专题56 三角形中的辅助线问题-2022年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题56 三角形中的辅助线问题

1、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．

（1）求CD的长．

（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．

①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．

②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

2、已知：如图1，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，BE为中线，点D为BC边上一点，BD＝2CD，DF⊥BE于点F，EH⊥BC于点H．

（1）CH的长为　   　；

（2）求BF•BE的值；

（3）如图2，连接FC，求证：∠EFC＝∠ABC．

3、如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．

（1）求BC边上的高线长．

（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．

①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．

②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长

4、（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．

填空：①则的值为　   　； ②∠EAD的度数为　   　．

（2）类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；

（3）拓展延伸

如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．

5、已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．

（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．

①若∠ABD＝30°，DE＝，求BF的长度；

②求证：DG＝EF﹣FG；

（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．

6、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，点F分别在边AB，AD上，AE＝DF＝2，连接DE，CF交于点G．连接AC与DE交于点M，延长CB至点K，使BK＝3，连接GK交AB于点N．

（1）求证：CF⊥DE；

（2）求△AMD的面积；

（3）请直接写出线段GN的长．

7、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．

（1）依题意将图形补全；

（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：

想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；

想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，

证明HF＝EG；

…

请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）

8、如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD．

（1）求证：OC垂直平分BD；

（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．

①依题意补全图形；

②若AD＝6，sin∠AEC＝，求CD的长．

9、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE．

（1）补全图形；

（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；

（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值．

10、已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．

（1）求证：EF⊥DA．

（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．

11、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．

（1）求证：CD＝CE；

（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；

（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．

12、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，求证：AD＝2DC．

（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；

（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

13、如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．

（1）求证．AD＝FD；

（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；

（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．