第26讲 正弦定理和余弦定理（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第26讲 正弦定理和余弦定理（讲）思维导图知识梳理1．正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C.3．三角形的面积公式　 (1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 题型归纳题型1    利用正、余弦定理解三角形【例1-1】（2020春•广东期末）在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，则　　A． B． C． D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：因为，，，则由正弦定理，可得．故选：．【例1-2】（2020春•安徽期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则　　A．5 B． C．29 D．【分析】直接利用余弦定理求出结果．【解答】解：已知，，，利用余弦定理：，解得．故选：．【例1-3】（2020春•云南期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则　　A． B． C． D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，可得，根据题意可求范围，根据正弦函数的图象和性质即可求解的值．【解答】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，可得，，又，．故选：．【例1-4】（2020春•五华区校级期末）已知的内角，，所对边分别为，，，，．（1）求的值；（2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值．【分析】（1）由已知利用余弦定理可求的值，结合范围，可求的值．（2）选择①作为已知条件，由正弦定理可求的值，结合，得为锐角，可求，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值；选择②作为已知条件，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值．【解答】解：（1）由，，得：，又因为，所以． （2）选择①作为已知条件．在中，由，以及正弦定理，得，解得，由，得为锐角，所以，因为在中，，所以，所以． 选择②作为已知条件，因为在中，，所以，所以． 【跟踪训练1-1】（2020春•宁德期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为　   　．【分析】利用余弦定理可得，解方程即可得解的值．【解答】解：在三角形中，，，，由余弦定理可得：，可得，可得：，解得，或．故答案为：4．【跟踪训练1-2】（2020春•湖北期末）在中，，，对应边分别为，，，且，，，则的边　  　．【分析】由可知，然后由可求，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由可求，结合同角平方关系可求，代入，进而可求，进而根据余弦定理可求的值．【解答】解：，，，可知，，由正弦定理，，于是可得，，，又，可得，，可得，，由余弦定理可得．故答案为：6．【跟踪训练1-3】（2020春•威宁县期末）在中，，，，则　　A． B． C．或 D．或【分析】由已知利用正弦定理求出的值，利用大边对大角可得为锐角，即可得解的值．【解答】解：在中，，，，由正弦定理，得，，可得为锐角，．故选：．【跟踪训练1-4】（2020春•威宁县期末）内角，，的对边分别为，，，若，，则　　    ．【分析】由已知条件及余弦定理可得，再由正弦定理及的正弦值可得的正切值，再由在三角形中可得的值．【解答】解：因为，而，所以，由正弦定理可得，而，所以，而，所以故答案为．【跟踪训练1-5】（2020春•成都期末）在中，若角，，，则角　　   ．【分析】利用正弦定理、三角形边角大小关系即可得出．【解答】解：，，，由正弦定理，可得，，，为锐角，．故答案为：．【跟踪训练1-6】（2020春•运城期末）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理将中的角化为边，得，再结合余弦定理，可求出，从而得角的大小；（2）易知，将其代入，并结合正弦的两角差公式和辅助角公式可化简为，然后由锐角，可求得，，最后根据正弦函数的图象与性质即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理知，，，，即，又，由余弦定理知，，，．（2）由（1）知，，，，锐角，且，，，解得，，，，，，故的取值范围为，．【名师指导】1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 题型2    判断三角形的形状【例2-1】（2020春•聊城期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的形状为　　A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【分析】利用正弦定理将已知条件中的等式进行边化角的代换，得，再由二倍角公式知，从而得出或；再由余弦定理可推出，即，故为等边三角形．【解答】解：由正弦定理知，，，，即，或，即或．，由余弦定理知，，，．不成立，符合题意，为等边三角形．故选：．【例2-2】（2020•广西二模）在中，若，则的形状是　　A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【分析】运用二倍角的余弦公式和正弦定理，以及二倍角的正弦公式，化简整理即可判断三角形的形状．【解答】解：由已知，所以或即或，由正弦定理，得，即，因为、均为的内角，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形．故选：．【跟踪训练2-1】（2020春•成都期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为　　A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【分析】易判断最大角为，直接由余弦定理可求，结合的取值来判断该三角形的形状．【解答】解：由，知最大角为，，由于，，，为钝角三角形．故选：．【跟踪训练2-2】（2020•浙江模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，，则的形状为　        　，的大小为　   　．【分析】由正弦定理可得，由两角和的正弦公式可求得，根据，故，从而得到的形状为等腰三角形．由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合的范围即可得解的值．【解答】解：由，利用正弦定理可得：，由两角和的正弦公式可得：，，又，，故的形状为等腰三角形，为的面积，，，，又由余弦定理可得，，即，，．故答案为：等腰三角形，．【跟踪训练2-3】（2019春•蓟州区期中）已知中，角，，所对的边分别是，，，且，则该三角形的形状是　                  　．【分析】利用正弦定理化简，通过两角差的正弦函数，求出与的关系，得到三角形的形状．【解答】解：在中，，，所对边分别为，，，若 ，所以，所以或，所以或．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形． 【名师指导】1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 题型3    三角形的面积问题 【例3-1】（2020•北京）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面积．条件①：，；条件②：，．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【分析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理求出，再结合，即可求出的值，（Ⅱ）由正弦定理可得，再根据三角形的面积公式即可求出，选择条件②（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合，即可求出的值，（Ⅱ）由两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，，，，即，联立，解得，，故．（Ⅱ）在中，，，由正弦定理可得，，．选择条件②（Ⅰ）在中，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，故；（Ⅱ）在中，，，【例3-2】（2020春•辽宁期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．【分析】（1）利用余弦定理将条件转化为变得关系即可求出的余弦值．（2）由余弦定理得到，结合基本不等式得到的范围，进而可得面积的最大值【解答】解：（1）由余弦定理可得，整理得，则；（2）由余弦定理，即，因为，所以，当且仅当时取“”因为，则则．【跟踪训练3-1】（2020春•道里区校级期末）中，角、、所对边分别为、、，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由正弦定理即可求解．（Ⅱ）由利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用余弦定理可求，的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）在中，角，，的对边分别为，，，，由正弦定理得：，化简，得，，，，．（Ⅱ），，，由余弦定理得：，解得，解得，．【跟踪训练3-2】（2020春•广州期末）已知的外接圆半径为，，，分别是角，，的对边，且．（1）求角；（2）若是边上的中线，求的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）由题意可得，两边平方可得：，利用平面向量数量积的运算可得：，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）由正弦定理，可得，，由已知可得：，，即，由余弦定理可得，，．（2）边上的中线，，又，两边平方，可得：，，整理可得：，解得，或（舍去），．【跟踪训练3-3】（2020春•徐州期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，，___且，请从①，②，③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时的面积．【分析】依次代入条件①②③，均可求出，再利用正弦定理可求得，进而可求得，再利用面积公式求解即可．【解答】解：情形一：若选择①，由余弦定理，因为，所以；情形二：若选择②，则，因为，所以，因为，所以；情形三：若选择③，则，所以，因为，所以，所以，所以；由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．故答案为：．【名师指导】1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．