝|﹣n|＝|3n﹣n|＝2|n|，
AP＝|﹣m|＝||，
∴S△ABP＝×2|n|×||＝4，④错误；
故选：B．


【知识点】反比例函数综合题

12.（2021•花溪区一模）如图，过原点的直线与反比例函数y═（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】B
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC，即可求解．
【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，

∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+××2m+×××2m＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
方法二：求出D的坐标可以求出FH＝2m，FC＝3m，OC＝4m，×4m×（）＝2k＝12，可得k＝6．
故选：B．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

13.（2021•镇江模拟）如图所示，过原点且与y＝x垂直的直线y＝k1x与反比例函数y＝﹣相交于A、B两点，过B点作与x轴平行的直线，交y＝x于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C
【分析】设出B（a，﹣），点A（﹣a，），点C（﹣，﹣），利用△ABC的面积＝BC×（yA﹣yB）＝×（a+）（）＝×（2+）＝，即可求解．
【解答】解：直线y＝k1x与直线y＝x垂直，故k1＝﹣，
则该直线的表达式为：y＝﹣x①，反比例函数表达式为y＝﹣②，
联立①②并解得：x2＝，
设点B（a，﹣），点A（﹣a，），点C（﹣，﹣），
则a2＝，
△ABC的面积＝BC×（yA﹣yB）＝×（a+）（）＝×（2+）＝，
故选：C．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

14.（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】B
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．

∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝9，
∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝，
∴k＝12．
故选：B．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质


二、填空题（共10小题）

15.（2021秋•铁锋区期末）已知反比例函数的解析式为y＝，则当y＜2时，自变量x的取值范围是　　．

【答案】x＞1或x＜0
【分析】直接利用反比例函数的性质结合所在象限分析得出答案．
【解答】解：当0＜y＜2时，x＞1；
当y＜0时，x＜0，
故当y＜2时，自变量x的取值范围是：x＞1或x＜0．
故答案为：x＞1或x＜0．
【知识点】反比例函数的性质

16.（2021秋•瓜州县期末）若反比例函数y＝的图象在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是　　．

【答案】m＜3
【分析】直接利用反比例函数增减性得出m的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在某象限内，y随着x的增大而减小，
∴3﹣m＞0，
解得：m＜3．
故答案为：m＜3．
【知识点】反比例函数的图象、反比例函数的性质

17.（2021•西城区二模）如图，双曲线y＝与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为　　．


【答案】（-2，-3）
【分析】利用正比例函数和反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出B点坐标．
【解答】解：∵双曲线y＝与直线y＝mx交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
而点A的坐标为（2，3），
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

18.（2021•芗城区校级一模）如图，A、B是函数y＝的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为S＝　　．

【答案】2
【分析】根据反比例函数中k的几何意义，则S△AOC＝S△ODB＝，又三角形任意一条边上的中线都将这个三角形的面积二等分，由OD＝OC得出S△AOC＝S△ODA，S△ODB＝S△OBC，进而求出四边形ACBD的面积．
【解答】解：根据反比例函数中k的几何意义，则S△AOC＝S△ODB＝，
根据反比例函数的对称性可知：OB＝OA，OD＝OC，
∴四边形ABCD的面积为S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×＝2．
故答案为2．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义、关于原点对称的点的坐标、反比例函数图象上点的坐标特征

19.（2021秋•连山区期末）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在x轴的正半轴上，AC交y轴于点B，若AB＝BC，△AOB的面积为2，则k的值为　　．


【答案】-8
【分析】】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADB≌△COB，即可求得BD＝OB，得出△AOB的面积＝△ABD的面积＝2，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．
【解答】解：过点A作AD⊥y轴于D，
∴∠ADB＝∠BOC＝90°，
在△ADB和△COB中，
，
∴△ADB≌△COB（AAS），
∴BD＝OB，
∴S△ABD＝S△AOB＝2，
∴S△AOD＝4，
根据反比例函数k的几何意义得|k|＝S△AOD＝4，
∴|k|＝8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义

20.（2021秋•龙华区期末）如图，已知直线y＝k1x与双曲线y＝交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线y＝经过点C，则的值是　　．


【分析】连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，根据旋转的性质得到△ABC是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出OA＝OB，即可得出CO⊥AB，∠BCO＝∠ACB＝30°，即可得到＝，证得∴△BOM∽△OCN，得到＝（）2＝，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△BOM＝|k1|＝﹣k1，S△CON＝|k2|＝k2，从而求得＝﹣．
【解答】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵直线y＝k1x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴OA＝OB，
∴CO⊥AB，∠BCO＝∠ACB＝30°，
∴＝，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BOM+∠CON＝90°，
∵∠BOM+∠MBO＝90°，
∴∠CON＝∠MBO，
∵∠BMO＝∠ONC＝90°，
∴△BOM∽△OCN，
∴＝（）2＝，
∵S△BOM＝|k1|＝﹣k1，S△CON＝|k2|＝k2，
∴＝，
∴＝﹣，
故答案为﹣．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

21.（2021秋•福田区期末）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线y＝（x＜0）于C点，且BC交x轴于M点，BM＝2CM，则k＝　　．


【答案】14
【分析】作CD⊥OA于D，先确定A点坐标为（﹣8，0），B点坐标为（0，4），得到OB＝4，OA＝8，易证得Rt△BMO∽Rt△CMD，则，而BM＝2CM，OB＝4，则可计算出CD＝2，然后再证明Rt△BAO∽Rt△ACD，利用相似比可计算出AD，于是可确定C点坐标，然后把C点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．
【解答】解：作CD⊥OA于D，如图，

把x＝0代入y＝x+4得y＝4，把y＝0代入y＝x+4得x+4＝0，解得x＝﹣8，
∴B点坐标为（0，4），A点坐标为（﹣8，0），即OB＝4，OA＝8，
∵CD⊥OA，
∴∠CDM＝∠BOM＝90°，
而∠CMD＝∠BMO，
∴Rt△BMO∽Rt△CMD，
∴，
而BM＝2CM，OB＝4，
∴CD＝2，
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
而∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∴Rt△BAO∽Rt△ACD，
∴，即，
∴AD＝1，
∴OD＝OA﹣DA＝8﹣1＝7，
∴C点坐标为（﹣7，﹣2），
把C（﹣7，﹣2）代入y＝得k＝14．
故答案为14．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

22.（2021秋•锦江区校级期中）如图，函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°后，和过点A（2，2），B（1，﹣）的直线相交于点M、N，若△OMN的面积是2，则k的值为　　．


【分析】由题意点A（2，2），B（1，﹣）可知：OA⊥OB，建立新的坐标系：OB为x'轴，OA为y'轴，设M（x1，﹣2x1+4），N（x2，﹣2x2+4），利用根与系数的关系和△OMN的面积是2，可得结论．
【解答】解：连接OA，OB，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，
∵点A（2，2），B（1，﹣），
∴OE＝2，AE＝2，
∴OA＝＝＝4，∠EAO＝30°，
∴∠AOE＝60°，
同理得：OB＝2，∠BOF＝30°，
∴∠AOB＝90°，
∴OA⊥OB，
∵函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°，
∴建立新的坐标系：OB为x'轴，OA为y'轴，
则旋转后的函数解析式为：y'＝，

在新的坐标系中，A（0，4），B（（2，0），
设直线AB的解析式为：y'＝mx'+n，
则，解得，
∴直线AB的解析式为：y'＝﹣2x'+4，
设M（x1，﹣2x1+4），N（x2，﹣2x2+4），
由﹣2x'+4＝得：2x'2﹣4x'+k＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2＝，
∵S△OMN＝S△AOB﹣S△AOM﹣S△BON＝×2×4﹣﹣＝2，
∴4﹣2x1+2x2﹣4＝2，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴（x1﹣x2）2＝3，
∴x12﹣2x1x2+x22＝3，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝3，
∴4﹣4×＝3，
∴k＝；
故答案为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

23.（2021•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为　　．


【分析】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，

直线AB与x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线l与x轴交点的坐标C（1，0），
设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，
故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y＝②，
联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，
联立②③并解得：x＝（舍去负值）；
故答案为：2或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

24.（2021•莒县一模）如图，一次函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于点A，B，点P在以C（﹣4，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为　　．

【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，3t），求出CD、BD的表达式，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．
【解答】解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2＝5，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，

∵CP＝1，
∴BC＝4，
∵B在直线y＝3x上，
设B（t，3t），则CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，BD＝﹣3t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴42＝（t+4）2+（﹣3t）2，
t＝0（舍）或﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣×（﹣）＝；
故答案为：．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题


三、解答题（共10小题）

25.（2021•潍坊一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当kx+b＞时，x的取值范围．


【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出m得到反比例函数解析式，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴m＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）当﹣1＜x＜0或x＞3，kx+b＞．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

26.（2021•河北模拟）如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为4．
（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y＝的图象上，当y≤2（y≠0）时，求自变量x的取值范围．


【分析】（1）利用三角形面积公式得到×4×m＝4，解得m＝2，从而得到m的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值；
（2）结合图象，点C点在第三象限或C点在第一象限且在A点右侧时满足条件．
【解答】解：（1）∵△AOB的面积为4．A（4，m），
∴×4×m＝4，解得m＝2，
∴A（4，2），
∴k＝2×4＝8；
（2）当y≤2（y≠0）时，x＜0或x≥4．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义

27.（2021•山西模拟）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于A（2，3），B（6，n）两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）求当x为何值时，y1＞0．


【分析】（1）先利用A点坐标确定反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）令y1＞0．然后解不等式kx+b＞0即可．
【解答】解：（1）把A（2，3）代入y2＝得m＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把B（6，n）代入得6n＝6，解得n＝1，
∴B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y1＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x+4；
（2）当y1＞0时，即﹣x+4＞0，解得x＜8，
∴当x＜8时，y1＞0．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

28.（2019•成武县一模）如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C，△BOC的面积为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线y＝（x＞0）的交点情况．


【分析】（1）令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及△BOC的面积是即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式；
（2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论．
【解答】解：令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

令直线y＝﹣x+5中y＝0，则0＝﹣x+5，解得：x＝5，
即OC＝5．
∵△BOC的面积是，
∴OC•BE＝×5•BE＝，
解得：BE＝1．
结合题意可知点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣x+5，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，1），
∴k＝4×1＝4，
即反比例函数的解析式为y＝；

（2）将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y＝﹣x+5﹣1＝﹣x+4，
将y＝﹣x+4代入到y＝中，得：﹣x+4＝，
整理得：x2﹣4x+4＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴平移后的直线与双曲线y＝只有一个交点．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

29.（2021秋•荔湾区期末）如图，直线y＝﹣2x+2与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣2，a）和B（3，b）．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出＞﹣2x+2时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．


【分析】（1）把点A（﹣2，a）和B（3，b）代入y＝﹣2x+2求出a、b的值，确定出A、B的坐标，再将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的交点坐标，结合图形，找出满足题意不等式的解集即可；
（3）对于一次函数，确定出C的坐标，三角形AOB面积＝三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可．
【解答】解：（1）点A（﹣2，a）和B（3，b）代入y＝﹣2x+2得：a＝4+2＝6，b＝﹣6+2＝﹣4，
∴A（﹣2，6）和B（3，﹣4）
把A（﹣2，6）代入反比例解析式得：k＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）由图象得：＞﹣2x+2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3；
（3）对于一次函数y＝﹣2x+2，
令y＝0，得到x＝1；即C（1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝5．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

30.（2021秋•浦东新区期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F．
（1）直接写出点B和点E的坐标；
（2）求直线AB与反比例函数的解析式；
（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．


【分析】（1）根据OA＝2，OC＝3，得到点B的坐标；
（2）运用待定系数法求直线OB的解析式，根据E是AB的中点，求得点E的坐标，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（3）根据反比例函数的解析式求得点F的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，
∴B（2，3），E（2，）；
（2）设直线OB的解析式是y＝k1x，
把B点坐标代入，得k1＝，
则直线OB的解析式是y＝x．
设反比例函数解析式是y＝，
把E点坐标代入，得k2＝3，
则反比例函数的解析式是y＝；

（2）由题意得Fy＝3，代入，
得Fx＝1，即F（1，3）．
则四边形OEBF的面积＝矩形OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积＝2×3﹣1×3﹣2×＝3．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式

31.（2021秋•锦州期末）如图，点A，B在x轴上，以AB为边的正方形ABCD在x轴上方，点C的坐标为（1，4），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过CD的中点E，F是AD上的一个动点，将△DEF沿EF所在直线折叠得到△GEF．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（2）若点G落在y轴上，求线段OG的长及点F的坐标．


【分析】（1）根据正方形的性质得出CD＝4，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据勾股定理求得MG，即可求得OG，通过证得△EGM∽△GFN，求得GN，从而求得F的坐标．
【解答】解：（1）设DC与y轴的交于点M，
∵C（1，4），
∴BC＝4，MC＝1，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD＝BC＝4，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝CD＝2，
∴EM＝EC﹣MC＝1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝xy＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数为y＝﹣；
（2）如图，过点F作FN⊥y轴于点N，
由折叠可知，DE＝EG＝2，∠FGE＝∠D＝90°，
在Rt△GME中，∠GME＝90°，
∴MG＝＝＝．
∴OG＝OM﹣MG＝4﹣，
∵∠FNG＝∠FGE＝∠GME＝90°，
∴∠FGN+∠EGM＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，
∴∠EGM＝∠GFN，
∴△EGM∽△GFN，
∴，
∴，
∴GN＝，
∴ON＝OM﹣MG﹣GN＝4﹣﹣＝4﹣2，
∴F（﹣3，4﹣2）．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、翻折变换（折叠问题）、正方形的性质、待定系数法求反比例函数解析式

32.（2021秋•肃州区期末）已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．


【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，2）在上，
∴m＝﹣4×2＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为．
∵B（n，﹣4）在上，
∴n＝2，
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴，
解之得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；

（3）由图可得，不等式kx+b≥的解集为x≤﹣4或0＜x≤2．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

33.（2021秋•松山区期末）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y＝（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
（3）若＞x＞0，直接写出x的取值范围．


【分析】（1）将x＝4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将C纵坐标代入反比例解析式求出横坐标，确定出C坐标，即CD与OD的长，三角形AOC面积＝三角形COM面积+梯形ANMC面积﹣三角形AON面积，求出即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，点A在直线y＝x上，
∴点A的纵坐标为y＝×4＝2，即A（4，2）．
又∵点A（4，2）在双曲线y＝上，
∴k＝2×4＝8；
（2）∵点C在双曲线y＝上，且点C纵坐标为8，
∴C（1，8）．
如图，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N．
∵S△COM＝S△AON＝＝4，
∴S△AOC＝S四边形CMNA＝×（|yA|+|yC|）×（|xA|﹣|xc|）＝15．
（3）若＞x＞0，则x的取值范围是0＜x＜4．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

34.（2021秋•兰州期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．


【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分两种情形分别讨论求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴G（，1），A（，4），
∴AG＝4﹣1＝3，
∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝．
（3）如图2中，

①当∠AOE1＝90°时，
∵点A（，4），
∴直线AC的解析式为y＝x，
∴直线OE1的解析式为y＝﹣x，
当y＝2时，x＝﹣，
∴E1（﹣，2）；
②当∠OAE2＝90°时，可得直线AE2的解析式为y＝﹣x+，
当y＝2时，x＝，
∴E2（，2）．
综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）．
【知识点】反比例函数综合题