八年级数学下学期期中测试卷（人教版 河南专用）01

八年级数学下学期期中测试卷01

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：A、原式＝，不符合题意；

B、是最简二次根式，符合题意；

C、原式＝2，不符合题意；

D、原式＝2，不符合题意；

故选：B．

2．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4 B．1，1， C． D．5，12，13

【答案】A

【解析】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；

B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；

C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；

D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．

故选：A．

3．下列命题中，真命题的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形 

B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 

C．对角线相等的四边形是矩形 

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

【答案】D

【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．

解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，A是假命题；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，B是假命题；

对角线相等且平分的四边形是矩形，C是假命题；

对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题，

故选：D．

4．下列计算正确的是（　　）

A．﹣＝ B．3×2＝6   C．（2）2＝16 D．＝1

【答案】B

【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误；

3×2＝6，B正确；

（2）2＝8，C错误；

＝，D错误；

故选：B．

5．已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是（　　）

A．3 B． C．3或 D．9或41

【答案】C

【解析】解：当5为斜边长时，a＝＝3，

当a为斜边长时，a＝＝，

则a的值为3或，

故选：C．

6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．5

【答案】C

【解析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OB＝3，

故选：C．

7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（　　）

A．9 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，

∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，

∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，

∴大正方形的边长为5．

故选：C．

8．在菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（　　）

A．2 B．4 C．1 D．2

【答案】D

【解析】由菱形ABCD中，∠DAB：∠ABC＝1：2，可求得∠DAB的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解．

解：如图：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，

∵菱形ABCD的周长为8，

∴AB＝2，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵∠DAB：∠ABC＝1：2，

∴∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝AB＝2，

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝∠DAB＝30°，

∴OB＝1，OA＝OB＝，

∴AC＝2OA＝2，

∵2＞2，

∴较短的那条对角线长为2，

故选：D．

9.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米．

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

【答案】A

【解析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC＝2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE＝1.5米，所以AE＝0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．

解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，

在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，

故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．

故选：A．

10．在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（　　）

A．四条边都相等的四边形是菱形 

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 

C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 

D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【答案】B

【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判断即可．

解：由作图的第一步可知AD＝AB，

由作图的第二步可知CD∥AB，

由作图的第三步可知AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），

故选：B．

二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．中a的取值范围　      　．

【答案】a≥﹣1且a≠1．

【解析】直接利用二次根式和分式的性质得出答案．

解：由题意，得a+1≥0且a﹣1≠0．

解得a≥﹣1且a≠1．

故答案是：a≥﹣1且a≠1．

12．已知，则x+y＝　  　．

【答案】1．

【解析】解：∵，

∴，

解得，

则x+y＝﹣1+2＝1，

故答案为1．

13．已知菱形ABCD的面积是12cm2，一条对角线长为4cm，则菱形的边长是　  　cm．

【答案】．

【解析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．

解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4＝6，

∵菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长＝＝cm．

故答案为．

14.图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是　   　．

【答案】或．

【解析】根据勾股定理得出AB，CD的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．

解：AB＝，CD＝，

当EF为斜边时，EF＝，

当EF是直角边时，EF＝，

故答案为：或．

15.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：

①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．

其中正确的序号是　    　（把你认为正确的都填上）．

【答案】①②④．

【解析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE＝AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE＝DF，

∵BC＝DC，

∴BC﹣BE＝CD﹣DF，

∴CE＝CF，

∴①说法正确；

∵CE＝CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∵∠AEF＝60°，

∴∠AEB＝75°，

∴②说法正确；

如图，连接AC，交EF于G点，

∴AC⊥EF，且AC平分EF，

∵∠CAF≠∠DAF，

∴DF≠FG，

∴BE+DF≠EF，

∴③说法错误；

∵EF＝2，

∴CE＝CF＝，

设正方形的边长为a，

在Rt△ADF中，

AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，

解得a＝，

则a2＝2+，

S正方形ABCD＝2+，

④说法正确，

故答案为：①②④．

三．解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.计算题（9分）

（1）（+﹣）（﹣+）；

（2）（﹣1）2+2（﹣）（+）；

（3）（﹣﹣）×（﹣2）．

【解析】解：（1）（+﹣）（﹣+）

＝[+（﹣）][﹣（﹣）]

＝2﹣（﹣）2

＝2﹣（3+6﹣6）

＝﹣7+6；

（2）（﹣1）2+2（﹣）（+）

＝2+1﹣2+2×（3﹣2）

＝3﹣2+6﹣4

＝3；

（3）（﹣﹣）×（﹣2）

＝×（﹣2）﹣×（﹣2）﹣×（﹣2）

＝﹣12++

＝﹣12+2+18

＝8．

17．（9分）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．

（1）求△ABC的面积；

（2）通过计算判断△ABC的形状；．

（3）求AB边上的高．

【解析】解：（1）△ABC的面积＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5；

（2）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（3）∵AC＝＝2，BC＝，△ABC是直角三角形，

∴AB边上的高＝＝＝2．

18.（8分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．

【解析】根据平行四边形的性质证明∠2＝∠FCB，进而可得∠1＝∠FCB，然后证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，

∴∠2＝∠FCB，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠FCB，

∴AE∥FC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE＝CF．

19.（10分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积．

【解析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．

解：连接BD，

∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，

∴BD＝＝5（cm）

∴S△ABD＝AB•AD＝6（cm2）．

在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，

∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，

∴S△DBC＝BD•BC＝30（cm2）．

∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．

答：四边形ABCD的面积为24cm2．

20．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

（1）求证：BD＝EC；

（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．

【解析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．

【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，

∴AB＝CD，AB∥CD，

又∵BE＝AB，

∴BE＝CD，BE∥CD，

∴四边形BECD是平行四边形，

∴BD＝EC；

（2）解：∵平行四边形BECD，

∴BD∥CE，

∴∠ABO＝∠E＝50°，

又∵菱形ABCD，

∴AC丄BD，

∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．

21．（9分）阅读并解答问题：

明朝数学家程大位在其数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：

原文：平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？

译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？（注：古代尺为步）

建立数学模型：如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高尺，将它往前推进两步，此时踏板升高离地尺．已知于点，于点，于点，点在上，，求秋千绳索（或）的长度．

请解答下列问题：

（1）直接写出四边形是哪种特殊的四边形；

（2）求的长．

【解析】解：（1）四边形是矩形．

设尺．

，，

．

在中，，，，

根据勾股定理，得，

整理，得．

解得．

答：秋千绳的长度为尺．

22.【阅读材料】

嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：

5+2＝（2+3）+2＝（）2+（）2+2×＝（+）2；

8+2＝（1+7）+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2．

【类比归纳】

（1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方；

（2）请运用嘉嘉的方法化简：．

【变式探究】

若a±2＝（±）2，且a，m，n均为正整数，则a＝　  　．

【解析】解：【类比归纳】

（1）；

（2）；

【类比归纳】∵，

∴m+n＝a，mn＝21，

∵a，m，n均为正整数，

∴mn＝1×21＝3×7，

∴a＝22或10．

故答案为：22或10．

23.（11分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；

（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

【解析】（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE＝PD；

（2）利用三角形全等得出，BP＝PD，由PB＝PE，得出PE＝PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；

（3）利用PE＝PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．

【解答】解：（1）当点P在线段AO上时，

在△ABP和△ADP中，

∴△ABP≌△ADP，

∴BP＝DP，

∵PB＝PE，

∴PE＝PD，

过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，

∵PB＝PE，PN⊥BE，

∴BN＝NE，

∵BN＝DM，

∴DM＝NE，

在Rt△PNE与Rt△PMD中，

∵PD＝PE，NE＝DM，

∴Rt△PNE≌Rt△PMD，

∴∠DPM＝∠EPN，

∵∠MPN＝90°，

∴∠DPE＝90°，

故PE⊥PD，

PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE＝PD，PE⊥PD；

（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，

∵PA＝PA，

∴△BAP≌△DAP（SAS），

∴PB＝PD，

又∵PB＝PE，

∴PE＝PD．

（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．

（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．

∵△ADP≌△ABP，

∴∠ABP＝∠ADP，

∴∠CDP＝∠CBP，

∵BP＝PE，

∴∠CBP＝∠PEC，

∴∠PEC＝∠PDC，

∵∠1＝∠2，

∴∠DPE＝∠DCE＝90°，

∴PE⊥PD．

综合（i）（ii），PE⊥PD；

（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD＝PE．