2022届高考数学二轮专题复习9空间几何体的结构特征表面积和体积

空间几何体的结构特征、表面积和体积

1．柱、锥、台的表面积和体积

1．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，

，则，

又，所以，故，故选C．

2．祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为，

故选A．

3．阿基米德（公元前287年~公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家．他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱的底面半径为，则其母线长为，

因为圆柱的表面积公式，所以，解得，

因为圆柱的体积公式为，所以，

由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的，

所以所求圆柱内切球的体积为，故选D．

4．在棱长为2的正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为___________．

【答案】

【解析】因为该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，所以圆锥，，

，

故答案为．

5．如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，该几何体的表面积分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，另一部分是8个完全相同的等边三角形，

6个完全相同的正方形的面积之和为：，

8个完全相同的等边三角形的面积之和为，

故该几何体的表面积为，故选B．

6．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，，则三棱锥的体积等于（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将三棱锥翻转一下，如图所示，

因为，所以，所以为直角三角形，

由斜线长相等，则射影长相等，可得点A在平面内的射影为直角三角形的外心，

所以为直角斜边的中点，且平面，则为三棱锥的高，

由勾股定理可得，

所以三棱锥的体积，

故选A．

7．已知正三棱锥的高为9，平行于底面的平面截三棱锥得到正三棱锥和棱台，若正三棱锥的高为3，，则正三棱锥的体积是________，棱台的体积是________．

【答案】，

【解析】如图所示，

由棱台的性质可知，且，

所以，即，且，即，

所以，

，

，

故答案为，．

8．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，

因为MN平行于地面，故，

椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，

故，

在中，，即圆柱的底面半径为，

所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半，

即为，故选C．

9．在直角中，是斜边上一点，与绕边所在直线旋转一周得到的几何体体积分别为，，若，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，，，

因为，所以，，

所以，

，

所以，∴，故选D．

10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，如用与x轴相距为，且垂直于y轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；这个旋转体的体积为______．

【答案】，

【解析】（1）该双曲线的渐近线为，

则直线，与渐近线交于点，，

与双曲线交于点，，

则旋转体的截面应为一个圆环，

其内径，外径，故截面积为，

同理可得，作直线，也可得截面积为．

（2）根据祖暅原理，该旋转体的体积与底面积为，

高为的圆柱的体积相等，故其体积为．

故答案为；．

11．已知正方体的棱长为，点、分别在、上，，．动点在侧面内（包含边界）运动，且满足直线平面，则点在侧面的轨迹的长度为_____________，三棱锥的体积为_____________．

【答案】，

【解析】在棱、分别取点、使得，，连接，

取的中点，连接、，

因为且，由题意可知且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

平面，平面，所以，平面，

同理可证四边形、均为平行四边形，则，

因为平面，平面，故平面，

，故平面平面，

当时，平面，则平面，

所以，点在侧面内的轨迹为线段，

且，

又因为，故四边形为矩形，则，，所以，．

平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

，

．

故答案为；．

2．几何体外接球、内切球问题

1．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（）

A．16π B． C．8π D．

【答案】B

【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连接，如图，

则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，

于是得，

因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，

所以球O的体积是，故选B．

2．已知一个圆锥形饮料杯的侧面展开图为半圆，销售商在杯内装入部分饮料后，放入一个实心冰球使其恰好淹没在饮料中，则该冰球与饮料的体积比为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设饮料圆锥面的底面半径为r，母线长为l，由侧面展开图是半圆，故，

圆锥的高，故圆锥的体积为，

设冰球的半径为R，则，体积为．

所以冰球与饮料的体积比为，故选C．

3．在如图所示的棱长为2的正方体中，作与正方体体对角线垂直的平面，（1）三棱锥的外接球的表面积为___________；（2）平面与正方体的截面面积最大值为___________．

【答案】，

【解析】三棱锥的外接球即是正方体的外接球，正方体的外接球直径为，

所以外接球表面积为．

正方体中，，

面，

同理可证面，同理可证面，

由于垂直平面，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为．

故答案为，．

4．已知四面体ABCD，平面平面ABC，，，，且四面体ABCD外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_________．

【答案】

【解析】如图所示，取AB的中点H，连接DH，

因为平面平面ABC，平面平面，，

所以平面ABC，所以，

又因为，所以平面ABD，可将其补成直三棱柱，

∵，，∴，

的外接圆半径为，

因为四面体ABCD外接球的表面积为，所以外接球半径，

所以，∴，

∴．

故答案为．

5．已知正方体的棱长为6，则过，，三点的平面与该正方体内切球截面的面积为（）

A．3π B．6π C．9π D．12π

【答案】B

【解析】如图正方体中，过，，三点的平面与正方体切于，

且分别是的中点，正方体内切球为，连接，

则互相垂直，且，所以，

则过，，三点的截面为球内过这三点的截面圆，

截面圆的半径为，其面积为，故选B．

6．已知以正方体6个表面的中心为顶点，形成一个八面体，该八面体的内切球的体积与正方体的外接球的体积比为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】考虑八面体的上半部分为正四棱锥，如图：

设正方体棱长为2，则底面正四边形边长为，

设M为内切球的球心，侧面正三角形边长为，

故侧面上的高为，

设T为八面体的内切球与面PEF的切点，则T落在PN上，连接MT，

则，

故，即有，即，

又，，

设正八面体内切球半径为r，故，

又正方体外接球直径为正方体的体对角线长，故外接球半径为，

设八面体的内切球的体积与正方体的外接球的体积分别为，

故，故选C．

7．已知平面垂直于平面，四边形为菱形，，，，，三棱锥的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】空间中到两点距离相等的点的集合为平面，

所以球心平面，

在平面上到两点距离相等的点的集合为线段的垂直平分线，

取线段的中点为，

∵，∴，

由余弦定理得，，∴，

故为线段的垂直平分线，所以球心直线，

取的中点为，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

设，，，O是球心，只需要使，

即，解得，

所以，所以，故选A．

8．（多选）已知三棱锥的所有棱长都为2，且球O为三棱锥的外接球，点M是线段BD上靠近D点的四等分点，过点M作平面截球O得到的截面面积为S，则S的可能取值为（）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】因为三棱锥是正四面体，棱长为2，所以将其放置于正方体中，可得正方体的外接球就是三棱锥的外接球，

因为三棱锥的棱长为2，所以正方体的棱长为，

可得外接球直径为，所以，

所以截面面积的最大值为，

因为点M是线段BD上的点，

所以当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，

此时球心到截面的距离为，为等腰三角形，

过点作的垂线，垂足为，

由，得，

所以，

则所得截面半径的最小值为，

所以截面面积的最小值为，

所以截面面积的范围为，故选BC．

9．（多选）在中，，且，，若将沿AC边上的中线BD折起，使得平面平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（）

A．

B．四面体ABCD的体积为

C．存在点E使得的面积为

D．四面体ABCD的外接球表面积为

【答案】BCD

【解析】对于A：取的中点，连接，

因为，所以，

又平面平面BCD，所以平面，则，

若，则，所以平面，则，

显然不可能，故选项A错误；

对于B：考查三棱锥的体积，易知的面积为，

在平面中，过作的垂线，交的延长线于点，

易知，

因为平面平面，所以到平面，

即三棱锥的高为，

所以三棱锥的体积为，

即四面体的体积为，故选项B正确；

对于C：显然当平面时，的面积取得最小值，

易知，且，所以，

又四面体的体积为，所以，

即，且的面积为，

所以存在点使得的面积为，故选项C正确；

对于D：设与的外心依次为，，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，

则四面体的外接球球心为直线与的交点，

则四边形为矩形，且，，

所以四面体的外接球半径为，

则外接球表面积为，故选项D正确，

故选BCD．