2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）（A卷）

2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）（A卷）

1. 已知全集，集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 设，则复数z对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是

A.  B.  C.  D.

4. 函数的最小正周期和最大值分别是

A. 和2 B. 和 C. 和 D. 和2

5. 若x，y满足约束条件，则的最小值为

A. 1 B. 7 C. 9 D. 10

A.  B.  C.  D.

7. 在区间随机取1个数，则取到的数大于的概率为

A.  B.  C.  D.

8. 设函数，则下列函数中为奇函数的是

A.  B.
C.  D.

9. 在正四棱柱中，已知，，R为BD的中点，则直线与所成角的正弦值为

A.  B.  C.  D.

10. 已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式

A.  B.  C.  D.

11. 设函数，则满足的x的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是

A.  B.  C.  D.

13. 已知向量，，若，则______.
14. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是__________.
15. 记为数列的前n项和．若，，则______.
16. 在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥．所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______写出符合要求的一组答案即可
     

17. 某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费单位：元与印刷数量单位：千册的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

表中，
根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？只要求给出判断，不必说明理由
根据的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程结果精确到；
若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元假设能够全部售出
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，

18. 如图，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和异于村庄设计要求单位：千米
    若，求BF的值保留根号；
    若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小即工厂F与村庄B的距离最远，并求其最远距离精确到，取
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，四棱锥的底面是长方形，底面ABCD，，
    证明：平面平面SAC；
    若，，求CD及三棱锥的体积．
    
     

20. 已知抛物线M：的焦点为F，且F与圆C：上点的距离的最大值为
    求抛物线M的方程；
    若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点在B的上方，当直线AB垂直x轴时，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数
    讨论的单调性；
    若有三个零点，求a的取值范围．注：
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为
    写出的一个参数方程；
    直线l与相切，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，若l与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    当时，求不等式的解集；
    若，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：由集合，，
所以，
由全集，
所以，
故选：
根据补集和并集的定义计算即可．
本题主要考查了集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：由，得，
则复数z在复平面对应的点的坐标为，
则复数z对应的点在第三象限，
故选：
先由复数的运算求复数z，再确定所在象限即可．
本题考查了复数的运算，重点考查了复数的几何意义，属基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，对于p，当时，有，p为假命题，
对于q，当时，，q为真命题，
则、、是假命题，是真命题，
故选：
根据题意，分析命题p、q的真假，由复合命题的真假分析可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及全称、特称命题的真假，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：，
故，最大值为
故选：
由已知结合辅助角公式先进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及正弦函数的性质可求．
本题主要考查了辅助角公式，正弦函数的性质，属于基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：
故选：
利用三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解．
本题考查了诱导公式和二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：由题可知试验的全部结果构成的区域长度为，
构成事件“取到的数大于”的区域长度为，
故取到的数大于的概率为，
故选：
利用几何概型的概率即得．
本题考查了几何概型，属于基础题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：对于A，令
，的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数．
对于B，令
，的定义域为，的定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；
对于C，的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函；
对于D，的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数．
故选：
根据奇函数的定义，进行判断即可得解．
本题主要考查函数奇偶性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：连接，，则，

则直线与所成角的平面角为或其补角，
又在正四棱柱中，，，R为BD的中点，
则，，，
所以，所以为直角三角形，
所以直线与所成角的正弦值为，
故选：
连接，，则，则直线与所成角的平面角为或其补角，再解三角形求值即可．
本题考查了异面直线所成角，考查了转化思想，属基础题．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：为数列的前n项积，，
当时，，解得，
时，选项A：1，选项B：5，选项C：3，选项D：
故选：
求出数列的首项，然后验证选项即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列图形公式的判断，是基础题．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：当时不等式即为，无解；
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，解得
综上不等式的解集为
故选：
对x的取值范围范围分为3段：，，，解不等式可求得x的取值范围．
本题考查指数函数单调性应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：点B的坐标为，设，
则，，
故，，
又对称轴，
当时，即时，
则当时，最大，此时，
 当时，即时，
则当时，最大，此时，
则，即，所以满足题意，
综上，满足题意，
，即，，

综上所述的e的范围为
故选：
设，可得，，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围．
本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于难题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：向量，，，
，
则，
故答案为：
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

14.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，是较易题。
由双曲线得，，可得取焦点F及其渐近线再利用点到直线的距离公式即可得出．

【解答】

解：由双曲线得，，
取焦点，其渐近线
焦点到渐近线的距离
故答案为

15.【答案】62
 

【解析】解：由，令，则，
若，则，不符合，舍去．
数列为等比数列，
取，则，
，解得，
，，
则，
故答案为：
由，令，可得，，进而判断出数列为等比数列，取，可得，解得q，进而得出，利用求和公式即可得出
本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】④⑤或⑤④
 

【解析】解：根据题意，在一个正方体中，红过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，
如果图①是正视图，则几何体若如图所示，
则此时侧视图和俯视图的编号依次为④⑤；

如果几何体如图所示，
则此时侧视图和俯视图的编号依次为⑤④．
故答案为：④⑤或⑤④
根据正视图，结合题意，作出几何体直观图，由此再判断，即可求出结果．
本题考查侧视图和俯视图的判断，考查正方体、三棱锥的结构特征，三视图的性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

17.【答案】解：由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程．
令，先建立y关于u的线性回归方程．
由于，故，
所以y关于u的线性回归方程为，
从而y关于x的回归方程为
假设印刷x千册，依据题意得，解得，
所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元．
 

【解析】根据散点图即可得出答案；
令，根据题中数据求出v关于u的线性回归方程，从而可得出答案；
假设印刷x千册，依据题意得，解之即可得解．
本题考查了非线性回归方程的求解，属于中档题．
 

18.【答案】解：若，又，
所以此时，
又为边长为3的等边三角形，
所以，
在中，因为，
所以，
在中，
若，在中，，
所以，
在中，，其中，
所以，
即，
当且仅当时，即时，取得最大值27，此时千米，
所以当为时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，此时工厂距离村庄B的最远距离约为千米．
 

【解析】由题意可求，利用等边三角形的性质可得，在中，可求，在中利用勾股定理即可求解BF的值．
利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查与三角函数有关的应用问题，熟练应用正弦定理，余弦定理以及三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】证明：因为平面ABCD，又平面ABCD，所以，
又，且，所以平面SAC，
又平面SBE，所以平面平面SAC；
解：连接AC交BE于H，因为∽，
所以，

故，，
设，则在中，，
在中，，
所以，解得，故，
所以
 

【解析】利用线面垂直的判定定理可得平面SAC，然后利用面面垂直的判定定理即证；
设，结合条件可得，进而可得，再利用棱锥的体积公式即得．
本题考查了面面垂直的证明和三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意知，，圆C的半径为，所以，
即，解得，所以抛物线M的方程为
当直线AB垂直x轴时，由对称性可知，A、B两点关于x轴对称，
此时点Q在圆C与x轴的交点处，所以Q的坐标为或
①当Q的坐标为时，可设的方程为，
联立方程组，消去y，得，
因为直线与抛物线M相切，所以上述方程的判别式，即，
解得或，所以两条切线的方程分别为，
由方程组，得切点
由方程组，得切点
此时
②当Q的坐标为时，可设的方程为，
联立方程组消去y，得，
因为直线与抛物线M相切，所以上述方程的判别式，即，
解得或，所以两条切线的方程分别为，，
由方程组，得切点
由方程组，得切点
，
此时
 

【解析】利用已知条件推出，求出p，得到抛物线方程．
①当Q的坐标为时，可设的方程为，联立方程组，通过判别式，求解直线方程，然后求解三角形的面积．
②当Q的坐标为时，可设的方程为，联立方程组消去y，通过判别式，求解两条切线的方程求出AB坐标，然后求解三角形的面积．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
 

21.【答案】解：由题意可知的定义域为R，，对于，
①当，即时，在R上单调递增；
②当，即或时，令，即，
解得，
令，则或；令，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；当或时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增．
当时，等价于，
设，，
则，
当时，，故单调递增，
且当时，；当时，，此时无论a取何值，
函数与的图象都有且只有1个交点，此时方程有且只有1个解，
函数有且只有1个零点；

当时，，故单调递减；当时，，故单调递增，
所以为的极小值，且当时，；
当时，
若，则函数与的图象有且只有两个交点，
此时方程有且只有2个解，函数有且只有2个零点．
综上，当时，有三个零点．
 

【解析】求得，对于，，分与两类讨论，可求得的单调性；
当时，等价于，设，，对求导分析，作出图象，函数与的图象有3个交点，可求得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了等价转化思想、分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查逻辑思维能力和数学运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：由题意可得，圆M的标准方程为，
故圆M的一个参数方程为为参数
由题意可知，斜率的斜率存在，设切线方程为，即，
圆心到直线l的距离为1，
，化简可得，，
又，，
，即，
由题意可知，，，
故，
联立方程组，解得或，
所以直线l的直角坐标方程为或，
所以直线l的极坐标方程为或
 

【解析】求出圆的标准方程，即可求得圆的参数方程．
先求出直线的直角坐标方程，利用公式，即可求出极坐标方程．
本题主要考查极坐标方程，考查计算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
则，
故，即，
当时，得，解得，
当时，得，不成立，
当时，得，解得，
综上，原不等式的解集为
，
当x的值在与4之间包括两个端点时取等号，
若，则只需，
当时，，恒成立，
当时，等价于，或，解得，
综上，a的取值范围为
 

【解析】代入a的值，求出的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
问题转化为解关于a的不等式，解出即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．